2.3 条件概率-王后雄学案_图文

张喜林制 2.3 条件概率 教材知识检索 考点知识清单 1.在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率称为 2.条件概率公式 P( B | A) ? ,其概率记为 要点核心解读 1.复习有关概念 在本节学习前要先复习下列内容: (1)并事件(和事件) :若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件,记作 A B. (2)交事件(积事件) :若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件,记作 A B. (3)互斥事件:若 A B 为不可能事件 ( A B ? ?), 那么称事件 A 与事件 B 互斥. ? ? ? ? ? (4)对立事件:若 A B 为不可能事件, A B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件, ? (5)P( A?B) ? P( A) ? P(B), 其中 A、B 为相互独立事件, 复习上述 5 个问题可以更好地理解条件概率,更好地理解条件概率中的条件与附加条件的不同. 2.条件概率的定义 (1)在条件概率的定义中,事件 A 在“事件 B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的 概率是不同的,应该说,每一个随机试验都是在一定条件下进行的.而这里所说的条件概率,则是当试验 结果的一部分信息已知,求另一事件在此条件下发生的概率. (2)在定义中,要强调 P( B) ? 0. 当 P( B) ? 0 时,不能用现成的方法定义事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率.对于 P( B) ? 0 的情况,可以从其他角度来定义事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率. 3.P( A | B)、P( AB)、P( B) 的区别 P( A | B) 是在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率, P( AB) 是事件 A 与事件 B 同时发生的概率, 无附加条件, P ( B ) 是事件 B 发生的概率,无附加条件它们的联系是: P( A | B) ? 4.条件概率的计算 (1)计算事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率,常有以下两种方式: ①利用定义计算, P( AB) ? P( B) 先分别计算概率 P( AB)及P( B), 然后借助于条件概率公式 P( A | B) ? ②利用缩小样本空间的观点计算. P( AB) ? 求解, P( B) 在这里,原来的样本空间缩小为已知的条件事件 B,原来的事件 A 缩小为事件 AB,从而 P( A | B) ? AB包含的基本事件数 , 此法常应用于古典概型中的条件概率求解. B包含的基本事件数 (2)条件概率公式的变形公式, 公式 P( A | B) ? P( AB) 揭示了 P( B)、P( A | B)与P( AB) 的关系,常常用于知二求一,即要熟练应 P( B) 用它的变形公式.如,若 P( B) ? 0 , 则 P( AB) ? P( B) ? P( A | B), 该式称为概率的乘法公式. (3)注意: 条件概率也是概率,所以条件概率具有概率的性质.如: ①任何事件的条件概率取值在 O 到 1 之间; ②必然事件的条件概率为 1,不可能事件的条件概率为 O; ③条件概率也有加法公式: P(B?C | A) ? P(B | A) ? P(C | A), 其中 B 和 C 是两个互斥事件, 事实上, 由事件 B 和事件 C 互斥, 知事件 AB 与事件 AC 也互斥, 从而 P[ A( B C)] ? P[(AB) ? ?( AC)] ? P (AB) ? P( AC), 再由条件概率的定义,得 P( B?C | A) ? P[ A( B?C )] P( A) ? P( AB) ? P( AC) P(AB) P( AC) ? P( B | A) ? P(C | A). ? ? P( A) P( A) P(A) 典例分类剖析 考点 条件概率的运算 命题规律 条件概率公式 P( B | A) ? P( AB) 及其加法公式 P( B? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) 的运用. P( A) o ? [例 1] 一种耐高温材料,能承受 200 C 高温不熔化的概率为 0.9,能承受 300 C 高温不熔化的概率 为 0.5,现有一种这样的材料,在能承受 200 C 高温不熔化的情况下,还能承受 300 C 高温不熔化的概 率是多少? [解析] 要想求该材料承受 300 C 高温不熔化的概率, 则必须在 200 C 高温不熔化的条件下, 用条件 概率的计算公式求解 [解] 设事件 A:“该材料承受 200 C 高温不熔化”,事件 B:“该材料承受 300 C 高温不熔化”,则 有 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.5, 由于 P( B | A) ? ? o 0 0 ? ? P( AB) , 又因为 B ? A, 所以 A?B ? B, 故有 P( A) P( B | A) ? P( B) 0.5 5 ? ? ? P( A) 0.9 9 [点拨] 这是在条件概率计算中经常遇到的一种题型,当事件 A 和事件 B 满足关系 B ? A 时,利用 A?B ? B, 可将条件概率计算公式简化为 P( B | A) ? P( B) , 所以在求解时要注意对所给事件之间的关系 P( A) 进行恰当的判断,发现其包含关系,然后利用相应的公式求解. 母题迁移 1.甲、乙两地都位于长江下游,根据_百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天占 的比例分别为 20%和18%. 两地同时下雨的比例为 12 % ,问: (1) 乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率为多少? (2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为多少? [例 2] 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题

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