高中数学_简单的幂函数及其相关的奇偶性课件_北师大版必修1_图文

简单的幂函数

我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 P=W 元 p是w的函数 __________

S=a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____ S 是a的函数 y ? x2 V=a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________ V是a的函数 y ? x3
(4)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度___ 1 V=1/t=t?? km/s ?1 _____________ y ? ? x V是t 的函数 x
1/2 (5)如果正方形的面积为S,那么正方形的边长 a=S

a 是S的函数

y? x?x

1

2

(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底数; (3)指数为常数; (4) 前的系数为1;

上述问题中涉及的函数,都是形如

的函数。

1。幂函数的定义:
形如 的函数叫做幂函数, 其中 是常数且 。

2。幂函数的定义域:
使 有意义的实数的集合。

⑴⑶⑷⑸ ⑻ ⑽

练习2: 已知幂函数的图象过点 的解析式.
解:由题意知,设

(2, 2 )

,试求出此函数

f ( x ) ? x?
2

待定系 数法
2
1 2

? f (2) ?
1 ?? ? 2

? 2? ?

? f ( x) ? x

练习3、求相关字母的取值 如果函数
解:由题意知,

是幂函数, 求实数m的值。

f ( x ) ? x?

变式: 已知幂函数为
解:由题意知,

,求幂函数。
f ( x ) ? x?

总结: 理解并掌握形如

的形式就是幂函数的定义

作出下列函数的图象1:
y=x x
y?x

y?x
… … …

2

y ? x3

y?x
-1 -1 1

2

y ? x ?1
1 1 1 2 2 4

y=x0

-3 -3 9

-2 -2 4

0 0 0

3 3 9

… … …

y ? x2
y ? x3
1 2

… -27
… \

-8
\ -1/2

-1
\ -1

0
0 \

1
1 1

8

27


… …

y?x

2

3

y?x

?1

… -1/3

1/2 1/3

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x

-3

-2

-1

0 1

2 3

4

y=x2

9

4

1

0 1

4 9

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x y=x3

-3 -27

-2 -8

-1 -1

0 0

1 2 1 8

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

-3 -1/3

-2 -1/2

-1 -1

1 1

2 1/2

3 1/3

y ? x?1
-3 -4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当α>0时,图象随x增大而上升。 当α<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

(-2,4) 不管指数是多少 ,图象都经过哪 个定点?

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当 α >0时,图象随x增大而上升。 当 <0时,图象随x增大而下降。 α

-3

图象都经过点(1,1) α>0时,图象还都过点(0,0)点

-4

幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 中k的不同而各异. 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1); 2.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) k>1 并在(0,+∞)上为增函数;
0<k<1

3.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 K<0 (0,+∞)上为减函数;

练习: 如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2 m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,且在区间(0,+∞) 内是减函数,求满足条件的实数 m的集合。

m?2
舍去m ? ?1

y

二、观察
问题1

的图象
的图象关于 Y轴 对称
o x

定义1:像这种图像关于Y轴对称的函数叫偶函数

1

1 4 9

4
9



探索



的关系

定义2:如果对于函数

的定义域内任意一个

都有

,那么函数

就叫偶函数。

2、画出函数
x … … -2 -8 y ? -1 -1 0 0 1 1

的图象
2 8 … …

问题3 原点 对称。

的图象关于

定义1:像这样图象关于原点 对称的函数叫做奇函数。


x

探索



的关系

?

? o ?

?

定义2:如果对于函数 ,那么函数

的定义域内任意一个

都有

就叫奇函数。

定义域: 值 域:

R R

奇偶性:在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

定义域:

R

值 域: [0,??)

奇偶性:在R上是偶函数
在(??,0]上是减函数

单调性: 在[0,??)上是增函数

定义域:
值 域:

R R

在R上是奇函数 奇偶性:
单调性:在R上是增函数

函数y=x0.5的图象和性 质

定义域: [0,??)
值 域: [0,??)

奇偶性: 非奇非偶函数 在 [ 0 , ?? ) 上是增函数 单调性:

函数y=x-1的图象和性 质

定义域:{x x ? 0} 值 域:
在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性: 在(0,??)上是减函数
在(??,0]上是减函数

说明: (1)当函数 有奇偶性。

是奇函数或偶函数时称函数具

(2)由定义可知奇函数和偶函数的定义域一 定关于原点对称。

判断函数的奇偶性的步骤:
第一步:考查定义域是否关于原点对称,若不对称, 则该函数不具有奇偶性;若对称,则进行第二步的判 断。 第二步:法一、求出 奇函数;若 是非奇非偶函数。 ,若 则该函数是 ,则该函数是偶函数;否则函数

法二、对于容易画图象的函数也可利用图象进行 判断。

练习:判断下列函数的奇偶性

解:

的定义域是

R



是奇函数 的定义域是 R



是偶函数 ,其定义域不关于原点对称

练一练
画出下列函数的图象,判断其奇偶性.

y o x
-3

y o
3

y x o -3 x
-1

y
1

o

x

?1 ? x 2 , x ? 0 ? 例3.已知f ( x) ? ?0, x ? 0, ,试判断这个函数的奇 偶性 ? x 2 ? 1, x ? 0. ?
解:定义域是( ? ?, 0) ? {0} ? (0, ? ?) ? R. 当x ? 0时,有f ( x) ? 1 ? x 2 , ? x ? 0 ? f (? x) ? 1 ? (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? f ( x) 当x ? 0时, 有f ( x) ? x 2 ? 1, ? x ? 0 ? f (? x) ? (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? f ( x) 当x ? 0时, 有f (0) ? 0, f ( ?0) ? 0 ? ? f (0) 综上可得,对x ? R, 总有f (? x) ? f ( x)成立,? f ( x)是偶函数

小结:这节课我们主要学习了
(1)

简单幂函数的概念和特点

(2)
(3)

判断函数奇偶性的方法和步骤
奇(偶)函数图像特点


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