江苏省扬州中学2016-2017学年高一上学期10月质检数学试卷Word版含解析

2016-2017 学年江苏省扬州中学高一(上)10 月质检数学试卷

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,3,9},则 a 的值为 .
2.函数 y= + 的定义域为 .
3.已知集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A? B,则 a 的取值范围是 . 4.已知 x2+ax+b<0 的解集为(1,3),则 a+b= .
5.已知 f(1﹣2x)= ,那么 f( )= .

6.函数 f(x)=

的对称中心为 .

7.某班共 50 人,其中 21 人喜爱篮球运动,18 人喜爱乒乓球运动,20 人对这两项运动都不

喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

8.如果二次函数 y=3x2+2(a﹣1)x+b 在区间(﹣∞,1]上是减函数,那么 a 的取值范围是 .

9.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出

x

1

2

3

f(x) 1

3

1

x

1

2

3

g(x) 3

2

1

则满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 为 .

10.函数 y=2x﹣

的值域是 .

11.若函数 f(x)=

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 .

12.若 f(x)=x(|x|﹣2)在区间[﹣2,m]上的最大值为 1,则实数 m 的取值范围是 .
13.设 X={ , , , },若集合 G? X,定义 G 中所有元素之乘积为集合 G 的“积数”
(单元素集合的“积数”是这个元素本身),则集合 X 的所有非空子集的“积数”的总和为 . 14.设 f:N*→N*,函数 y=f(k)是定义在 N*上的增函数,且 f(f(k))=3k,则 f(9)= .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.设全集是实数集 R,集合 A={x|﹣1<x<3},集合 B={x|m﹣2<x<m+2}, (1)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; (2)若 2∈B,求 A∩B. 16.设全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3﹣a}. (1)若 a=﹣2,求 B∩A,B∩?UA; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 17.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产 品 x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 R(x)(万元)满足

,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根

据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本); (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

18.已知函数 f(x)=



(1)判断并证明函数 f(x)在[0,+∞)的单调性;

(2)若 x∈[1,m]时函数 f(x)的最大值与最小值的差为 ,求 m 的值.

19.已知函数



(1)当 0<a<b 且 f(a)=f(b)时,①求

的值;②求

的取值范围;

(2)已知函数 g(x)的定义域为 D,若存在区间[m,n]? D,当 x∈[m,n]时,g(x)的 值域为[m,n],则称函数 g(x)是 D 上的“保域函数”,区间[m,n]叫做“等域区间”.试判 断函数 f(x)是否为(0,+∞)上的“保域函数”?若是,求出它的“等域区间”;若不是,请 说明理由. 20.已知函数 f(x)=ax2﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数). (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式;

(3)设

,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年江苏省扬州中学高一(上)10 月质检数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,3,9},则 a 的值为 3 . 【考点】并集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A∪B={0,1,2,3,9}, ∴a=3 或 a=9, 当 a=3 时,A={0,2,3},B={1,9},满足 A∪B={0,1,2,3,9}, 当 a=9 时,A={0,2,9},B={1,81},不满足 A∪B={0,1,2,3,9}, 故 a=3, 故答案为:3

2.函数 y= + 的定义域为 {x|x≥﹣1,且 x≠0} .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】要求函数的定义域,就是求使函数有意义的 x 的取值范围,因为函数解析式中有分 式,所以分母不等于 0,又因为有二次根式,所以被开放数大于等于 0,最后两个范围求交 集即可.

【解答】解:要使函数

有意义,需满足

解不等式组,得 x≥﹣1,且 x≠0 ∴函数的定义域为{x|x≥﹣1,且 x≠0} 故答案为{x|x≥﹣1,且 x≠0}

3.已知集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A? B,则 a 的取值范围是 a≥2 . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】由集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A? B,即可得出 2≤a. 【解答】解:∵集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A? B, ∴2≤a. ∴a 的取值范围是 a≥2. 故答案为:a≥2.

4.已知 x2+ax+b<0 的解集为(1,3),则 a+b= ﹣1 . 【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】根据不等式与对应方程之间的关系,利用根与系数的关系求出 a、b 的值. 【解答】解:x2+ax+b<0 的解集为(1,3), ∴方程 x2+ax+b=0 的实数根为 1 和 3, 由根与系数的关系,得,


解得 a=﹣4,b=3; ∴a+b=﹣1. 故答案为:﹣1.

5.已知 f(1﹣2x)= 【考点】函数的值.

,那么 f( )= 16 .

【分析】令 1﹣2x=t,得 x=

,从而 f(t)=

【解答】解:∵f(1﹣2x)= ,

令 1﹣2x=t,得 x=



∴f(t)=



,由此能求出 f( ).

∴f( )=

=16.

故答案为:16.

6.函数 f(x)=

的对称中心为 (﹣1,2) .

【考点】奇偶函数图象的对称性. 【分析】原函数图象可由反函数图象通过平移变换可得,由对称性即可得到所求图象的对称 性.

【解答】解:函数 f(x)=

=

=2﹣ ,

看作由函数 y=﹣ 的图象向左平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位得到的图象. 由 y=﹣ 的图象关于点(0,0)对称,

可得函数 f(x)=

的对称中心为(﹣1,2).

故答案为:(﹣1,2).

7.某班共 50 人,其中 21 人喜爱篮球运动,18 人喜爱乒乓球运动,20 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】根据题意画出图形,找出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可. 【解答】解:根据题意得:(21+18)﹣(50﹣20)=39﹣30=9(人), ∴喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为 9 人, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 21﹣9=12(人). 故答案为:12:

8.如果二次函数 y=3x2+2(a﹣1)x+b 在区间(﹣∞,1]上是减函数,那么 a 的取值范围是 a≤﹣2 . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】由二次函数的解析式,我们易判断二次函数的开口方向及对称轴,结合函数在区间 (﹣∞,1]上是减函数及二次函数的性质我们易判断区间(﹣∞,1]与对称轴的关系,进而 构造出一个关于 a 的不等式,解不等式即可得到 a 的取值范围. 【解答】解:二次函数 y=3x2+2(a﹣1)x+b 的图象是开口方向朝上

以直线 x=

为对称轴的抛物线

∵函数在区间(﹣∞,1]上是减函数

则 1≤

解得 a≤﹣2 故答案为:a≤﹣2

9.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出

x

1

2

3

f(x) 1

3

1

x

1

2

3

g(x) 3

2

1

则满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 为 2 .

【考点】其他不等式的解法.

【分析】结合表格,先求出内涵式的函数值,再求出外函数的函数值;分别将 x=1,2,3

代入 f[g(x)],g[f(x)],

判断出满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值.

【解答】解:∵当 x=1 时,f[g(1)]=1,g[f(1)]=g(1)=3 不满足 f[g(x)]>g[f(x)],

当 x=2 时,f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1 满足 f[g(x)]>g[f(x)],

当 x=3 时,f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3 不满足 f[g(x)]>g[f(x)],

故满足,f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是 2,

故答案为:2.

10.函数 y=2x﹣

的值域是 (﹣∞, ] .

【考点】函数的值域.

【分析】令

,解出 x=

,所以得到函数 y=

,对称

轴为 t= ,所以函数在[0,+∞)上单调递减,t=0 时,y= ,所以 y 原函数的值域.

,这便求出了

【解答】解:令

,则 x=







∴该函数在[0,+∞)上单调递减;



,即 y ;

∴原函数的值域为(﹣

].

故答案为:(﹣

].

11.若函数 f(x)=

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 0≤a<4 .

【考点】函数的定义域及其求法.

【分析】把函数 f(x)=

的定义域为 R,转化为 ax2+ax+1>0 对任意实数 x 恒

成立.然后分 a=0 和 a≠0 分类求解得答案.

【解答】解:∵函数 f(x)=

的定义域为 R,

∴ax2+ax+1>0 对任意实数 x 恒成立. 若 a=0,不等式成立;

若 a≠0,则

,解得 0<a<4.

综上:0≤a<4. 故答案为:0≤a<4.

12.若 f(x)=x(|x|﹣2)在区间[﹣2,m]上的最大值为 1,则实数 m 的取值范围是 1, +1] . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】作函数 f(x)=x(|x|﹣2)的图象,由图象知当 f(x)=1 时,x=﹣1 或 x= 从而由图象求解. 【解答】解:作函数 f(x)=x(|x|﹣2)的图象如下,

[﹣ +1;

当 f(x)=1 时,x=﹣1 或 x= 故由图象可知, 实数 m 的取值范围是[﹣1, 故答案为:[﹣1, +1].

+1; +1].

13.设 X={ , , , },若集合 G? X,定义 G 中所有元素之乘积为集合 G 的“积数” (单元素集合的“积数”是这个元素本身),则集合 X 的所有非空子集的“积数”的总和为 2. 【考点】集合的表示法. 【分析】由题意,列出所有“积数”并求和. 【解答】解:由题意, 集合 X 的所有非空子集的“积数”之和为:
+ + + + ×( + + )+ ×( + + )+ ×( + + )+ ×( + + )+ ×
( × + × + × )+ ×( × + × + × )+ ×( × + × + × )
+ ×( × + × + × )+ × × × =2. 故答案是:2.
14.设 f:N*→N*,函数 y=f(k)是定义在 N*上的增函数,且 f(f(k))=3k,则 f(9)= 18 .

【考点】抽象函数及其应用. 【分析】f(f(k))=3k,取 k=1,得 f(f(1))=3,由已知条件即可推导出 f(1)=2,从 而依次求出 f(2),f(6),f(9)的值. 【解答】解:∵f(f(k))=3k,∴取 k=1,得 f(f(1))=3, 假设 f(1)=1 时,有 f(f(1))=f(1)=1 矛盾, 假设 f(1)≥3,因为 y=f(k)是定义在 N*上的增函数, 得 f(f(1))≥f(3)>f(1)≥3 矛盾, ∴f(1)=2,代入 f(f(1))=3,得 f(2)=3, 可得 f(3)=f(f(2))=3×2=6, f(6)=f(f(3))=3×3=9, f(9)=f(f(6))=3×6=18, 故答案为:18.
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.设全集是实数集 R,集合 A={x|﹣1<x<3},集合 B={x|m﹣2<x<m+2}, (1)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; (2)若 2∈B,求 A∩B. 【考点】交集及其运算;元素与集合关系的判断. 【分析】(1)若 A∩B=?,则 m+2≤﹣1,或 m﹣2≥3,解得:实数 m 的取值范围; (2)若 2∈B,则:m∈(0,4),结合交集交集的定义,分类讨论,可得 A∩B. 【解答】解:(1)若 A∩B=?,则 m+2≤﹣1,或 m﹣2≥3, 解得:m∈(﹣∞,﹣3]∪[5,+∞), (2)若 2∈B,则 m﹣2<2,且 m+2>2, 解得:m∈(0,4), 当 m∈(0,1]时,A∩B=(﹣1,m+2), 当 m∈(1,4)时,A∩B=(m﹣2,3).
16.设全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3﹣a}. (1)若 a=﹣2,求 B∩A,B∩?UA; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】(1)利用已知条件求出 A 的补集,然后直接求解即可. (2)分类讨论 B 是否是空集,列出不等式组求解即可. 【解答】解:(1)集合 A={x|1≤x<4},?UA={x|x<1 或 x≥4},a=﹣2 时,B={﹣4≤x< 5},… 所以 B∩A=[1,4),B∩?UA={x|﹣4≤x<1 或 4≤x<5}… (2)若 A∪B=A 则 B? A,分以下两种情形: ①B=?时,则有 2a≥3﹣a,∴a≥1…

②B≠?时,则有

,∴



综上所述,所求 a 的取值范围为



17.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产 品 x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 R(x)(万元)满足

,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根

据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本); (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 【考点】根据实际问题选择函数类型;分段函数的应用.

【分析】(1)由题意得 G(x)=2.8+x.由

,f(x)=R

(x)﹣G(x),能写出利润函数 y=f(x)的解析式. (2)当 x>5 时,由函数 f(x)递减,知 f(x)<f(5)=3.2(万元).当 0≤x≤5 时,函 数 f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6,当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元).由此能求出工厂 生产多少台产品时,可使盈利最多. 【解答】解:(1)由题意得 G(x)=2.8+x.…





∴f(x)=R(x)﹣G(x)

=

.…

(2)当 x>5 时, ∵函数 f(x)递减, ∴f(x)<f(5)=3.2(万元).… 当 0≤x≤5 时,函数 f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6, 当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元).… 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元.…

18.已知函数 f(x)=



(1)判断并证明函数 f(x)在[0,+∞)的单调性;

(2)若 x∈[1,m]时函数 f(x)的最大值与最小值的差为 ,求 m 的值.

【考点】函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 【分析】(1)直接利用函数的单调性的定义证明判断即可. (2)利用(1)的结果,求出函数的最值,列出方程求解即可. 【解答】解:(1)函数 f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.

证明如下:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则

因为 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.

(2)由(1)知 f(x)在[1,m]递增,所以

,即:

﹣ = ,所以

m=2.

19.已知函数



(1)当 0<a<b 且 f(a)=f(b)时,①求

的值;②求

的取值范围;

(2)已知函数 g(x)的定义域为 D,若存在区间[m,n]? D,当 x∈[m,n]时,g(x)的 值域为[m,n],则称函数 g(x)是 D 上的“保域函数”,区间[m,n]叫做“等域区间”.试判 断函数 f(x)是否为(0,+∞)上的“保域函数”?若是,求出它的“等域区间”;若不是,请 说明理由. 【考点】函数单调性的性质.

【分析】(1)①f(x)在

上为减函数,在

上为增函数,当 0<a<b 且

f(a)=f(b)时,

,且

,即可求

的值;②由①知



代入,利用配方法求

的取值范围;

(2)假设存在[m,n]?(0,+∞),当 x∈[m,n]时,(f x)的值域为[m,n],则 m>0.



可得

.利用分类讨论,即可得出结论.

【解答】解:(1)由题意,

∴f(x)在

上为减函数,在

①∵0<a<b,且 f(a)=f(b),



,且





.…

②由①知





上为增函数.







,∴

.…

(2)假设存在[m,n]? (0,+∞),当 x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],则 m>0.



,∴

.…

①若

,∵f(x)在

上为减函数,



解得



,不合题意.…

②若

,∵f(x)在

上为增函数,



解得

不合题意.…

综上可知,不存在[m,n]? (0,+∞),当 x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],即 f(x) 不是(0,+∞)上的“保域函数”.…

20.已知函数 f(x)=ax2﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数). (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式;

(3)设

,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

【考点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 【分析】(1)由 a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法 求得每段的单调区间即可. (2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于 a 不具体, 要根据对称轴分类讨论. (3)由“函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数”要转化为恒成立问题.可用单调性定义,也 可用导数法.

【解答】解:(1)a=1,f(x)=x2﹣|x|+1=

∴f(x)的单调增区间为(

),(﹣ ,0);

f(x)的单调减区间为(﹣

),(



(2)由于 a>0,当 x∈[1,2]时,

①若

,即

,则 f(x)在[1,2]为增函数 g(a)=f(1)=3a﹣2

②若

,即



③若

,即

g(a)=f(2)=6a﹣3.

时,f(x)在[1,2]上是减函数:

综上可得

(3) 则

在区间[1,2]上任取 x1、x2,

=

(*)

∵h(x)在[1,2]上是增函数
∴h(x2)﹣h(x1)>0 ∴(*)可转化为 ax1x2﹣(2a﹣1)>0 对任意 x1、x2∈[1,2] 且 x1<x2 都成立,即 ax1x2>2a﹣1 ①当 a=0 时,上式显然成立

②a>0,

,由 1<x1x2<4 得

,解得 0<a≤1

③a<0,

,由 1<x1x2<4 得,

,得

所以实数 a 的取值范围是

2016 年 12 月 28 日


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