竞赛讲座-平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座-平面几何四个重要定理 重庆市育才中学 瞿明强 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、 R 共线的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点) 。 △ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、CR 共点的 充要条件是 托勒密(Ptolemy)定理 。 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题: 1. 设 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,直线 CF 交 AD 于 F。求证: 。 【分析】CEF 截△ABD→ (梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明:过 A、B、D 之一作 CF 的平行线。 2. 过△ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F, 交 CB 于 D。 求证: 。 【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M,则 M 为 BC 的中 点。 DEG 截△ABM→ (梅氏定理) DGF 截△ACM→ (梅氏定理) ∴ = = =1 【评注】梅氏定理 3. D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上, ,AD、BE、CF 交成△LMN。 求 S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4. 以△ABC 各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、 CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5. 已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC =AB +AB·BC。 【分析】过 A 作 BC 的平行线交△ABC 的外接圆于 D,连结 BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理, AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】 托勒密定理 6. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 2 2 求证: 【分析】 【评注】托勒密定理 。(第 21 届全苏数学竞赛) 7. △ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交 外接圆于 P,作 PE⊥AB 于 E,延长 ED 交 AC 延长线于 F。 求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理(西姆松线) 8. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比 为 AM:AC=CN:CE=k,且 B、M、N 共线。 求 k。(23-IMO-5) 【分析】 【评注】面积法 9. O 为△ABC 内一点,分别以 da、db、dc 表示 O 到 BC、CA、AB 的距离,以 Ra、Rb、 Rc 表示 O 到 A、B、C 的距离。 求证:(1)a·Ra≥b·db+c·dc; (2) a·Ra≥c·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。 【分析】 【评注】面积法 10.△ABC 中,H、G、O 分别为垂心、 重心、外心。 求证: H、 G、 O 三点共线, 且 HG=2GO。 (欧拉线) 【分析】 【评注】同一法 11.△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 D,BM、BN 三等分∠ABC,与 AD 相交于 M、N,延长 CM 交 AB 于 E。 求证:MB//NE。 【分析】 【评注】对称变换 12.G 是△ABC 的重心,以 AG 为 弦作圆切 BG 于 G,延长 CG 交圆 2 于 D。求证:AG =GC·GD。 【分析】 【评注】平移变换 13.C 是直径 AB=2 的⊙O 上一点,P 在△ABC 内,若 PA+PB+PC 的最小值是 【分析】 【评注】旋转变换 ,求此时△ABC 的面积 S。 费马点: 已知 O 是△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°; P 是△ABC 内任一点, 求证: PA+PB+PC≥OA+OB+OC。 (O 为费马点) 【分析】 将C C‘, O O’, P P‘, 连结 OO’、 PP‘。 则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。 ∴OO’=OB,PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC,△BP’C‘≌△BPC。 由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A、O、O‘、C’四点共线。 ∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘,即 PA+PB+PC≥OA+OB+OC。 14.(95 全国竞赛) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边 分别交于 E、F、G、H,在弧 EF 和弧 GH 上分别作 ⊙O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于 M、N、P、Q。 求证:MQ//NP。 【分析】由 AB∥CD 知:要证 MQ∥NP,只需证 ∠AMQ=∠CPN, 结合∠A=∠C 知,只需证 △AMQ∽△CPN ← ,AM·CN=AQ·CP。 连结 AC、BD,其交点为内切圆心 O。设 MN 与⊙O 切于 K,连结 OE、OM、OK、ON、OF。 记∠ABO=φ ,∠MOK=α ,∠KON=β ,则 ∠EOM=α ,∠FON=β ,∠EOF=2α +2β =180°-2φ 。 ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β -φ =α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ +α =∠AOE+∠MOE=∠AOM 又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是 ∴AM·CN=AO·CO 同理,AQ·CP=AO·CO。 【评注】 , 15.(96 全国竞赛)⊙O1 和⊙O2 与 Δ ABC 的三边所在直线 都相切,E、F、G、H 为切点,EG、FH 的延长线交于 P。 求证:PA⊥BC。 【分析】 【评注】 16.(99 全国竞赛)如图,在四边形 ABCD 中,对角 线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交 于

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