18版高中数学常用逻辑用语2.3充要条件课件北师大版1_11802222131_图文

第一章 §2 充分条件与必要条件

2.3 充要条件

学习目标
1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习,弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

充要条件的概念

思考1
命题“若整数a是6的倍数,则整数a是2和3的倍数”中条件和结论 有什么关系?它的逆命题成立吗? 答案 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立.

思考2
若设p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数,则p是q的什么 条件?q是p的什么条件? 答案 因为p?q且q?p,所以p是q的充分条件也是必要条件;

同理,q是p的充分条件,也是必要条件.

梳理
一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作 p?q .此时,我们说,

p是q的 充分必要条件 ,简称 充要条件 .

知识点二

充要条件的判断

1.由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则p”,那么p与q有以下

四种情形: 原命题 逆命题 条件p与结论q的关系 真
假 真

结论 p是q成立的充分不必要条件
p是q成立的必要不充分条件 p是q成立的充要条件


真 真

p?q,但q?p _____________

q?p,但p?q _____________ p?q,q?p,即p?q __________________





p?q,q?p __________

p是q成立的既不充分又不必要条件

由上表可得充要条件的判断方法:原命题和逆命题均为真命题,p才是 q的充要条件.

2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B, 则p是q的充分条件, 若A B, 则p是q的充分不必要条件 若B?A, 则p是q的必要条件, 若B A, 则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件

若A?B且B?A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.

题型探究

类型一 例1

充要条件的判断

下列各题中, p 是 q 的什么条件? ( 指充分不必要、必要不充分、

充要、既不充分又不必要条件)
(1)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; 解答 ∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形, 四边形是矩形?四边形的对角线互相平分,

∴p是q的必要不充分条件.

(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0; 解答 ∵a2+b2=0?a=b=0?a+b=0,

a+b=0?a2+b2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(3)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1 ; 解答
∵当 x=1 或 x=2 成立时,可得 x-1= x-1 成立, 反过来,当 x-1= x-1 成立时,可以推出 x=1 或 x=2, ∴p 是 q 的充要条件.

(4)p:sin α>sin β,q:α>β. 解答 由sin α>sin β不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出sin α>sin β, ∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件. 则p是q的既不充分又不必要条件.

充要条件的常用判断方法 (1)命题判断法 设“若p,则q”为原命题,那么: ①原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;

反思与感悟

③原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;
④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分又不必要条件.

(2)集合法
若p与q确定的集合分别是A,B,则当且仅当A=B时,p是q的充要条件.

跟踪训练1 (1)“x>1”是“ log 1 (x+2)<0”的 答案
A.充要条件
2

解析

B.充分不必要条件
C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件
log 1 (x+2)<0?x+2>1?x>-1, 由x>1?x+2>3? log 1 (x+2)<0,
2 2

故“x>1”是“ log 1 (x+2)<0”成立的充分不必要条件.故选B.
2

(2)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 答案 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

解析

D.既不充分又不必要条件
当x=1,y=-2时,x>y,但x>|y|不成立;

因为|y|≥y,所以若x≥|y|,则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件.

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1 探求充要条件 例2 求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1-a>0对于一切实数x都成立

的充要条件. 解答

反思与感悟

探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明
“条件?结论”和“结论?条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可

以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.

跟踪训练2

设a、b、c为△ABC的三边,求方程x2+2ax+b2=0与x2+

2cx-b2=0有公共根的充要条件. 解答

命题角度2 充要条件的证明 例3 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件 是ac<0. 证明

反思与感悟

一般地,证明 “p 成立的充要条件为 q” ,在证充分性时,应以 q 为 “已知条件”,p是要证明的“结论”,即q?p;证明必要性时,则是

以p为“已知条件”,q是要证明的“结论”,即p?q.

跟踪训练3
证明

求证:一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.

①充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,

因为f(-x)=k(-x)=-kx,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数. ②必要性:因为f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)对任意x均成立, 即k(-x)+b=-(kx+b),所以b=0. 综上,一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.

类型三 例4

充分条件与必要条件的应用

已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,

求m的取值范围. 解答
? ? m ? m ? ? 由 3x+m<0 得,x<- .∴p:A=?x|x<- ? . ? 3 3? ?

由x2-2x-3>0得,x<-1或x>3. ∴q:B={x|x<-1或x>3}.
m ∵p?q 而 q?p,∴A 是 B 的真子集,∴- ≤-1, 3

∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).

反思与感悟

首先应把p与q之间的关系转化为p,q确定的集合之间的包含关系,然后, 构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等价性的应用.

3 跟踪训练4 已知p:x≥k,q: <1,如果p是q的充分不必要条件, x+1 则k的取值范围是 答案 解析

A.[2,+∞) C.[1,+∞) q:x<-1或x>2, 由题意知,{x|x≥k}

B.(2,+∞) D.(-∞,-1]

{x|x<-1或x>2},则k>2,

∴k的取值范围是(2,+∞).

当堂训练

1.“x2>2 017”是“x2>2 016”的 答案 A.充分不必要条件 √ B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

1

2

3

4

5

2.“a>b”是“a>|b|”的 答案
A.充分不必要条件

解析

B.必要不充分条件 √
C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件
由a>|b|?a>b,而a>b推不出a>|b|.

1

2

3

4

5

3.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论中正确的是

①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;

答案

解析

③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;
④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.

A.③

B.①② C.①②③

D.①②③④



Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要 条件,利用该结论可知①②③正确, 由于Δ=b2-4ac=0时,方程有相等实根,故④是正确的.
1 2 3 4 5

m=-4或 4.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是__________ m=0 答案 ______.
解析

圆心(1,1)到直线 x+y+m=0 的距离为 2,

|1+1+m| 即 = 2, 2

解得m=-4或m=0.

1

2

3

4

5

5.已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件, 求m的取值范围. 解答
m m 由 3x+m<0,得 x<- ,∴p:A={x|x<- }. 3 3

得x<-1或x>3, 由x2-2x-3>0,

∴q:B={x|x<-1或x>3}.
∵p?q而q?p, ∴A B, m ∴- ≤-1, 3 ∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).
1 2 3 4 5

规律与方法
1.充要条件的判断有三种方法:定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注 意两种叙述方式的区别:

①p是q的充要条件,则由p?q证的是充分性,由q?p证的是必要性;
②p的充要条件是q,则由p?q证的是必要性,由q?p证的是充分性.

(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步
的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.

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