2013年秋北师大版必修1示范教案2.5简单的幂函数

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§5

简单的幂函数

整体设计 教学分析 教材从整数指数的幂函数自然引入,给出定义后,也只是推广到其他整数指数的情况, 但是要指出 x 为其他实数时仍有意义,留待第三章解决.对于函数的奇偶性,虽然给出了一 般定义,但是应该知道,教材重在从图上看出图像的对称性,着重从对称的角度应用这一性 质,也就是说,对奇偶性的要求是低的,习题不需要过难,要循序渐进. 值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像, 通过它们的图像, 让学生自己归纳出它 们的性质. 三维目标 1.了解指数是整数的简单幂函数的概念,巩固画函数图像的方法,培养学生识图和画 图的能力. 2.会利用定义证明简单函数的奇偶性,提高学生的逻辑思维能力. 3.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法,培养学生分析问题和解决问题的能 力. 重点难点 教学重点是幂函数的概念,奇函数和偶函数的概念. 教学难点是判断函数的奇偶性. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 2 思路 1.(1)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a ,这里 S 是 a 的函数. 3 (2)如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 V=a ,这里 V 是 a 的函数. 1 (3)如果正方形场地面积为 S,那么正方形的边长 a=S ,这里 a 是 S 的函数. 2 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型, 你能发现以上几个函数解析式有什么共同 点吗?(右边是指数式,且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表,如果让你给它们起一个名字的 话,你将会给它们起个什么名字呢?(变量在底数位置,解析式右边都是幂的形式) 思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数,这一节课我们 再学习一种新的函数——幂函数,教师板书引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①给出下列函数,y=x,y= x ,y=x ,y=x ,y=x ,考察这些解析式的特点. ②根据①, 如果让我们起一个名字的话, 你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一 般性的结论.
1 2
2 -1 3

1 的图像对称性有什么共同点? x 1 ④函数 y=x,y= 的解析式满足 f? -x? =-f? x? 吗? x
③函数 y=x,y= ⑤函数 y=x ,y=|x|的图像对称性有什么共同点? 2 ⑥函数 y=x ,y=|x|的解析式满足 f? -x? =f? x? 吗? 活动:①主要看函数的变量的位置和解析式的形式. ②总结出 解析式的共性后,类比前面的式子,起出一个名字. 1 ③画出函数 y=x,y= 的图像来观察.
2

x

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④代入函数的解析式验证即可. ⑤画出函数的图像来观察. ⑥代入函数的解析式验证即可. 讨论结果:①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们 的变量都在底数位置上. ②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们 称这种类型的函数为幂函数, 如果我们用字母 α 来表示函数的指数, 就能得到一般的式子. 即幂函数的定义: α 一般地,形如 y=x (x∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
1

如 y=x ,y= x 2 ,y=x 等都是幂函数,幂函数与二次函数一样,都是基本初等函数. 1 ③函数 y=x,y= 的图像都关于原点对称.

2

3

x

一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数. ④都满足 f(-x)=-f(x). 因此有: 函数 f(x)是奇函数 ? 函数 f(x)的图像关于原点对称 ? 对定义域内任意的 x, f(-x)=-f(x). ⑤都关于 y 轴对称. 一般地,图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数. ⑥都满足 f(-x)=f(x). 因此有: 函数 f(x)是偶函数 ? 函数 f(x)的图像关于 y 轴对称 ? 对定义域内任意的 x, f(-x)=f(x). 当函数 f(x)是奇函数或偶函数时,称函数 f(x)具有奇偶性. 提出问题 在图 1 中,只画出了函数图像的一半,请你画出它们的另一半,并说出画法的依据.

图1 2 讨论结果:函数 y=x ,y=-x 是奇函数,其图像关于原点对称;函数 y=x +1,y 4 =-x 是偶函数,其图像关于 y 轴对称.则这些函数图像的另一半如图 2 所示.
-1 3

图2 在研究函数时, 如果知道其图像具有关于 y 轴或原点对称的特点, 那么我们可以先研究 它的一半,再利用对称性了解另一半,从而减少了工作量. 应用示例 思路 1 3 例 1 画出函数 f(x)=x 的图像,讨论其单调性. 活动:学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义. 解:先列出 x,y 的对应值表(如下表),再用描点法画出图像,如图 3. 1 1 x ? -2 -1 0 1 2 ? - 2 2 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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y
? -8 -1 - 1 8 0 1 8 1 8 ?

图3 3 从图像上看出,y=x 是 R 上的增函数. 点评:本题主要考查描点法画函数的图像,以及应用图像讨论函数单调性的能力. 变式训练 1 画出幂函数 y=x 的图像,并讨论其单调性. 2 1 答案:幂函数 y=x 的图像如图 4 所示. 2

图4 从图像看出,函数 y= x 在[0,+∞)上是增函数. 3 4 例 2 判断 f(x)=-2x 和 g(x)=x +2 的奇偶性. 分析:根据函数奇偶性的定义来判断. 3 3 3 解:因为在 R 上,f(x)=-2x ,f(-x)=-2(-x) =2x ,所以 f(x)=-f(-x). 4 4 4 于是 f(x)是奇函数,而 g(x)=x +2,g(-x)=(-x) +2=x +2, 所以 g(x)=g(-x).于是 g(x)是偶函数. 点评:本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法. 判断函数奇偶性的方法: (1)定义法,其步骤是:①求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既 不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否相 等;②当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;③ 当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数;④当 f(-x)≠f(x) 且 f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)图像法:如果函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图像 关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图像关于原点和 y 轴均对称,那么这个 函数既是奇函数又是偶函数; 如果函数的图像关于原点和 y 轴均不对称, 那么这个函数既不 是奇函数又不是偶函数. 注意:分段函数的奇偶性要分段判断. 变式训练 1.判断下列函数的奇偶性. 2 2x +2x 3 (1)f(x)= ;(2)f(x)=x -2x. x+1 解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以 f(x)既不是奇函数也不是 偶函数. (2)函数的定义域为 R, f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 2.已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x- 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班
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x4,则当 x∈(0,+∞)时,f(x)=__________. 解析:利用偶 函数的性质 f(x)=f(-x)求解.当 x∈(0,+∞)时,则-x<0.又∵当 x 4 4 4 ∈(-∞,0)时,f(x)=x-x ,∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x) =-x-x . 4 答案:-x-x 3.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ). A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 解析: 各个选项中函数的定义域都是 R.A 中设 F(x)=f(x)f(-x), F(-x)=f(-x)f(x) 则 =F(x), 即函数 F(x)=f(x)f(-x)为偶函数; 中设 F(x)=f(x)|f(-x)|, F(-x)=f(- B 则 x)|f(x)|,此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确 定;C 中设 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数 F(x)=f(x)- f(-x)为奇函数; 中设 F(x)=f(x)+f(-x), (-x)=f(-x)+f(x)=F(x), D F 即函数 F(x) =f(x)+f(-x)为偶函数.
答案:D 思路 2 例 1 已知函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1,2 都有 f(x1·x2) x =f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; ? 5? ?7? (3)试比较 f?- ?与 f? ?的大小. 2? ? ?4? 分析:解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式.(1)利用赋值法证明 f(- x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性;(3)利用函数的单调性比较它们的大小. 解:(1)函数的定义域是 x≠0. 令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 令 x1=x2=-1,得 f(1)=f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1), ∴2f(-1)=0.∴f(-1) =0. ∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)设 0<x1<x2,则

x2? ? ?x2? ?x2? f(x2)-f(x1)=f?x1· ?-f(x1)=f(x1)+f? ?-f(x1)=f? ?, x1? x1? ? ? ?x1? x2 ?x2? ∵x2>x1>0,∴ >1.∴f? ?>0,即 f(x2)-f(x1)>0. x1 ?x1? ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

? 5? ?5? (3)由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f?- ?=f? ?, ? 2? ?2? ?5? ?7? 由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f? ?>f? ?, ?2? ?4? 5? ?7? ? ∴f?- ?>f? ?. ? 2? ?4? 点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象 函数的奇偶性和单调性通常应用定义法, 比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性 来比较.其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练 ? 7? 2 1.函数 y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上为减函数,试比较 f?- ?与 f(2a -a+1) ? 8? 的大小.
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分析:用函数的单调性比较大小,但需注意在函数的同一单调区间上进行. 7 ? 1?2 7 7 2 2 解:∵2a -a+1=2?a- ? + ≥ ,∴-(2a -a+1)≤- <0. 8 ? 4? 8 8 而函数 y=f(x)在(-∞,0]上为减函数, ? 7? 2 ∴f[-(2a -a+1)]≥f?- ?. ? 8? 2 2 又∵y=f(x)是偶函数,∴f[-(2a -a+1)]=f(2a -a+1). ? 7? 2 ∴f(2a -a+1)≥f?- ?. ? 8? 2.已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的不恒为零的函数, 且对定义域内的任意 x, f(x) y, 都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断 f (x)的奇偶性,并说明理由. 分析:(1)利用赋值法,令 x=y=1,得 f(1)的值,令 x=y=-1,得 f(-1)的值;(2) 利用定义法证明 f (x)是奇函数,要借助于赋值法,得 f(-x)=-f(x). 解:(1)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(x·y)=yf(x)+xf(y), ∴令 x=y=1 时,有 f(1·1)=1·f(1)+1·f(1), ∴f (1)=0; ∴令 x=y=-1 时,有 f[(-1)·(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f (-1)=0. (2)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(x·y)=yf(x)+xf(y), ∴令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1) . 将 f(-1)=0 代入,得 f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练 1.下列命题中正确的是( ). α A.当 α =0 时,函数 y=x 的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点 α α C.若幂函数 y=x 的图像关于原点对称,则 y=x 在定义域内 y 随 x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限 α 解析:当 α =0 时,函数 y=x 的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图像为两条射线,故 A α -1 不正确;当 α <0 时,函数 y=x 的图像不过(0,0)点,故 B 不正确;幂函数 y=x 的图像 α 关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故 C 不正确;当 x>0,α ∈R 时,y=x >0, 则幂函数的图像都不在第四象限. 答案:D 2.下列函数中不是幂函数的是( ). 3 -1 A.y= x B.y=x C.y=2x D.y= x α 解析:根据幂函数的定义:形如 y=x 的函数称为幂函数,可知 C 不是幂函数. 答案:C 3.下列函数是偶函数且在(-∞,0)上为减函数的是( ). 1 2 A.y=x B.y=x 3 3 -2 C.y=x D.y=x 1 3 2 -2 解析:函数 y=x 和 y=x 是奇函数,排除 A,C;函数 y=x 和 y=x 都是偶函数,由 3 -2 2 幂函数的性质可知,y=x 在(-∞,0)上为增函数,函数 y=x 在(-∞,0)上为减函数. 答案:B 4.下列图像表示具有奇偶性的函数可能是( ).

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图5 解析:图像关于原点或 y 轴对称的函数具有奇偶性.A,D 中的图形关于原点和 y 轴均 不对称,∴排除 A,D;C 中的图形虽然关于原点对称,但是过(0,-1)和(0,1)两点,这说 明当 x=0 时,y=±1,这不符合函数的定义,不是函数的图像,排除 C;B 中图形关于 y 轴对称. 答案:B

?1x +1, ?2 5.函数 g(x)=? 1 ? ?-2x -1,
2 2

x>0,
是( ).

x<0

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f(-x)是否等于 f (x)或-f(x).当 x>0 1 ?1 2 ? 2 时,-x<0,于是 g(-x)=- (-x) -1=-? x +1?=-g(x),当 x<0 时,-x>0,于 2 ?2 ? 1 1 2 ? 1 2 ? 2 是 g(-x)= (-x) +1= x +1=-?- x -1?=-g(x),综上可知,g(x)是奇函数. 2 2 ? 2 ? 答案:A 6.若奇函数 f(x)在区间[3,7]上递增且最小值为 5,则 f(x)在[-7,-3]上为( ). A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 解析:由题意得 f(3)=5.由奇函数在 y 轴两侧对称区间内的单调性相同,排除 C,D; f(x)在[-7,-3]上是增函数,则此时最大值是 f(-3)=-f(3)=-5,排除 A. 答案:B -1 7.幂函数 y=x 和 y=x,直线 y=1 和 x=1 将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦 3 限”:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图 6 所示),那么幂函数 y=x- 的图像在第一 2 象限中经过的“卦限”是( ).

A.Ⅳ,Ⅶ C.Ⅲ,Ⅷ

图6 B.Ⅳ,Ⅷ D.Ⅲ,Ⅶ

3 解析:幂函数 y=x- 的指数小于 0,其图像在第一象限内不过Ⅰ,Ⅱ,Ⅴ,Ⅵ卦限, 2 3 3 -1 ∵- <-1,∴在直线 x= 1 的右边,幂函数 y=x- 的图像在 y=x 的下边,即过Ⅲ,Ⅶ 2 2 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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卦限. 答案:D 8.设函数 y=f(x)是奇函数.若 f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则 f(1)+f(2) =__________. 解析:∵函数 y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案:-3 拓展提升 怎样判断分段函数的奇偶性? 探究:理解分段函数与函数奇偶性的含义, 通常利用定义法判断分段函数的 奇偶性. 在 函数定义域内,对自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数叫作分段函 数.分段函数不是几个函数,而是一个函数.因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否 关于原点对称,然后判断 f(-x)与 f(x)的关系.首先要特别注意 x 与-x 的范围,然后将 它代入相应段的函数表达式中,f(x)与 f(-x)对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函 数的定义进行比较. ?x? x-1? , x≥0, ? 例如:判断函数 f(x)=? 的奇偶性. ? x<0 ?-x? x+1? , 解:定义域是(-∞,0]∪(0,+∞)=R. 当 x>0 时,有 f(x)=x(x-1),-x<0, ∴f(-x)=-(-x)(-x+1)=-x(x-1)=-f(x). 当 x<0 时,f(x)=-x(x+1),-x>0, ∴f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x). 当 x=0 时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0). 综上所得,对 x∈R,总有 f(-x)=-f(x) 成立.∴f(x)是奇函数. 课堂小结 1.幂函数的概念. 2.函数的奇偶性. 作业 习题 2—5 A 组 1,2,3. 设计感想 幂函数作为一类重要的函数模型, 是学生在系统地学习了二次函数之后的又一类基本的 初等函数. 学生已经有了学习二次函数的图像和性质的学习经历, 幂函数概念的引入以及图 像和性质的研究便水到渠成.因此,在本节教学设计过程中,引入幂函数的概念之后,尝试 放手让学生自己进行合作探究学习. 备课资料 函数对称性的探究 函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数 的性质是竞赛和高考的重点与热点, 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广 泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决, 对称关系还充分 体现了数学之美. 本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨 函数与对称有关的性质. 一、函数自身的对称性探究 定理 1.函数 y=f(x)的图像关于点 A(a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a-x)=2b. 证明:(必要性)设点 P(x,y)是 y=f(x)图像上任一点, ∵点 P(x,y)关于点 A(a,b)的对称点 P′(2a-x,2b-y)也在 y=f(x)图像上, ∴2b-y=f(2a-x), 即 y+f(2a-x)=2b.故 f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证. (充分性)设点 P(x,y)是 y=f(x)图像上任一点,则 y=f(x). ∵f(x)+f(2a-x)=2b, ∴2b-f(x)=f(2a-x),即 2b-y=f(2a-x). 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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故点 P′(2a-x,2b-y)也在 y=f(x)图像上, 又点 P 与点 P′关于点 A(a,b)对称,充分性得证. 推论:函数 y=f(x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f(x)+f(-x)=0. 定理 2.函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a-x), f(x) 即 =f(2a-x). (证明留给读者) 推论:函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f( x)=f(-x). 定理 3.①若函数 y=f(x)图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对称(a≠b),则 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是其一个周期. ②若函数 y=f(x)图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称(a≠b),则 y=f(x)是 周期函数,且 2| a-b|是其一个周期. ③若函数 y=f(x)图像既关于点 A(a,c)成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称(a≠b), 则 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b|是其一个周期. ①②的证明留给读者,以下给出③的证明: ∵函数 y=f(x)图像关于点 A(a,c)成中心对称, ∴f(x)+f(2a-x)=2c,用 2b-x 代 x,得 f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c.(*) 又∵函数 y=f(x)图像关于直线 x=b 成轴对称, ∴f(2b-x)=f(x),代入(*),得 f(x)=2c-f[2(a-b)+x],(**) 用 2(a-b)+x 代 x, f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x], 得 代入(**), f(x)=f[4(a 得 -b)+x], 故 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b|是其一个周期. 二、不同函数对称性的探究 定理 4.函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图像关于点 A(a,b)成中心对称. 定理 5.①函数 y=f(x)与 y= f(2a-x)的图像关于直线 x=a 成轴对称. ②函数 y=f(x)与 a-x=f(a-y)的图像关于直线 x+y=a 成轴对称. ③函数 y=f(x)与 x-a=f(y+a)的图像关于直线 x-y=a 成轴对称. 定理 4 与定理 5 中①②的证明留给读者,现证定理 5 中的③. 设点 P(x0,y0)是 y=f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0). 记点 P( x,y)关于直线 x-y=a 的轴对称点为 P′(x1,y1),则 x1=a+y0,y1=x0-a. ∴x0=a+y1,y0=x1-a,代入 y0=f (x0)之中,得 x1-a=f(a+y1), ∴点 P′(x1,y1)在函数 x-a=f(y+a)的图像上. 同理可证: 函数 x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线 x-y=a 的轴对称点也在函数 y=f(x)的 图像上. 故定理 5 中的③成立. 推论:函数 y=f(x)的图像与 x=f(y)的图像关于直线 x=y 成轴对称. 三、函数对称性应用举例 例 1 定义在 R 上的非常数函数 f(x)满足:f(10+x)为偶函数,且 f(5-x)=f(5+x), 则 f(x)一定是( ). A.偶函数,也是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,也是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 解析:∵f(10+x)为偶函数, ∴f(10+x)=f(10-x). ∴f(x)有两条对称轴 x=5 与 x=10. 因此 f(x)是以 10 为其一个周期的周期函数. ∴x=0 即 y 轴也是 f(x)的对称轴. 因此 f(x)还是一个偶函数. 答案:A 例 2 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0 时,f(x) 京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

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1 =- x,则 f(8.6)=__________. 2 解析:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴x=0 是 y=f(x)的对称轴; 又∵f(1+x)=f(1-x),∴x=1 也是 y=f(x)的对称轴. 故 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数. ∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3. 答案:0.3 例 3 函数 y=f(x)的图像为 C,而 C 关于直线 x=1 对称的图像为 C1,将 C1 向左平移 1 个单位后得到的图像为 C2,则 C2 所对应的函数为( ). A.y=f(-x) B.y=f(1-x) C. y=f(2-x) D.y=f(3-x) 解析:C 关于直线 x=1 对称的图像为 C1 的解析式为 y=f(2-x),C1 向左平移 1 个单位 后得到的图像为 C2 的解析式为 y=f(2-(x+1)) ,即 y=f(1-x). 答案:B (设计者 方诚心)

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