福建省2012-2013学年三明一、二中联合考试高二数学理

福建省 2012-2013 学年三明一、二中联合考试

高二数学(理科)试题
(考试时间:2013 年 1 月 26 日下午 3:00-5:00 满分:150 分) 说明: 1.答题前,考生务必先将答题卷上的年段、原班级、原座号、姓名、准考证号、考试座 位号用黑色字迹签字笔填写清楚; 2.请严格按照答题卷上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试 题、草稿纸上答题无效; 3.请保持答题卷卷面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损;

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 从集合 ? 2, 4,?中随机取出一个数, 设事件 A 为 “取出的数是偶数” 事件 B 为 , “取 1, 3, 5 出的数是奇数” ,则事件 A 与 B A.是互斥且是对立事件 C.不是互斥事件

B.是互斥且不对立事件 D.不是对立事件

b 2.若向量 a 、 b 的坐标满足 a ? b ? (?2 , ? 1 , 2) , a ? b ? (4 , ? 3 , ? 2) ,则 a · 等于
A. 5 B. ? 5 C. 7 D. ? 1
2

3.已知某个三棱锥的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位: cm ) ,则这个三棱锥的体积是

1 2 3 B. cm cm3 3 3 4 8 3 3 C. cm D. cm 3 3 4.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个不同平面, 下列四个命题中,正确的命题是 A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a // b
A. B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b D.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ? 5.有一抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2 米时,水面宽 4 米,则当 水面下降 1 米后,水面宽度为

2 正 视 图 1 1

2 左 视 图

2
俯视图 (第 3 题图)

第 1 页 共 10 页

A.9

B.4.5

C.

6

D. 2 6

6.如图是把二进制数 11111 ( 2 ) 化为十进制数的一个程序框图, 则判断框内应填入的条件是 A. i ? 4 B. i ? 4 C. i ? 5 D. i ? 5

7. 《中华人民共和国道路交通安全法》 据 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,血 液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以 上时,属醉酒驾车.据《法制晚报》报 道,2012 年 8 月 15 日至 8 月 28 日, 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如图是对这 28800 人血液中酒精含 量进行检测所得结果的频率分布直方 图,则属于醉酒驾车的人数约为 A. 4320 B. 2880 C. 8640 D. 2160
y (第 7 题图)

8.已知函数 f ( x) 的图像如图所示, f '( x)是f ( x) 的导函数, 则下列数值排序正确的是 A. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) C. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(2) ? f '(3)

O

2

3

x

(第 8 题图)

9. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内任取一点 P , 则点 P 到点 A 的距离小等于 a 的 概率为 A.

2 2

B.

2 ? 2

C.

1 6

D. ?

1 6

10.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 b ? N ? 的两个焦点为 F1 , F2 , O 为坐标原点,点 P 在双曲 4 b2

?

?

2 线上,且 OP ? 5 ,若 PF1 、 F1 F2 、 PF2 成等比数列,则 b 等于

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第 2 页 共 10 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置) 11.写出命题“ ?x0 ? (0, ? ) ,使得 sin x0 ? x0 ”的否定形式是********** 12. 当 a ? 3 时,右边的程序段输出的结果是********** 13.若双曲线 IF a<10 THEN y=2*a ELSE y=a*a PRINT y
(第 12 题图)

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则双曲 3 a2

线的渐近线方程为********** 14. 已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的动点, P 在 y 轴上的射影是 点
2

7 M , A( , 4) ,则 PA ? PM 的最小值是**********. 2
15.给出以下四个命题: ① “正三角形都相似”的逆命题; ② 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy ? 100 ; ③ “ ? 3 ? m ? 5 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆”的必要不充分条件; 5?m m?3

④ ?ABC 中 , 顶 点 A, B 的 坐 标 为 A(?2, 0), B(2, 0) , 则 直 角 顶 点 C 的 轨 迹 方 程 是

x2 ? y2 ? 4
其中正确命题的序号是**********(写出所有正确命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 13 分) 已知 p : “直线 x ? y ? m ? 0 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相交”; : q “方程 x ? x ? m ? 4 ? 0
2 2

2

的两根异号”.若 p ? q 为真, ?p 为真,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 13 分) 已知动点 M 到 A(0 , 1) 的距离比它到 x 轴的距离多一个单位. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 N (2 , 1) 作曲线 C 的切线 l ,求切线 l 的方程,并求出 l 与曲线 C 及 y 轴所围成图形 的面积 S .

第 3 页 共 10 页

18.(本小题满分 13 分) 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 , A1

D1 B1

C1

AA1 ? 4 ,点 E 在 CC1 上,且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的余弦值.
D A

E C B

19.(本小题满分 13 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某 医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资 料: 日 期 1月10日 10 2月10日 11 3月10日 13 4月10日 12 5月10日 8 6月10日 6

昼夜温差 x (° C) 就诊人数 y (个)

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性 回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (Ⅱ)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的

? 线性回归方程 y ? bx ? a ; (其中 b ?

18 ) 7

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则 认为得到的线性回归方程是理想的.试问该小组所得线性回归方程是否理想? 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,若椭圆 C 上 a2 b2

的点 P(1 ,

3 ) 到 F1 , F2 的距离和等于 4 . 2

第 4 页 共 10 页

(Ⅰ)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 Q 是椭圆 C 的动点,求线段 F1Q 中点 T 的轨迹方程; (Ⅲ)直线 l 过定点 M (0 , 2) ,且与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,若 ?AOB 为锐角( O 为 坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? ( x ? 1) ? 2 ln x , g ( x) ? (Ⅰ)当 ? ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 f (x) 在区间 ?e , ? ? ? 上恒为正数,求 ? 的最小值; (Ⅲ)若对任意给定的 x0 ? ?0 , e? ,在 ?0 , e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1 , 2) ,使得

1 x ,( ? ? R , e 为自然对数的底数). e

f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 ? 的取值范围.

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高二数学(理科)试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 A

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. ?x ? ?0, ? ?,使得 sin x ? x ; 13. y ? ? 3x ; 14. 12. 6 ;

9 ; 2

15.③

三、解答题(共 6 小题,共 80 分,只给出一种答案,其它解法只要言之有理,均应酌情给分) 16. (本小题满分 13 分) 解:∵

p ? q 为真, ?p 为真, ∴ p 假 q 真.
1? m 2 ? 1,
????9

若 p 为假:由圆心 ?1 , 0 ? 到直线的距离 d 不小于半径 1 ,即 d ? ∴ m ? 1? 分 若 q 为真:由韦达定理知: x1 x2 ? m ? 4 ? 0 即 m ? 4 . 所以当 p 假 q 真时, m ? 1 ? 2 或 1 ? 2 ? m ? 4 . 故 m 的取值范围是: ? ? , 1 ? 2 ? 1 ? 分 17.(本小题满分 13 分)

2 或 m ? 1? 2 .

?

? ?

2,4 .

?

????13

解: (Ⅰ)设动点 M 的坐标为 ( x , y) ,依题意得:动点 M 到点 A 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等,由抛物线定义知:M 的轨迹 C 是以 A 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物 线, 其方程为:x ? 4 y .
2

??????

6分 (Ⅱ)∵曲线 C 的方程可写成: y ? 斜率为 y ?
x?2

1 2 x ,注意到点 N (2 , 1) 在曲线 C 上,过点 N 的切线 l 4

?

1 x 2

x?2

? 1 ,故所求的切线 l 的方程为: y ? 1 ? x ? 2 即 y ? x ? 1 .
????9

第 6 页 共 10 页

分 由定积分的几何意义,所求的图形的面积
2 1 2 2 1 1 S ? ? ( x 2 ? x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) ? . 0 4 0 3 12 2

????13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建

2,, (0 , ,,E 21),,(2 0 4), . (0 , A1 , 立如下图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .则 B(2,0) C 2 0) ???? ???? ? ??? ? ??? ? 2, DA 0, ??? 2 分 DE ? (0,1) DB ? (2, 0) , A1C ? (?2, ? 4), 1 ? (2, 4) . 2,, 2,
=-4+4+0=0 , A1C ? DE=0+4-4=0 ,故 AC ? BD , A1C ? DE . 有 A1C ? DB 1
又 DB ? DE ? D ,所以 A1C ? 平面 BDE . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 A1C 是平面 BDE 的一个法向量, ??? 6 分 z

? 设向量 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 DE 的法向量,则 D1 ? ???? A1 ?n ? DE ? n ? DE ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? ? ? ???? ? ? ?n ? DA1 ? 2 x ? 4 z ? 0 ?n ? DA1 ? ? ? 令 y ? 1,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4,1, ?2) .??? 10 分 ? ???? n ? A1C (?2) ? 4 ? 2 ?1 ? (?4) ? (?2) ? ???? 14 cos ? n , A1C ?? ? ???? ? . ? 42 | n || A1C | 2 6 ? 21
所以二面角 A1 ? DE ? B 的余弦值为 14 .?????13 分 42 19.(本小题满分 13 分) A x

C1 B1

E C B y

D

解: (Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件 A .因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种 情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种, ∴ 分 (Ⅱ)由数据求得 x ? 11 , y ? 24 ,由公式 a ? y ? b x ,得 a ? ?

P( A) ?

5 1 ? . 15 3 30 , 7

????4

? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?
分 (Ⅲ)当 x ? 10 时, y ?

18 30 . x? 7 7

????9

150 4 150 ? 22 ? ? 2 ; ,有 7 7 7

同样,当 x ? 6 时, y ?

78 6 78 ? 12 ? ? 2 ; ,有 7 7 7
????13 分

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 20.(本小题满分 14 分)

第 7 页 共 10 页

3 3 1 解: (Ⅰ)由题意得:2a ? 4 ? a ? 2 ,又点 P( , ) 椭圆 C 上,∴ ? 4 ? 1 ? b 2 ? 1 1 2 4 b2 x2 ∴ 椭圆 C 的方程 ???????5 分 ? y 2 ? 1 ,焦点 F1 (? 3,0)、F2 ( 3,0) . 4 (Ⅱ)设椭圆 C 上的动点 Q(x 0 , y 0 ) ,线段 F1Q 中点 T ( x, y) ,
? ? 3 ? x0 ?x ? ?x ? 2x ? 3 ? 2 由 题 意 得 : ? 代 入 椭 圆 C 的 方 程 得 , ?? 0 y0 y0 ? 2 y ? ? y? ? 2 ? 2 (2 x+ 3) 2 ? 2 y) ? 1 ( 4
即 (x ? 分 (Ⅲ)由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0 ,设 l : y ? kx ? 2 代入 得

3 2 ) ? 4 y 2 ? 1 为线段 F1Q 中点 T 的轨迹方程. 2

????????9

x2 ? y 2 ? 1 整理, 4
????①

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16 kx ? 12 ? 0 ,

? ? (16 k ) 2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ? 12 ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ? k 2 ?
设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) ,∴

3 4

x1 ? x2 ? ?

16 k 12 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

∵ ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 , 又 ∴

y1 y 2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . x1 x2 ? y1 y 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

由①、②得

12 16 k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12 k 2 ? 32 k 2 4(4 ? k 2 ) ? ?4? ? 0 , ∴ k 2 ? 4 . ????② 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 3 3 3 (-2,- ) ( ,2) ???14 ? . <k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 2 2 4 ? (1 ? k 2 ) ?

分 21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f (x)的定义域为 ?0 , ? ? ? ,当 ? ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, f ?( x) ? 1 ? ,

2 x

由 f ?( x) ? 0 ? x ? 2 , 由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 2 . 故 f (x) 的单调减区间为 ?0 , 2? ,单调增区间为 ?2 , ? ? ? . 分 ????4

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(Ⅱ) f ( x) ? 0 在 ?e , ? ? ? 恒成立等价于: ? ?
(1 ? ln x ) ? ( x ? 1)
2

2ln x 在 ?e , ? ? ? 恒成立, x ?1
1 x

令 ? ( x) ?

2ln x , x ? (e, ??), 则 ? ?( x) ? 2 x ?1

? 0 ,x∈ e, ??) ,于是 ? ( x) 在 (e, ??) 上 (

为减函数,又在 x=e 处连续,故在 (e, ??) , ? ( x) ? ? (e) ? 的 x ? ?e , ? ? ? 恒成立.只要 ? ? (Ⅲ)一次函数 g ( x) ?

2 2ln x 对任意 , 从而要使 ? ? e ?1 x ?1
????9 分

2 2 ,故 ? 的最小值为 . e ?1 e ?1

1 1 x 在 R 上递增,故函数 g ( x) ? x 在 ?0 , e? 上的值域是 ?0 , 1?. e e

当 ? ? 0 时, f ( x) ? ?2 ln x 为单调递减函数,不合题意;

?(x ? ) 2 ? , x ? ?0 , e? ,要使 f (x) 在 ?0 , e? 不单调,只要 当 ? ? 0 时, f ?( x) ? ? ? ?
x x 2 2 ??① 0 ? ? e ,此时 ? ? ? e 2 2 故 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增.注意到 x ? 0 时, f (x) ? ?? ? ? 2 2 ∴ f ( x) min ? f ( ) ? 2 ? ? ? 2 ln ? 2 ln ? ? ? ? 2 ? 2 ln 2 , f (e) ? ? (e ? 1) ? 2

2

?

?

e ∴ 对 任 意 给 定 的 x0 ? ( 0 , ], 在 区 间 (0, e] 上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1 , 2) 使 得
? 2 ?f( )?0 f ( xi ) ? g ( x 0 ) 成 立 , 当 且 仅 当 ? 满 足 下 列 条 件 ? ? , 即 ? f (e) ? 1 ?
?2 ln ? ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ? ? (e ? 1) ? 2 ? 1 ?
令 h(? ) ? 2 ln ? ? ? ? 2 ? 2 ln 2 , h?(? ) ?

2??

?

,当 ? ? ( , 2) 时, h?(? ) ? 0, 函数 h(? ) 单调

2 e

递增;当 ? ? (2, ??) 时, h?(? ) ? 0, 函数 h(? ) 单调递减.所以,当 ? ? ( 2 , ??), 时有 e

h(? ) ? h(2) ? 0, 即 h(? ) 对任意 ? ? ( 2 , ?) 恒成立. ?
e

又由 ? (e ? 1) ? 2 ? 1,解得 ? ? ∴ 综合①②可知,当 ? ?

3 ??② e ?1

3 时,对任意给定的 x0 ? ?0 , e?,在 ?0 , e? 上总存在两个不 e ?1
????14

同的 xi (i ? 1 , 2) ,使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立.

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