2016届陕西省高考数学全真模拟试卷(文科)(三)(解析版)

2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷(文科) (三)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|x≥0},B={﹣1,0,1},则 A∩B=( A.{1} B.{0,1} C.{﹣1,0} D.? 2.已知向量 ,则向量 =(





A. (﹣1,1) B. (﹣1,0) C. (1,1) D. (0,﹣1) 3.若复数 z 满足 ,其中 i 为复数单位,则 z=( )

A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i 4.已知抛物线方程为 A. (0,﹣1) B. ,则该抛物线的焦点坐标为( C. D. (0,1) ) )

5.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y=lnx B.y=cosx C.y=﹣x2D. 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,则 S9 的值( A.54 B.45 C.36 D.27 )

7.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值为(



A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 8.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ =( ) φ< )的部分图象如图所示,则 f( )

A. B.1 C. D.2 9.已知某个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(



A.4

B.12 C.8

D.8 ,若在菱形内取一点,则该点到菱形的四个 )

10.已知菱形 ABCD 的边长为 4, 顶点的距离均大于 1 的概率为( A. B. C. D.

11.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 曲线的标准方程为( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣

倍,且一个顶点的坐标为(0,2) ,则双

=1 D.



=1

12.定义 f(x)?g(x)=

,函数 F(x)=(x2﹣1)?(x)﹣k 的

图象与 x 轴有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 ( ) A.k≥3 或 0≤k<1 B.k>3 或 0<k<1 C.k≤1 或 k≥3 D.0≤k≤1 或 k>3 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.根据某样本数据得到回归直线方程为 y=1.5x+45,x∈{1,7,10,13,19},则 = . 14.已知函数 f(x)=ax3﹣3x+2016 的图象在(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,则 a= . 15.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出 n 的值为 . (参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)

16.已知各项都为正数的等比数列{an},公比 q=2,若存在两项 am,an,使得 则 的最小值为 .

=2a1,

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知 a,b,c 分别是△ ABC 内角 A,B,C 的对边,且满足(b﹣c)2=a2﹣bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,sinC=2sinB,求△ ABC 的面积. 18.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形,侧棱 SA=4,AC 与 BD 相交于点 O. (1)证明:SO⊥BD; (2)求三棱锥 O﹣SCD 的体积.

19.2015 年 1 月 1 日新《环境保护法》实施后,2015 年 3 月 18 日,交通运输部发布《关于 加快推进新能源汽车在交通运输行业推广应用的实施意见》 ,意见指出,至 2020 年,新能源 汽车在交通运输行业的应用初具规模, 在城市公交、 出租汽车和城市物流配送等领域的总量 达到 30 万辆;新能源汽车配套服务设施基本完备,新能源汽车运营效率和安全水平明显提 升.随着新能源汽车的迅速发展,关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程(单次充电后能 行驶的最大里程)一直是消费者最为关注的话题. 对于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取 n 辆纯电动汽车调查其 续航里程, 被调查汽车的续航里程全部介于 50 公里和 300 公里之间, 将统计结果分成 5 组: [50,100) ,[100,150) ,[150,200) ,[200,250) ,[250,300],绘制如图所示的频率分布 直方图. (1)若续航里程在[100,150)的车辆数为 5,求抽取的样本容量 n 及频率分布直方图中 x 的值;

(2)在(1)的条件下,若从续航里程在[200,300]的车辆中随机抽取 2 辆车,求其中恰有 一辆车的续航里程为[250,300]的概率.

20.在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 e=

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:

x2+y2﹣2 x﹣1=0 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在斜率为﹣1 的直线 l,与椭圆交于 A,B 两点,且满足 OA⊥OB.若存在,求 该直线方程;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,不等式 f(x1)≥mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 AD 是△ ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M(3,4) ,其倾斜角为 45°,圆 C 的参数方程为 .再以原点为极点,以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得 它与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,求|MA|?|MB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|

(1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤|a﹣2|的解集非空,求实数 a 的取值范围.

2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷(文科) (三)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|x≥0},B={﹣1,0,1},则 A∩B=( A.{1} B.{0,1} C.{﹣1,0} D.? 【考点】交集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|x≥0},B={﹣1,0,1}, ∴A∩B={0,1}, 故选:B.



2.已知向量

,则向量

=(



A. (﹣1,1) B. (﹣1,0) C. (1,1) D. (0,﹣1) 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】利用 = ,即可得出. = =(1,1) 【解答】解: , 故选:C.

3.若复数 z 满足

,其中 i 为复数单位,则 z=(



A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把已知等式变形,直接利用复数代数形式的乘法运算得答案. 【解答】解:由 故选:B. ,得 z=i(1﹣i)=1+i,

4.已知抛物线方程为 A. (0,﹣1) B.

,则该抛物线的焦点坐标为( C. D. (0,1)



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】把抛物线方程化成标准方程,根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标. 【解答】解:把抛物线方程化为标准方程为:x2=4y, ∴抛物线的焦点在 y 轴的正半轴,p=2, ∴抛物线的焦点坐标为(0,1) . 故选:D. 5.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) .

A.y=lnx B.y=cosx C.y=﹣x2D. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】根据偶函数图象的对称性,对数函数和指数函数的图象,偶函数的定义,二次函数 以及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 【解答】解:A.y=lnx 的图象不关于 y 轴对称,不是偶函数,∴该选项错误; B.y=cosx 在(0,+∞)上没有单调性,∴该选项错误; C.y=﹣x2 是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴该选项正确; D. 故选 C. 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,则 S9 的值( A.54 B.45 C.36 D.27 【考点】等差数列的前 n 项和. ) 的图象不关于 y 轴对称,不是偶函数,∴该选项错误.

【分析】由条件并等差数列的定义和性质可得 3a5=15,求出 a5=5,由 S9=

=9a5

运算求得结果. 【解答】解:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,则由等差数列的定义和性质 可得 3a5=15,∴a5=5. S9= 故选 B. =9a5=45,

7.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值为(



A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】简单线性规划. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣y 表示直线在 y 轴上 的截距的相反数,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 【解答】解:画出可行域(如下图) ,由 z=x﹣y 可得 y=x﹣z 则﹣z 为直线 y=x﹣z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越大 由图可知,当直线 l 经过点 C(2,0)时, z 最大,且最大值为 zmax=2 故选 C

8.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ =( )

φ<

)的部分图象如图所示,则 f(



A.

B.1 C. D.2 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解析式,从而求得 f( 的值. 【解答】解:根据函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 可得 = = ﹣ ,求得 ω=2. +φ= ,求得 φ=﹣ ,∴f(x)=2sin(2x﹣ ) , φ< )的部分图象, )

再根据五点法作图可的 2? ∴f( )=2sin = ,

故选:A. 9.已知某个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )

A.4

B.12 C.8

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图还原原图形,然后利用正方体和三棱柱的体积公式求得答案. 【解答】解:由三视图还原原几何体如图:

则该几何体的体积为 V= 故选:B.



10.已知菱形 ABCD 的边长为 4, 顶点的距离均大于 1 的概率为( A. B. C. D. )

,若在菱形内取一点,则该点到菱形的四个

【考点】几何概型. 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可. 【解答】解:分别以 A,B,C,D 为圆心,1 为半径的圆, 则所以概率对应的面积为阴影部分, 则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为 2π, 则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积 S=π×12=π, ∵S 菱形 ABCD=AB?BCsin =4×4× =8,

∴S 阴影=S 菱形 ABCD﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π. 因此,该点到四个顶点的距离大于 1 的概率 P= 故选:D. = = ,

11.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 曲线的标准方程为( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣

倍,且一个顶点的坐标为(0,2) ,则双

=1 D.



=1

【考点】双曲线的标准方程. 【分析】由已知得双曲线的标准方程为 方程. 【解答】解:∵双曲线的顶点坐标为(0,2) , ∴a=2,且双曲线的标准方程为 根据题意 2a+2b= ?2c,即 a+b= 又 a2+b2=c2,且 a=2, ∴解上述两个方程,得 b2=4. ∴符合题意的双曲线方程为 故选:B. c. =1. =1,且 2a+2b= ?2c,由此能求出双曲线



12.定义 f(x)?g(x)=

,函数 F(x)=(x2﹣1)?(x)﹣k 的

图象与 x 轴有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 ( ) A.k≥3 或 0≤k<1 B.k>3 或 0<k<1 C.k≤1 或 k≥3 D.0≤k≤1 或 k>3 【考点】分段函数的应用;函数的图象. 【分析】根据定义求出(x2﹣1)*(x)的表达式,然后将函数转化为(x2﹣1)*(x)=k, 利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:由 x2﹣1+x≥1,即 x2+x﹣2≥0,解得 x≥1 或 x≤﹣2, 由 x2﹣1+x<1,即 x2+x﹣2<0,解得﹣2<x<1, 即(x2﹣1)*(x)= ,

由 F(x)=(x2﹣1)*(x)﹣k=0 得(x2﹣1)*(x)=k, 作出函数(x2﹣1)*(x)的图象如图:

要使(x2﹣1)*(x)=k 有两个交点, 则满足 k≥3 或 0≤k<1, 故选:A. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.根据某样本数据得到回归直线方程为 y=1.5x+45,x∈{1,7,10,13,19},则 = 60 . 【考点】线性回归方程. 【分析】根据回归直线方程过样本中心点( , ) ,代人方程即可求出结果. 【解答】解:∵ = (1+7+10+13+19)=10, ∴ =1.5×10+45=60. 故答案为:60. 14.已知函数 f(x)=ax3﹣3x+2016 的图象在(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,则 a= 1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得 a=1. 【解答】解:函数 f(x)=ax3﹣3x+2016 的导数为 f′(x)=3ax2﹣3, 由图象在(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴, 可得 f′(1)=3a﹣3=0, 解得 a=1. 故答案为:1. 15.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出 n 的值为 24 . (参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)

【考点】程序框图. 【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=6,S=3sin60°= ,

不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 故答案为:24.

16.已知各项都为正数的等比数列{an},公比 q=2,若存在两项 am,an,使得 则 的最小值为 .

=2a1,

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】存在两项 am,an,使得 等式的性质即可得出. 【解答】解:∵存在两项 am,an,使得 ∴ 2m+n﹣2=4 , =2a1, =2a1,可得 2m+n﹣2=4 ,m+n=4.再利用基本不

∴m+n=4. 则 = = ≥ 的最小值为 . = ,等号不成立,因此当

且仅当 m=3,n=1 时,则 故答案为: .

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)

17.已知 a,b,c 分别是△ ABC 内角 A,B,C 的对边,且满足(b﹣c)2=a2﹣bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,sinC=2sinB,求△ ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由已知等式可得 b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得 cosA= ,结合范围 A∈(0, π) ,即可求得 A 的值. (2)由 sinC=2sinB 及正弦定理可得 c=2b,又 a=3,A= 利用三角形面积公式即可得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵(b﹣c)2=a2﹣bc,可得:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得:cosA= 又∵A∈(0,π) , ∴A= …6 分 = = ,…4 分 ,由余弦定理可解得 b,c 的值,

(2)由 sinC=2sinB 及正弦定理可得:c=2b, ∵a=3,A= ,…8 分

∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2, ∴解得:b= ,c=2 ,…10 分 ∴S△ ABC= bcsinA= = …12 分

18.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形,侧棱 SA=4,AC 与 BD 相交于点 O. (1)证明:SO⊥BD; (2)求三棱锥 O﹣SCD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1) 由 SA⊥平面 ABCD 可得 SA⊥BD, 又 AC⊥BD, 故 BD⊥平面 SAC, 于是 BD⊥SO; (2)VO﹣SCD=VS﹣OCD= .

【解答】证明: (1)∵SA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴SA⊥BD, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC,

又 SA?平面 SAC,AC?平面 SAC,SA∩AC=A, ∴BD⊥平面 SAC,∵SO?平面 SAC, ∴SO⊥BD. (2)∵四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, ∴S△ OCD= S 正方形 ABCD= ∴VO﹣SCD=VS﹣OCD= = . = = .

19.2015 年 1 月 1 日新《环境保护法》实施后,2015 年 3 月 18 日,交通运输部发布《关于 加快推进新能源汽车在交通运输行业推广应用的实施意见》 ,意见指出,至 2020 年,新能源 汽车在交通运输行业的应用初具规模, 在城市公交、 出租汽车和城市物流配送等领域的总量 达到 30 万辆;新能源汽车配套服务设施基本完备,新能源汽车运营效率和安全水平明显提 升.随着新能源汽车的迅速发展,关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程(单次充电后能 行驶的最大里程)一直是消费者最为关注的话题. 对于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取 n 辆纯电动汽车调查其 续航里程, 被调查汽车的续航里程全部介于 50 公里和 300 公里之间, 将统计结果分成 5 组: [50,100) ,[100,150) ,[150,200) ,[200,250) ,[250,300],绘制如图所示的频率分布 直方图. (1)若续航里程在[100,150)的车辆数为 5,求抽取的样本容量 n 及频率分布直方图中 x 的值; (2)在(1)的条件下,若从续航里程在[200,300]的车辆中随机抽取 2 辆车,求其中恰有 一辆车的续航里程为[250,300]的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)频数=频率×样本容量求车辆数求出 n 的值,利用小矩形的面积和为 1,求得 x 值; (2)续航里程在[200,250)的车辆数为:20×0.003×50=3 辆;用 A,B,C 表示,续驶里程 在[250,300]的车辆数为:20×0.002×50=2 辆,用 a,b 表示,分别求得 5 辆中随机抽取 2 辆 车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法种数,根据古典概型的概 率公式计算. 【解答】解: (1)由题意得 n= =20 辆,

由直方图可得: (0.002+0.005+0.008+x+0.002)×50=1, ∴x=0.003; (2)由(1)n=20, ∴续航里程在[200,250)的车辆数为:20×0.003×50=3 辆;用 A,B,C 表示,

续驶里程在[250,300]的车辆数为:20×0.002×50=2 辆,用 a,b 表示, 从这 5 辆中随机抽取 2 辆为 AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共有 10 种抽法, 其中其中恰有一辆车的续航里程为[250,300]的抽法为,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共有 6 种抽法, 故恰有一辆车的续航里程为[250,300]的概率为 =

20.在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 e=

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:

x2+y2﹣2 x﹣1=0 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在斜率为﹣1 的直线 l,与椭圆交于 A,B 两点,且满足 OA⊥OB.若存在,求 该直线方程;若不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)求得圆 C 的圆心,可得椭圆的 c,再利用椭圆的离心率公式,建立方程,求出 a,b,即可求椭圆 E 的方程; OA⊥OB, (2) 假设存在直线 l, 将直线 y=﹣x+m 代入椭圆方程, 利用韦达定理, 可得 ? =0,即可求 m 值,即可判断存在性. 【解答】解: (1)圆 C:x2+y2﹣2 x﹣1=0 的圆心为( ,0) , 可设椭圆方程为 可得 c= 又 e= = + =1(a>b>0) ,

,即 a2﹣b2=3, ,

解得 a=2,b=1, 即有椭圆的方程为 +y2=1;

(2)假设存在斜率为﹣1 的直线 l,与椭圆交于 A,B 两点,且满足 OA⊥OB. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立 (*)可得 5x2﹣8mx+4m2﹣4=0,

所以 x1+x2=

,x1x2=



y1y2=(m﹣x1) (m﹣x2)=m2﹣m(x1+x2)+x1x2 =m2﹣ m2+ 由 OA⊥OB,可得 得 x1x2+y1y2=0, 即为 + = ? =0, ,

=0,

解得 m=±



又方程(*)要有两个不等实根, △ =(﹣8m)2﹣20(4m2﹣4)>0,解得﹣ m 的值符合上面条件, 所以存在斜率为﹣1 的直线 l 的方程为 y=﹣x±

<m<





21.已知函数 f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈R) . a=2 f x 1 f (Ⅰ)当 时,求函数 ( )在( , (1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,不等式 f(x1)≥mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求当 a=2 时,函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到 切线方程; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,令 f'(x)=0,得 2x2﹣2x+a=0,对判别式讨论,即当 当 时,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间; ,不等式 f(x1) 时,

(Ⅲ)函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,由(Ⅱ)可得

≥mx2 恒成立即为

≥m,求得

=1﹣x1+

+2x1lnx1,令 h(x)=1﹣x+

+2xlnx(0<x< ) ,求出导数,判断单调性,即可得到 h(x)的范围,即可求得 m 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x2﹣2x+2lnx, 则 f(1)=﹣1,f'(1)=2, 所以切线方程为 y+1=2(x﹣1) , 即为 y=2x﹣3. (Ⅱ) 令 f'(x)=0,得 2x2﹣2x+a=0, (1)当△ =4﹣8a≤0,即 时,f'(x)≥0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 时,由 2x2﹣2x+a=0,得 或 ; , (x>0) , ,

(2)当△ =4﹣8a>0 且 a>0,即 由 f'(x)>0,得

由 f'(x)<0,得 综上,当 当



时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞) ; 时,f(x)的单调递增区间是 . , , , ;

单调递减区间是

(Ⅲ)函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,由(Ⅱ)可得 由 f'(x)=0,得 2x2﹣2x+a=0,则 x1+x2=1, 由 ,可得 , , ,

=

=1﹣x1+

+2x1lnx1,

令 h(x)=1﹣x+

+2xlnx(0<x< ) ,h′(x)=﹣1﹣

+2lnx,

由 0<x< ,则﹣1<x﹣1<﹣ , <(x﹣1)2<1,﹣4<﹣

<﹣1,

又 2lnx<0,则 h′(x)<0,即 h(x)在(0, )递减, 即有 h(x)>h( )=﹣ ﹣ln2,即 >﹣ ﹣ln2,

即有实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣ ﹣ln2].

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 AD 是△ ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求 AD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由已知得∠EAD=∠DAC,∠DAC=∠FBC,从而∠FBC=∠FCB,由此能证明 FB=FC. (2)由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°,∠DAC= ∠EAC=60°,由此能求出 AD. 【解答】证明: (1)因为 AD 平分∠EAC, 所以∠EAD=∠DAC.… 因为四边形 AFBC 内接于圆, 所以∠DAC=∠FBC.… 因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,… 所以∠FBC=∠FCB,…, 所以 FB=FC.… 解: (2)因为 AB 是圆的直径,所以∠ACB=90°,… 又∠EAC=120°,所以∠ABC=30°,… ∠DAC= ∠EAC=60°,… 因为 BC=6,所以 AC=BCtan∠ABC=2 所以 AD= =4 (cm) .… ,…

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M(3,4) ,其倾斜角为 45°,圆 C 的参数方程为 .再以原点为极点,以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得 它与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,求|MA|?|MB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)利用 cos2θ+sin2θ=1 消去参数可得圆的直角坐标方程式,由极坐标与直角坐标 互化公式代入化简即可得出. (2)直线 l 的参数方程 , (t 为参数) ,代入圆方程得: +9=0,

利用|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|即可得出. 【解答】解: (1)消去参数可得圆的直角坐标方程式为 x2+(y﹣2)2=4, 由极坐标与直角坐标互化公式得(ρcosθ)2+(ρsinθ﹣2)2=4 化简得 ρ=4sinθ, (2)直线 l 的参数方程 , (t 为参数) .



代入圆方程得:

+9=0,

设 A、B 对应的参数分别为 t1、t2,则 于是|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=9.

,t1t2=9,

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3| (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤|a﹣2|的解集非空,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解 集,再取并集,即得所求. (2)利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值为 4,再根据|a﹣2|≥4,求得 a 的范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|,∴不等式 f(x)≤6 等价于 ①,或 ②,或 ③.

解①求得﹣1≤x<﹣ ;解②求得﹣ ≤x≤ ;解③求得 <x<2. 综合可得,原不等式的解集为[﹣1,2) . (2)∵f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣(2x﹣3)|=4,则 f(x)的最小值为 4. 若关于 x 的不等式 f(x)≤|a﹣2|的解集非空,则|a﹣2|≥4,a﹣2≥4,或 a﹣2≤﹣4, 求得 a≥6,或 a≤﹣2, 故 a 的范围为{a|a≥6,或 a≤﹣2 }.

2016 年 7 月 7 日


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