解决直线与圆相交问题的思想和方法_图文

解决直线与圆相交问题的思想和方法
■ 陆冬阳
直线与圆问题相交问题通常有以下几种典型的处理方法 . 一、 代数法 此种方法是通过直线与圆的方程联立, 将几何问题转化为 纯代数问题, 主要的工具为韦达定理, 由于新课标中对线段定 比分点公式要求降低, 通常对线段长度成比例问题通常用共线 向量作为工具, 垂直问题通常用两向量数量积为零转化为代数 问题, 代数法不止是处理直线与圆相交问题最重要的方法, 甚 至在后续的学习中, 处理直线和圆锥曲线问题的时候同样重 要, 学生一定要熟练掌握 . 二、 轨迹相交法 此种方法是通过图形中点满足的几何或代数条件写出该 点所满足的两个轨迹方程, 由两轨迹方程联立求得该点, 此种 方法的关键在于能够通过题目条件挖掘出特殊点所满足的轨 迹方程, 则需要学生能够仔细审题, 挖掘题目隐含的条件, 此种 方法在求点的坐标时会大大减少计算量 . 三、 几何法 此种方法往往是通过直线和圆相交以后产生的线段所构 成的图形所满足的几何性质入手, 通常为直角三角形, 几何法 往往能够避开复杂繁琐的计算, 大大缩短解题所需时间, 但通 常此种方法多适用于填空题 . 下面笔者用一道典型例题对以上 所述方法进行说明. 例1 如图 1 , 已 知 直 线 l 过 点 P( - 4 , 0 ) 且与圆 x2 + y2 = 9 相交 于 A, B 两 点, 若 PA = 1 PB, 则直线 l 的方程为 2 . 图1 得 x2 = 16 k2 - 9 16 k2 - 9 - 4 k2 + 2 , , = 所以 又 3 x1 + 8 = 2 2 - 4k - 2 1 +k - 4 k2 - 2

- 4 k2 + 2 35 2 , 化简得 7 k = 5 , 解得 k = ± 槡 , 代入( * ) 得 Δ > 0 , 7 1 + k2 35 = 0 或 槡 35 x - 7 y + 4 槡 35 x + 7 y + 4 所以直线 l 的方程为 槡 35 = 0 . 槡 解法一利用典型的根与系数关系这种代数方法, 而且绝大 部分学生在使用这种方法的时候喜欢消去 y 而得到 x 的方程, 这种习惯对有些题目可能毫无影响, 但就此题而言很明显的 PA 所以提供对 与PB两个向量它们的纵坐标之间的关系更加简单, 第一种解法的优化方法 . 解法 2 : ( 解法 1 的优化) 由条件知 l 斜率不为零, 故可设 l A ( x1 , B ( x2 , y1 ) , y2 ) , 方程为: x = my - 4 , 由解法 1 知 y2 = 3 y1 , 由

?→

?→

{

x = my - 4 x2 + y2 = 9

2 2 则 y1 + y2 = 4 y1 消去 x 得到( 1 + m ) y - 8 my + 7 = 0 ,

= =

8m 7 2m 7 , y1 y2 = . 所以 y1 = 代入 y1 y2 = 得 y2 1 + m2 1 + m2 1 + m2 1 + m2

7 6m 7 6m 7 , = , , 所以 以下 又 3 y1 = 化简得 m = ± 槡 , 2m 1 + m2 2 m 1 + m2 5 槡 同解法 1 . 此种解法中设直线的方法除了斜率为零的直线均可以表 示, 特别是斜率不存在的直线, 在解题时往往能够起到简化计 算的效果, 学生要能够习惯这种设法 . 解法 3 : ( 轨迹相交法) 分析: 取弦 AB 中点 C, 由 OC ⊥ PC 知 C 点轨迹在以 OP 为
2 2 直径的圆上, 又点 A 在圆 x + y = 9 上, 且 A 为 PC 中点, 则A的

解法 1 : ( 代数法) 由条件知直线 l 斜 率存在, 设 l 方程为 y = k ( x + 4 ) ,A ( x1 , B ( x2 , y1 ) , y2 ) .

坐标又可以用 C 点表示, 这样又得到 C 的另一轨迹方程, 两轨 1 ( x + 4) 3 2 迹的交点即为点 C. y) , 解: 取弦 AB 中点 C, 连结 OC, 设 C ( x, 由 OC ⊥ PC 知 C ,
2 2 又A为 点轨迹为以 OP 为直径的圆落在圆 x + y = 9 内的圆弧,

由 题 意 得 PA =

?→

1 3

→, 即 ?PB

{

x1 + 4 = y1 =

1 y 3 2



{

PC 中点, 所以 A( ( x -4 ) 2
2

x2 = 3 x1 + 8 y2 = 3 y1 由

x -4 y 2 2 , ), 又 A 在 圆 x + y = 9 上, 所以 2 2
2

. 消去 y 得 (* )

+ (

{

y ) 2

= 9 ,化 简 得 ( x - 4 )

2

+ y2 = 36 ,由

y = k( x + 4 ) x + y =9
2 2

( 1 + k2 ) x2 + 8 k2 x + 16 k2 - 9 = 0 则 x1 + x2 = 4 x1 + 8 =
2 2

{

( x + 2 ) 2 + y2 = 4 ( x - 4 ) 2 + y2 = 36

解得

- 8 k2 x 16 k2 - 9 x1 x2 = , 所 以 x1 = 2 , 1 +k 1 + k2

{

x= -

5 3

35 y= ± 槡 3



( 下转第 43 页)

- 4k - 2 16 k - 9 . 代入 x1 x2 = 1 + k2 1 + k2

·19·

在探析活 动 中 认 识 到 该 问 题 解 答 的 关 键 是 要 构 建 △ABC ≌ △EAF 的等量关系, 同时, 要利用平行四边形的判定定理判定 平行四边形. 因此, 学生在这一思路下进行解题过程如下: 证明: ( 1 ) 因为△ACD 和△ABE 都是等边三角形, AB = AE, AC = AD, 所以∠EAB = ∠DAC = 60 ° , 因为 EF⊥AB, 所以∠EFA = ∠ACB = 90 ° , ∠AEF = 30 °. 因为∠BAC = 30 ° , 所以∠BAC = ∠AEF. 所以△ABC≌△EAF( AAS) , 所以 AC = EF. ( 2 ) 因为∠DAC + ∠CAB = 90 ° , 所以 DA⊥AB. 因为 EF⊥AB, 所以 AD∥EF. AC = AD. 因为 AC = EF, 所以 AD = EF, 所以四边形 ADFE 是平行四边形. 此时, 教师对学生的探析活动及解题过程进行肯定评析, 同时, 引导学生共同探析归纳解题策略, 为初中生高效解析该 类型问题提供方法指导 . 这一过程中, 初中生的探析情感在深 厚解题策略技能的支持下得到了有效增强, 主动探析信心更加 坚定. 四、 提供反思学习活动载体, 培树能动思考分析情感 部分初中生学习群体在学习活动过程中, 缺乏能动思考分 析的积极情感, 导致初中生的思考分析能力, 特别是对自身学

习活动过程及表现的思考评析能力得不到有效锻炼 . 而思考辨 析的反思能力, 是学生思维能力水平的重要表现 . 因此, 初中数 学教师要增强学生的思考分析能动情感, 就必须强化对学生反 思能动情感的培养, 提供学生进行反思活动的有效条件, 让学 生在教师的有效指导下, 对学习活动表现和过程能够进行深 刻、 细致、 科学的评价, 培树积极思考辨析的内在情感 . 如在阶 段性复习或问题训练结束后, 教师应引导初中生结合解题活动 过程, 进行分析、 辨析、 评价活动, 表达自己的观点和见解, 教师 并予以肯定和鼓励, 使初中生在反思评析过程中, 风采得到展 “升华” . 示, 情感得到 总之, 初中数学教师要将学生学习情感培养, 作为有效教 学活动深入开展的前提和条件, 遵循认知规律, 设置教学情境, 重视能力培养, 实现初中生能动、 积极学习情感显著提升和增 强, 为教学相长提供思想支撑 . 参考文献: [ 1] 万杰夫. 初中生学习情感发展概述[ J] . 吉林教育, 2012. [ 2] 刘益龙. 新课改下的初中生数学学习情感培养探索[J] . 2011. 理科考试研究, [ 江苏省常熟市莫城中学( 215556) ]

( 上接第 19 页) - 因点( - C( - 5 35 5 槡 35 )或 , ± 槡 ) 在圆 x2 + y2 = 9 内, 故 C( - , 7 7 3 3

35 槡 ), 以下同解法 5 . 2 OA, 连结 OC, 则 OP = 4 , 解法 5 : ( 几何法) 取弦 AB 中点 C, AC = 1 PC. 2 Rt△OPC 中,OP2 = OC2 + PC2 = OC2 + 4 AC2 ①; Rt △OAC OA2 = OC2 + AC2 ②; ① - ② 得 OP2 - OA2 = 3 AC2 , 中, 解得 AC =

5 35 35 , - 槡 ), 35 x 则 k PC = ± 槡 , 所以直线 l 的方程为 槡 7 7 3

- 7y + 4 槡 35 = 0 或 槡 35 = 0 . 35 x + 7 y + 4 槡 反思此种解法, 我们可以用相同的思路求出 A 或 B, 用B的
2 2 坐标来表示 A 的坐标, 两点均在圆 x + y = 9 上, 则得到 B 的另

一轨迹方程, 这样较第三种解法只需引入一个轨迹即可 . 解法 4 : ( 解法三的优化) x2 - 8 , 3 , A ( x 1 , B ( x , , y ) , y ) 设 由解法 知 1 1 2 2 y2 y1 = 3 x1 = x2 - 8 2 y2 2 ) +( ) =9 所以( 3 3
2 2 又 x2 + y2 = 9



7 , 则 OC = 设 l 方程为 y = k( x + 4 ) , 3 | 4k | 1 + k2 槡 ) 2 +( ) 3 槡 7
2

| 4k | 1 +k 槡
2

2 2 , 由 OA = OC

{

+ AC2 , 得到 1 = (

35 , 解得 k = ± 槡 , 所以 7

35 = 0 或 槡 35 35 x - 7 y + 4 槡 35 x + 7 y + 4 槡 直线 l 的方程为 槡 = 0. 反思此种解法, 通过构造的直角三角形中边的关系来求出 ① ② 弦长的一半, 进而求出直线斜率, 其实求弦长还有一个更加简 单的方法, 在高中直线和圆的学习中我们往往会忘记这个定 — —切割线定理. 此解答略. 理— [ 江苏省宿迁中学 ( 223800) ]

联立①②解得

{

1 x2 = - 2 35 y2 = ± 槡 2

, 所以 B( -

1 槡 35 1 ) 或 B( - , , - 2 2 2

·43·


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