正弦定理,余弦定理解题方法专题设计论文

正弦定理,余弦定理解题方法专题设计 【摘要】余弦定理和正弦定理一样,都是揭示三角形边角之间的 数量关系的重要定理..然而余弦定理的应用远不止这些,如能将余 弦定理的表达式,从不同的角度观察分析,将它和正弦定理整合、 变形后再应用,则其应用将非常广泛,对一部分题目的求解会有意 想不到的效果. 【关键词】正弦定理 余弦定理 变换 应用 一、教学设计 1、教学背景 提倡情境式教学,认为多数学习应与具体情境有关,只有在解决 与现实世界相关联的问题中,所建构的知识才将更丰富、更有效。 我们在 2010 级进行了“5315”教学实验,通过一段时间的教学实 验,多数同学已能适应这种学习方式,平时能主动思考,敢于提出 自己关心的问题和想法、索取知识,增强了学习数学的兴趣。2、 教材分析 “正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必 修 5 的第一章第二节的主要内容,是解决有关斜三角形问题的两个 重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角 函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化 为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工 具,因此具有广泛的应用价值。不仅能复习巩固旧知识,使学生掌 握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生 的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学 习的能力。3、设计思路 引导学生从原有的知识经验中“生长”出 新的知识经验。为此我们根据“情境 --问题”教学模式,沿着“设 置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线,把从情境中 探索和提出数学问题作为教学的出发点,以“问题”为红线组织教 学, 形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的 “情境--问题” 学习链,使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的 “发现者”和“创造者” ,使教学过程成为学生主动获取知识、发 展能力、体验数学的过程。根据上述精神,做出了如下设计:①创 设一个现实问题情境作为提出问题的背景;②启发、引导学生提出 自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问 题,解决问题时需要使用正余弦定理,借此引发学生的认知冲突, 揭示解斜三角形的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动 机。然后引导学生抓住问题的数学实质,引伸成一般的数学问题: 已知三角形的两条边和他们的夹角,求第三边。③ 为了解决提出 的问题,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验, 通过作边 bc 的垂线得到两个直角三角形,然后利用勾股定理和锐 角三角函数得出正余弦定理的表达式,进而引导学生进行严格的逻 辑证明。 二:专题设计 1.题型分析 题型一:余弦定理的基本应用; 例 1:δ abc 三个顶点坐标为(6,5)(-2,8)(4,1) 、 、 ,求 a 解法一:∵ |ab| =[6-(-2)]2+(5-8)2=73 |bc| =(-2-4)2+(8-1)2=85 |ac| =(6-4)2+(5-1)2=25 cosa=|ab|2+|ac|2-|bc|22|ab|·|ac|=2365 ∴ a≈84° 点评:解题时利用三角形在坐标系中的位置关系和边长余弦定理 计算 解法二:∵ ab=(–8,3) ,ac=(–2,–4) ∴ cosa=ab· ac|ab|· |ac|= (-8) (-2) (-4) × +3× 73×25=2365, ∴ a≈84° 点评:解题时利用向量知识巧解三角形的边角关系 题型二:正、余弦定理的综合应用 正、余弦定理的巧用; 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得: sin2a=sin2b+sin2c-2sinbsinccosa 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简 捷明快,下面举例说明之 例 2:求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值 解:原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50° 在 sin2a=sin2b+sin2c-2sinbsinccosa 中,令 b=10°,c=50°, 则 a=120° sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120° =sin210°+sin250°+sin10°sin50°=(32)2=34 题型三:判断三角形的形状; 例 3:在△abc 中,bcosa=acosb 试判断三角形的形状 解法一:利用余弦定理将角化为边 ∵bcosa=acosb,∴b·b2+c2-a22bc=a·a2+c2-b22ac ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,∴a2=b2,∴a=b,故此三角形是等腰三角 形 解法二:利用正弦定理将边转化为角∵bcosa=acosb 又 b=2rsinb,a=2rsina,∴2rsinbcosa=2rsinacosb ∴sinacosb-cosasinb=0∴sin(a-b)=0 ∵0 故此三角形是等腰三角形 三、教学反思 创设数学情境是“情境 .应用.反思”教学的基础环节,教师必须 对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综 合考虑, 对可用的情境进行比较, 选择具有较好的教育功能的情境。 创设认知冲突型数学情境,是创设情境的常用方法之一。 “正余弦 定理”具有广泛的应用价值,故本课中从应用需要出发创设了教学 中所使用的数学情境。这种将教材中的例题、习题作为素材改造加 工成情境,是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深 入、细致、全面的研究,便不难发现教材中有不少可用的素材。 “情境 .应用.反思”教学模式,以学生作为提出问题的主体,如 何引导学生提出问题是教学成败的关键,教学实验表明,学生能否 提出数学问题,不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因 素的影响,还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制 约。因此,教师不仅要注重创设适宜的数学情境(不仅具有丰富的 内涵,而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性

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