2018-2019学年福建省东山县第二中学高二下学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案

2018-2019 学年福建省东山县第二中学高二下学期第一次月考文科数学试卷

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

1.若 z ? 2 ? i ,则 z z 等于( ) A. ?5 B. ?4 ? i C. ?4 ? i

D. 5

2.观察下列各式: a2 ? b2 ? 3 , a3 ? b3 ? 4 , a4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11, a6 ? b6 ? 18 ……,则

a9 ? b9 ? (
A. 28

) B. 76

C. 123

D. 199

3. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设( )

A.三个内角都不大于 60°

B.三个内角都大于 60°

C.三个内角至多有一个大于 60°

D.三个内角至多有两个大于 60°

4.“ x ?1”是“ ln x ? 0 ”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也

不必要条件
5.已知函数 f (x) ? x3 ? mx2 ? mx ?1既存在极大值又存在极小值,那么实数 m 的取值范围是

A. ?0,3?

B. ???,0?

C. ?3, ???

D.???,0? ?3,???

6.已知 c>1, a ? c ?1 ? c , b ? c ? c ?1 ,则正确的结论是( )

A. a ? b B. a ? b C. a ? b

D. a, b 大小不定

7.某些首饰,如手镯,项链吊坠等都是椭圆形状,这种形状给人以美的享受,在数学中,我 们把

这种椭圆叫做“黄金椭圆”,其离心率 e ? 5 ?1 .设黄金椭圆的长半轴,短半轴,半焦 2
距 分别为 a,b,c,则 a,b,c 满足的关系是( )

A. 2b ? a ? c

B. b2 ? ac

C. a ? b ? c

D. 2b ? ac

8. 图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得

到.图二是

第 1 代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第 2 代“勾股树”,以此类推,已知

最大的

正方形面积为 1,则第 n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )

A. 2n?1 ?1;n ?1 B. 2n ?1;n ?1 C. 2n ?1;n D. 2n?1 ?1;n

9.已知过抛物线 y2 ? x 的焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 O 为坐标原点,则

OA?OB ? ( ) A. ? 3 16

B. 3 16

C. 0

D. ?1

10.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情

况,

四名学生回答如下:

甲说:“我们四人都没考好”;

乙说:“我们四人中有人考的好”;

丙说:“乙和丁至少有一人没考好”;

丁说:“我没考好”.

结果,四名学生中只有两人说对了,则说对了的两人是(

)

A.甲 丙

B.乙 丁

C.丙 丁

D.乙 丙

11.已知函数 y ? f (x)(x ? R) 的图像过点 (1,1) , f '(x) 为函数 f (x) 的导函数, e 为自然对

数的底数.

若 f '(x) ? 1 恒成立,则不等式 f (x) ? x 的解集为( )

A. (0, 1) e

B. (0,1)

C. (1, ??)

D. (e, ??)

12.已知 f (x) ? x3 ? x , a,b,c ? R ,且 a ? b ? 0, b ? c ? 0 , c ? a ? 0 ,

则 f (a) ? f (b) ? f (c) 的值( )

A.一定大于零

B.一定等于零 C.一定小于零 D.正负都有可能

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知 a ? 3i ? b ? 4i ?a,b? R? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? bi ?________;
i
14.曲线 y ? x2 ? 1 在点 (1, 2) 处的切线方程为______. x

15.已知抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F,O 为坐标原点, M 为抛物线上一点且| MF |? 3 ,

则 ?OMF 的面积为______.
? ? 16.在等差数列 an 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? .... ? an ? a1 ? a2 ? .... ? a19?n ,

(n ? 19, n ? N ? ) 成立.类比上述性质,相应地,在等比数列?bn? 中,若 b9 ? 1,

则有等式

成立.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)已知复数 z ? bi, (b ? R) , z ? 2 是纯虚数, i 是虚数单位. 1? i
(1)求复数 z ; (2)若复数 (m ? z)2 所表示的点在第二象限,求实数 m 的取值范围.

18、(12 分)已知 a ? 0,b ? 0 且 a ? b ?1,求证: a ? 1 ? b ? 1 ? 2

2

2

19. (12 分) 某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,经统计知年份 x 和储蓄存款 y (千亿

元)具有

线性相关关系,下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额), 如下表(1):

年份 x

2014 2015 2016 2017 2018

储蓄存款 y(千亿元)

5

6

7

8

10

表(1)

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令 t=x ? 2013,w=y ? 5

得到下表(2):

时间代号 t 1 2 3 4 5

w

01235

表(2)

(1)由最小二乘法求 w 关于 t 的线性回归方程;

(2)通过(1)中的方程,求出 y 关于 x 的线性回归方程;

(3)用所求回归方程预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达多少?

【附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v?=??u+?? 的斜率和截距



n

? uivi ? nuv

? 最小二乘估计分别为 ?? ?

i ?1 n

ui 2

?

2
nu

?? ? v ? ??u 】

i ?1

20. (12 分).为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服

药, 另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图, 其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 x 的值小于 1.7 的概率; (2)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只 需写出结论) (3)若指标 x 小于 1.7 且指标 y 大于 60 就说总生理指标正常(例如图中 B、D 两名患者的总生 理指标正常),
根据上图,完成下面 2?2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为总生理指标正常与是否服药
有关,说明理由;

总生理指标正常

总生理指标不正常

总计

服药

不服药

总计

附: K2

= P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 错误!.

k0

2.706 3.841 6.635 7.879

21.(12 分)在 ?MAB 中,点 A(?1, 0), B(1, 0) ,且它的周长为 6 ,记点 M 的轨迹为曲线 E . (1)求 E 的方程; (2)设点 D(?2, 0) ,过 B 的直线与 E 交于 P,Q 两点,求证: ?PDQ 不可能为直角.

22、(12 分)已知函数 f (x) ? x ? a ? (a ?1) ln x x

(a ? 0)

(1)求函数 f (x) 的单调区间;

(2)设函数 g(x) ? a .若对于任意 x ?(1, e] ,都有 f (x) ? g(x) 成立,求实数 a 的取值范围. x

东山二中 2018—2019 学年(下)高二年月考一文科数学答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

B

B

C

D

C

B

A

A

D

C

A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13、5

14、 x ? y ?1 ? 0 15、

2

16、 b1b2...bn ? b1b2...b 17?n

三.解答题(共 6 小题,其中 17 题 10 分,其余每小题均为 12 分,共 70 分) 17.(10 分)已知复数 z=bi(b∈R),z1- +2i是纯虚数,i 是虚数单位. (1)求复数 z; (2)若复数(m+z)2 所表示的点在第二象限,求实数 m 的取值范围.

(1)z1- +2i=

bi ? 2 1? i

?

(bi ? 2)(1? i) (1? i)(1? i)

?

b

? 2

2

?

b

? 2

2

i

---------3 分

z-2 因为1+i为纯虚数,所以 b ? 2 ,即 Z ? 2i ---------5 分

(2)(m+z)2= (m ? 2i)2 ? m2 ? 4mi ? 4i2 ? (m2 ? 4) ? 4mi

因为所表示的点在第二象限,

?m2 ?

?

4

?

0

---------8 分

?4m ? 0

解得

??2 ? m ??m ? 0

?

2

?

0

?

m

?

2

---------10 分

18、(12 分)已知 a>0, b>0 且 a+b=1,求证: a+12+

b+12≤2.

证明 要证 a+12+ b+12≤2,

只需证 a+12+b+12+2 又 a+b=1,

???a+21??????b+12???≤4,

即只需证明 ???a+21??????b+12???≤1.



???a+21??????b+12???≤???a+12???+2 ???b+12???

11 1+2+2 = 2 =1 成立,

所以 a+12+ b+12≤2 成立.

n

n

? ? 19. (12 分) (1)由已知,得 t ? 3, w ? 2.2 , tiwi ? 45 , ti2 ? 55 ,

i ?1

i ?1

b^=45-555-×53××92.2=1.2,---------3 分

a^= w -b^ t =2.2-1.2×3=-1.4,---------5 分

∴ w =1.2t-1.4. ---------6 分
(2)将 t=x-2 013, w =y-5,代入 w =1.2t-1.4, 得 y-5=1.2(x-2 013)-1.4,即y^=1.2x-2 412. ---------9 分 (3)∵y^=1.2×2 020-2 412=12,
∴预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达 12 千亿元.---------12 分

20. (12 分). (1)由图知,在服药的 50 名患者中,指标 x 的值小于 1.7 的有 50-3=47 人, 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,

此人指标 x 的值小于 1.7 的概率 P= 47 ---------3 分 50
(2)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差. ---------6 分
(3)根据题中数据得到如下列联表:

总生理指标正常

总生理指标不正常

总计

服药

33

17

50

不服药

22

28

50

总计

55

K2 的观测值

45

100

K 2=100?(33? 28-22?17)2 = 40 ? 4.444 ? 3.481

55? 45? 50? 50

9

所以有 95%的把握认为总生理指标正常与是否服药有关.-------12 分

21.(12 分)在 ?MAB 中,点 A(?1, 0), B(1, 0) ,且它的周长为 6,记点 M 的轨迹为曲线 E.

(1)求 E 的方程;

(2)设点 D(?2, 0) ,过 B 的直线与 E 交于 P,Q 两点,求证:∠PDQ 不可能为直角.

22、(12 分)已知函数 f (x) ? x ? a ? (a ?1) ln x x
(1)求函数 f (x) 的单调区间;

(a ? 0)

(2)设函数 g(x) ? a .若对于任意 x ?(1, e] ,都有 f (x) ? g(x) 成立,求实数 a 的取值范围. x


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