高二数学北师大版选修2-2同步精练:1.3反证法 含答案

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于 60° , ” 下列假设中正 确的是( ). B.假设三个内角都不大于 60° D.假设三个内角至多有两个大 A.假设三个内角都大于 60° C.假设三个内角至多有一个大于 60° 于 60° 2.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了 四位歌手, 甲说: “是乙或丙获奖. ”乙说: “甲、 丙都未获奖. ”丙说: “我获奖了. ”丁说: “是乙获奖. ”四位歌手的话只有两人说得正确,则获奖歌手是( A.甲 D.丁 3.反证法是( ). B.对其否命题的证明 D.分析法的证明方法 ). B.乙 C.丙 ). A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法 C.对其逆命题的证明 4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为( A.有两个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 5.如果两个数之和为正数,则这两个数( A.一个是正数,一个是负数 C.至少有一个是正数 B.有三个内角是直角 D.没有一个内角是直角 ). B.两个都是正数 D.两个都是负数 6.如果要否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,则下列假设中正确的 是( ). A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 两个偶数 D.a,b,c 都是奇数或至少有 7.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦 值,则△A1B1C1 为__________三角形,△A2B2C2 为__________三角形(填“锐角” 或“钝角”). 8.设正实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 a,b,c 中至少有一个数不小 于__________. 9.求证:两条相交直线有且只有一个交点. 10.已知 a≠0,证明:关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根. 参考答案 1.答案:B 2.答案:B 解析: “至少有一个大于”的反面为“都不大于” . 解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的;同理, 可推出乙、丙、丁获奖情况,最后可知获奖的歌手是丙. 3.答案:A 4.答案:B 5.答案: B 解析: “最多只有一个”的否定是“至少有两个” . 解析: 假设两个都为负数, 则这两个数之和为负数与题设矛盾. 两 个数均为正数明显符合题意,若一正一负,且正数的绝对值大于负数的绝对值, 也符合题意,故选 C. 6.答案:D 解析: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的反面是“都是奇数或 两个是偶数或三个都是偶数” . 7.答案: 锐角 钝角 解析: 由已知△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0, 则△A1B1C1 为锐角三角形.若△A2B2C2 是锐角三角形,由 ? ?π ? ?sin A2 ? cos A1 ? sin ? 2 ? A1 ? , ? ? ? ? ?π ? ?sin B2 ? cos B1 ? sin ? ? B1 ? , ?2 ? ? ? ?π ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin ? ? C1 ? , ?2 ? ? π ? A ? ? A1 , 2 ? 2 ? π ? 得 ? B2 ? ? B1 , 2 ? π ? ?C2 ? 2 ? C1 , ? ∴A2+B2+C2= π 与 A2+B2+C2=π 矛盾, 2 ∴△A2B2C2 是钝角三角形. 8. 1 3 1 1 1 1 解析:假设 a,b,c 都小于 ,即 a< ,b< ,c< ,则 a+b+ 3 3 3 3 c<1,与 a+b+c=1 矛盾,所以假设不成立. 9.答案:证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点;至少有两个交点. 设两条直线为 a,b. (1)若 a,b 无交点,那么 a∥b 或 a,b 是异面直线,与已知矛盾; (2)若 a,b 至少有两个交点,设两个交点为 A 和 B,这样同时经过 A,B 就 有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,两条相交直线有且只有一个交点. 10.证明:由于 a≠0,因此方程至少有一个根 x= b . a 如果方程不是只有一个根,不妨设 x1,x2 是它的两个不同根,即 ax1=b, ax2=b, ∴a(x1-x2)=0. ∵x1≠x2, ∴x1-x2≠0, ∴应有 a=0,这与已知相矛盾, 故假设不成立. ∴当 a≠0 时,方程 ax=b 有且只有一个根.

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