(数学)高三数学(文科)复习解答题——统计、概率

高三数学(文科)复习解答题——统计、概率
1. 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 能耗 y (吨标准煤) 的几组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

?x ? a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5)

2. 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245, z ? 245, 求初三年级中女生比男生多的概率.

3. 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高(单位:cm), 获得身高数据的茎叶 图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高 不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同 学被抽中的概率.

1

4. 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视 观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取 几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

5. 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n = 1,2,…,6)的同学 所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概 率.

?? (附: 线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b

^

^

^

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?x ? ? y ?b ,a

? x) 2

样本数据 x1, x2,……,xn 的标准差, s ? 中 x, y 表示样本均值)

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x) 2 ] , 其 n

6. 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. 分数段 [50,60) 1:1 [60,70) 2:1 [70,80) 3:4 [80,90) 4:5

x: y

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的 平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与 数学成绩相应分数段的人数( y )之比如表所示, 求数学成绩在[50,90)之外的人数.

2

参考答案
1. 解: (1)如下图

(2)

?X Y
i ?1 i

4

i

=3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5

X=
4

3? 4?5?6 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =4.5, Y = =3. 5 4 4
2 i

?X
i ?1

=

3 + 4 +5 +6

2

2

2

2

=86

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 , a ? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ? 100+0.35=70.35, 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨).

2. 解:(1)

x ?0.19 2000

?

x ? 380

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 名 2000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有: (245,255) 、 (246,254) 、 (247,253) 、……(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249) 、 (252,248) 、 (253,247) 、(254,246)、(255,245) 共 5 个

? P ( A) ?

5 11
3

3. 解: (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 之间, 而乙班身高集中于 170~180 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? ; 10 5

4.解:(1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目, 而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目, 所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的. (2)应抽取大于 40 岁的观众的人数为:

27 3 ? 5 ? ? ? 5 ? 3 (名) 45 5

(3)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中,20 至 30 岁有 2 名(记为 Y1 , Y2 ) , 大于 40 岁有 3 名(记为 A1 , A2 A3 ) ,5 名观众中任取 2 名,共有 10 中不同取法

Y1Y2 , Y1 A1, Y1 A2 , Y1 A3 , Y2 A1, Y2 A2 , Y2 A3 , A1 A2 , A1 A3 , A2 A3
设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名,恰有一名观众年龄为 20 至 40 岁”, 则 A 中的基本事件有 6 个: Y1 A1 , Y1 A2 , Y1 A3 , Y2 A1 , Y2 A2 , Y2 A3 故所求概率为 P ( A) ?

6 3 ? 10 5

5.解:(1)

1 (70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 ) ? 75 ,解得 x6 ? 90 6
1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? 6 ? ( x6 ? x)2 ] ? 1 2 2 2 2 2 (5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3 ? 152 ) ? 7 6

标准差 s ?

(2)前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 ( a, b) , a, b ?{1, 2,3, 4,5} 且 a ? b

4

则基本事件有 (1, 2) ,(1,3) ,(1, 4) ,(1,5) ,(2,3) ,(2, 4) ,(2,5) ,(3, 4) ,(3,5) ,

(4,5) 共 10 种
这 5 位同学中,编号为 1、3、4、5 号的同学成绩在区间(68,75)中 设 A 表示随机事件“从前 5 位同学中随机选出 2 位同学,

(2,3) 、 (2, 4) 、 恰有 1 位同学成绩在区间 (68, 75) 中”则 A 中的基本事件有 (1, 2) 、 (2,5) 共 4 种,则 P( A) ?
4 2 ? 10 5

6. 解: (1) (2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ?10 ? 1 ? a ? 0.005 (2)平均分为 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 (3)数学成绩在 [50,90) 内的人数为 (0.005 ? ? 0.04 ? ? 0.03 ? ? 0.02) ?10 ?100 ? 90 人 数学成绩在 [50,90) 外的人数为 100 ? 90 ? 10 人

1 2

4 3

5 4

5


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