直线与平面的位置关系 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案

课后训练 千里之行 始于足下 1.对于不重合的两直线 m,n 和平面 α,下面命题中的真命题是__________.(填序号) ①如果 m?α,n ? α,m,n 是异面直线,那么 n∥α ②如果 m?α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n ③如果 m?α,n ? α,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 ④如果 m∥α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与过点 A,E,C 的平面的 位置关系是__________. 3.若 P 是平面 α 外一点,则下列命题正确的是________.(填序号) ①过 P 只能作一条直线与平面 α 相交 ②过 P 可作无数条直线与平面 α 垂直 ③过 P 只能作一条直线与平面 α 平行 ④过 P 可作无数条直线与平面 α 平行 4.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的个数是__________. ①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α ②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ③若 l∥α,m?α,则 l∥m ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m 5.(1)已知正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的正投影为底面中心)的侧棱长是底 面边长的 2 倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于________. (2)已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角 的正弦值等于________.(正三棱柱是底面为正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱) 6.下列命题中,正确的个数是__________. ①直线 a∥平面 α,则 a 平行于 α 内任何一条直线 ②直线 a 与平面 α 相交,则 a 不平行于 α 内的任何一条直线 ③直线 a 不平行于平面 α,则 a 不平行于 α 内任何一条直线 ④直线 a 不垂直于平面 α 内的某一条直线,则 a 不垂直于 α 内任何一条直线 7.如图,已知 PA 垂直⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E. 求证:AE⊥平面 PBC. 8.如图,在四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD=1, DB ? 2 2 . (1)证明 PA∥平面 BDE; (2)证明 AC⊥平面 PBD; (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 百尺竿头 更进一步 如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明 AA1⊥BD; (2)证明 CC1∥平面 A1BD. 参考答案与解析 千里之行 始于足下 1.② ①中 n 与 α 可以相交;③中 n 与 α 可能平行;④中 m 与 n 可能相交;由线面平 行的性质知,②正确. 2.BD1∥平面 AEC 连结 AC,BD 相交于一点 O,连结 OE,AE,EC,∵四边形 ABCD 为正方形, ∴DO=BO.而 DE=D1E, ∴EO 为△DD1B 的中位线. ∴EO ? D1B.∴BD1 ? 平面 AEC. 3. ④ 过 P 可作无数条直线与平面 α 相交, ①错; 过 P 只能作一条直线与平面 α 垂直, ②错;过 P 可作无数条直线与平面 α 平行,所以④正确;③错. 4.1 对于①,若 l⊥m,m? α,则 l? α 可能成立,l⊥α 不一定成立,∴①不正确;对 于②,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α,正确.对于③,l 与 m 可能异面,不一定平行,故③不正 确;对于④,l 与 m 可能相交,也可能异面,故④不正确. 5.(1) 3 6 (2) 6 4 (1)如图,设正三棱锥 VABC 的顶点 V 在底面的正投影为 O,底 面边长为 a,则侧棱 VA=2a.连结 AO 并延长交 BC 于点 D.AO 为 AV 在底面上的射影, ∴∠VAO 即为侧棱 VA 与底面 ABC 所成的角. ∵ AO ? 2 3 3 ? a? a, 3 2 3 3 a AO 3 ? 3 ? ∴在 Rt△VOA 中, cos?VAO ? VA 2a 6 (2)如图,取 A1C1 中点 D,连结 B1D, 则 B1D⊥平面 AA1C1C, ∴∠B1AD 就是所求的线面角.设 A1B1=1,则 B1 D ? 3 , AB1 ? 2 , 2 3 B1 D 6 ? 2 ? ∴在 Rt△ADB1 中, sin?B1 AD ? . AB1 4 2 6.1 对于①,若 a∥α,则 a 与 α 内的直线或平行或异面, ∴①不正确;②中,若 a 平行于 α 内的一条直线 a′, ∴a∥α 或 a? α,与直线 a 与平面 α 相交矛盾,∴②正确;对于③中,直线 a 不平行于 平面 α,a 可以在 α 内,此时,a 可以平行于 α 内的直线,∴③不正确;对于④,直线 a 不 垂直于平面 α,但可以垂直于 α 内的某些直线. 7.证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC. 而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∵AE? 平面 PAC,∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE 且 PC∩BC=C, ∴AE⊥平面 PBC. 8. (1)证明:设 AC∩BD=H,连结 EH.在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC, 所以 H 为 AC 的中点.又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH∥PA.又 EH? 平面 BDE,且 PA ? 平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE. (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,所以 PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC. 又 PD∩DB=D,故 AC⊥平面 PBD. (3)解:由 AC⊥平面 PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射

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