高中数学第二章随机变量及其分布2.4第2课时正态分布的应用学案新人教A版

2.4

第二课时 正态分布的应用

一、课前准备 1.课时目标 (1) 能熟练的应用正态曲线的特点求概率; (2) 能利用 3 ? 原则解决实际问题; 2.基础预探 1.若 X~ N (?, ? 2 ) ,则对于任何实数a>0,概率 P(? ? a ? X ? ? ? a) ? ________即为 直线 x ? ? ? a, x ? ? ? a 与正态曲线和x轴所围成的图形的面积. 2.几个特殊结论:

P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? ________, P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? ————, P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? ________.
3. 由于正态总体几乎总取值于区间 __________ 之内,而在此区间以外的取值的概率只有 0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于 正态分布 N (?, ? 2 ) 的随机变量 X 只取_____________之间的值,并简称之为 3 ? 原则. 二、学习引领 一、小概率事件原理 如果一个事件的发生的概率小于5%, 那么这样的事件我们称为小概率事件. 对于这类 事件来说, 在大量重复试验中, 平均试验20次, 才可能发生一次. 所以认为在一次试验中, 该事件几乎不可能发生的. 这里“几乎不可能发生”是针对一次试验说的, 如对于一般人来 说,发生车祸是一个小概率事件,但是对于整天开车的司机来说,这个事件发生的概率就不 同了, 因为司机可以看作是大量重复这些试验, 使得概率值变大, 从而不再是小概率事件. 当 然,运用小概率事件几乎不可能发生原理进行推断时,我们也有5%犯错误的可能性. 二、3 ? 原则 概 率 P( ? ? a ? X ? ? ? a ) 对 于 固 定 的

?和a 而

言,该面积随着 ? 的减少而变大.这说明 ? 越小,X 落 在区间 ? ? ? a, ? ? a? 的概率越大,即随机变量在 ? 附 近取值的概率很大,在离 ? 很远处取值很小.随机变量 X 的取值落在区间( ? ? ? , ? ? ? )上的概率值约为 68.3%,落在区间( ? ? 2? , ? ? 2? )上的概 率值约为 95.4%, 落在区间 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 上的概率值约为 99.7% . 容易得出,它在 平均抽取 1000 个落在这 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外取值的概率是 0.3%.就是在大量重复实验中,

个区间外的零件仅有 3 个, 我们可以认为个体在区间( ? ? 3? , ? ? 3? )之外的事几乎不可能 发生的。如果发生,说明这是个体不再服从正态分布,就是生产发生了异常. 三、典例导析 题型一 3 ? 原则的应用 例 1 某砖瓦厂响应国家“建设绿色环保中国”号召,利用城市某种废弃物生产新型节能砖, 2 其“抗断强度”X 服从正态分布 N(30,0.8 ).质检人员从该厂某天生产的 1000 块砖中随 2 机地抽查一块, 测得它的抗断强度为 27.5 公斤/厘米 , 你认为该厂这天生产的这批砖是 否合格? 思路导析:要知道这批砖是否合格,只需检查抽取的砖是否在 3 ? 的区间内. 2 解:由 X~N(30,0.8 )可知 X 在(30-3×0.8,30+3×0.8)即(27.6,32.4)之外取值的概 率只有 0.0026. 而 27.5 ?(27.6,32.4) ,说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此认 为这批砖不合格. 方法规律:本题是正态分布假设检验应用的一个实例,依据的准则是正态总体在区间

(? ? 3? , ? ? 3? ) 之外取值的概率仅有 0.3% ,这一小概率事件几乎不可能发生来检验个别
零件是在非正常状态下生产的. 变式训练: 某厂生产的圆柱形零件的外直径 X 服从正态分布 N (4,0.52 ) , 质检人员从该厂生 产的 100 件零件中随机抽查一件,测得它的外直径为 5.7cm,则( A.该厂生产的这批零件合格. C.该厂生产的这批零件 50%合格. 题型二 应用 3 ? 原则的求值 例2 设在一次满分 150 分数学考试中,某班学生的分数服从 ? ~ N (110, 202 ) ,这个班的 B.该厂生产的这批零件不合格. D.无法判断. ).

学生共 54 人.求这个班在这次数学考试中及格 (不小于 90 分) 的人数和 130 分以上的人数. 思 路 导 析 : P(90 ? ? ? 150) 和 P(130 ? ? ? 150) 的 概 率 值 可 由 P( 9 0 即 ?? ? 130 )

P(110 ? 20 ? ? ? 110 ? 20) ? 0.6826 通过对称得到,再乘以总人数即可得到在此范围内的
人数. 解:因为 ? ~ N (110, 202 ) ,所以 ? ? 110, ? ? 20 , P(110 ? 20 ? ? ? 110 ? 20) ? 0.6826 .

1 (1 ? 0.6826) ? 0.1587 . 2 所以 130 分以上的人数为 54 ? 0.1587 ? 9 人.
所以 ? ? 130 的概率为

? ? 90 的概率为 0.6826+0.1587=0.8413.

所以及格的人数为 54 ? 0.8413 ? 45 人. 归纳总结:本题充分利用在区间( ? ? ? , ? ? ? )上的概率值约为 68.3%,通过构造得到题中 需要的概率值,从而将问题解决。注意熟练记忆 3 ? 原则的三个概率值的结论. 变式训练:已知某地区计算机达标考试的成绩 X~N(60,8 )(单位:分) ,此次考生共有 1 万人,估计在 60 分到 68 分之间约多少人?
2

题型三 正态分布与二项分布的综合应用 例 3 已知测量误差 ? N (7.5,102 ) (单位:cm) ,问必须进行多少次测量才能使至少有一次 测量的绝对误差不超过 10 cm 的概率大于 0.9? 思路分析:由于每一次测量的结果只有绝对误差超过 10cm和不超过 10cm两种结果,所 以独立重复测量的结果服从二项分布,所以可利用二项分布的相关知识解决. 解:设 ? 表示 N 次测量中绝对误差不超过 10 cm 的次数,因为 ? 服从二项分布,即

?

B(n, p) .

其中 p ? P(| ? |? 10) ? 0.5586, 又因为 P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (0.4414)n ? 0.9, 解得? ? ?

1 ? 2.815. lg 0.4414

所以至少了三次测量才能使有一次测量的绝对误差不超过 10 cm 的概率大于 0.9. 规律总结:以正态分布为基础,综合二项分布的问题难度较大,处理时注意分清何时利用正 态分布,何时利用二项分布. 变式训练:生产工艺工程中产品的尺寸误差 X(mm)~N(0,1.5 ),如果产品的尺寸与规定的尺 寸偏差的绝对值不超过 1.5mm 为合格品,求(1)X 的概率密度函数; (2)生产的 5 件产品 的合格率不小于 80%的概率. 四、随堂练习 1.某市中考语文考试的考生分数 X ~ N (90,100) , 则分数在 70~110 分的考生占总考生数的 百分比是( ). A.31.7%
2

B.68.3%

C.95.4%
2

D.99.7%

2.某厂生产的零件外直径 X~N(8.0,0.15 ),单位 mm,今从该厂上、下午生产的零件中各随 机取出一个,测得其外直径分别为 7.9mm 和 7.5mm,则可认为( A.上、 下午生产情况均为正常. B.上、 下午生产情况均为异常. C.上午生产情况正常,下午生产情况异常. D.上午生产情况异常,下午生产情况正常. ).

3.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为

f ( x) ?

1 2? ?10

e

?

( x ?80)2 200

( x ? R) ,则下列命题不正确的是( ).

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分; B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同; C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同; D.该市这次考试的数学成绩标准差为10. 4. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3, ? 2 ) ,则 P(? ? 3) ? .

5.一批电阻的阻值 X 服从正态分布 N(1000, 52 )(单位 ? ).今从甲乙两箱成品中各随机抽取 一个电阻,测得阻值分别为 1011 ? 和 982 ? ,可以认为 .(填写正确序号). ①甲乙两箱电阻均可出厂; ②甲乙两箱电阻均不可出厂; ③甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂; ④甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂. 6.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(使用时间:小时)为随机变量 Y,已知 Y~ 2 N(1000,30 ),要使灯管的平均寿命为 1000 小时的概率为 99.74%, 问灯管的最低寿命应控制 在多少小时以上? 五、课后作业 1.在一次环境保护知识测试中(满分为 150 分)中,某地区 10000 名志愿者的分数 X 服从正态 分布 N (100,152 ) ,据统计,分数在 110 分以上的考生共有 2514 人,则分数在 90 分以上的志 愿者的人数为( ). A.2514 B. 5028 C. 7486

D.8642

2. 已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布 N (27.45,0.052 ) , 质量检验员随机抽 查了 10 个零件,测量得到他们的尺寸如下:27.3 27.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68, 请你根据正态分布的 3σ 原则, 帮助质量检验员确定 ( ) . B.生产情况异常 D.偶尔异常,大部分时间正常

A.生产情况正常 C.部分零件生产正常,部分零件生产异常

3. 若正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? 内取值的概率为 .

2

?

e?2( x ?2.5) ( x ? R) ,则正态总体在区间(1,4)

2

4. 华新机械厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N (4, ) , 现取 1000 个零件进行检验, 则不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有_____个?

1 9

5. 有 210 名学生,在一次伦敦奥运会知识竞赛的预赛后,抽取了一个样本如下: 成绩(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数分布 0 0 0 6 15 21 12 3 3

10 0

(1)求样本的知识竞赛平均成绩和标准差(精确到 0.01) ; (2)求总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程; (3)若规定,预赛成绩在 7.22 分或 7.22 分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可 以进入复赛.

6.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间 X(分钟)服从正态分布 N(5,1);第 二条路较长不拥挤, X 服从 N(6,0.16).有一天她出发时离点名时间还有 7 分钟, 问他应选哪 一条路线?若离点名时间还有 6.5 分钟,问他应选哪一条路线?

参考答案 2.4 2.基础预探 1. 第二课时 正态分布的应用 3. (? ? 3? , ? ? 3? )

??

? ?a
?a

?? ,? ( x)dx 2. 0.6826

0.9544

0.9974

三、典例导析 例 1 变式训练 答案:B 解析: 由 X 服从正态分布 N (4,0.52 ) ,由正态分布性质可知,正态分布 N (4,0.52 ) 在

(4 ? 3 ? 0.5, 4 ? 3 ? 0.5) 之外的取值概率只有 0.003,而 5.7 ? (2.5,5.5) .这说明在一次试验
中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此认为这批零件不合格. 例 2 变式训练 解:由题意 ? =60, ? =8,因为 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) =0.6826, 所以 P(52 ? X ? 68) ? 0.6826, 又此正态曲线关于 x=60 对称,所以 P(60 ? X ? 68) = 1 P(52 ? X ? 68) ? 0.3413,
2

从而估计在 60 分到 68 分之间约 3413 人. 例 3 变式训练

解: (1)由题意知 X~N(0,1.5 ),即 ? ? 0, ? ? 1.5 , 所以概率密度函数 ? ( x) ?
1 1.5 2? e
? x2 4.5

2

.

(2)设 Y 表示 5 件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为, P(|X|≤1.5)=P(-1.5<X≤1.5)=0.6826, 而 Y~B(5,0.6826),合格率不小于 80%即 Y≥5×0.8=4,
4 所以 P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)= C5 ? 0.68264 ? (1 ? 0.6826 ) ? 0.68265 =0.4927.

四、随堂练习 1.答案:C 解析: 因为 X~N( 90,100),所以 ? ? 90 , ? ? 10 ,则 ? ? 2? ? 70 , ? ? 2? ? 110,分 数在 70~110 分的考生占总考生数的百分比是 95.4%.故选 C. 2.答案:C 解析:根据 3 ? 原则,在(8-3×0.15,8+3×0.15)即(7.55,8.45)之外时为异常. 3.答案:B 解析:因为 u=80, ? ? 10 ,所以 A、D 正确,根据 3? 原则知 C 正确. 4.答案:

1 2 1 . 2

解析: ? 服从正态分布 N (3, ? 2 ) ,曲线关于 x ? 3 对称,所以 P(? ? 3) ?

5.答案:③ 解析:依据 3 ? 原则,阻值应在(985,1015)内,982 ?(985,1015) ,所以乙箱电阻不合 格. 2 6.解:因为 P(? ? 3? ? Y ? ? ? 3? ) ? 0.9974,又 Y~N(1000,30 ), 所以 Y 在(910,1090)内取 值的概率为 99.74%,故最低寿命应控制在 910 小时以上. 五、课后作业 1.答案:C 解析:因为 X

N (100,152 ) ,所以 ? ? 100 ,

所 以 P( X ? 90) ? 1? P (X ? 90)? 1 , 故 分 数 在 90 分 以上 的 志 愿 者 共 有 ?P X ( ? 110) 10000-2514=7486. 2. 答案:B 解析:有两个零件尺寸为 27.23 和尺寸 27.68 的两个零件,不落在区间(27.45-3×0.05, 27.453×0.05)内,这些零件是在非正常状态下生产的. 3.答案:0.997 解析: ? ? 2.5, ? ? 4.答案:3

1 1 1 , P(1 ? X ? 4) ? P(2.5 ? 3 ? ? X ? 2.5 ? 3 ? ) ,所以 P=0.997. 2 2 2

解:因为 X

N (4,

1 1 ) ,所以 ? ? 4, ? ? , 2 3 3
1 1 ? X ? 4 ? 3? ) , 3 3

所以 P(3 ? X ? 5) ? P(4 ? 3 ?

所以零件尺寸不属于(3,5)的概率为 0.003, 尺寸不属于(3,5)的零件有 1000 ? 0.003 ? 3 个. 5. 解: (1) x ?

1 (4 ? 6 ? 5 ?15 ? 6 ? 21 ? 7 ?12 ? 8 ? 3 ? 9 ? 3) ? 6 , 60

1 ?6(4 ? 6)2 ? 15(5 ? 6)2 ? 21(6 ? 6)2 ? 12(7 ? 6)2 ? 3(8 ? 6)2 ? 3(9 ? 6)2 ? ? 1.5 , 60 所以 S ? 1.22 ,故样本的知识竞赛平均成绩为 6 分,标准差为 1.22. S2 ?

S ? 1.22 作为总体知识竞赛平均成绩和标准差的估计值, (2) 以 x ? 6, 即 ? ? 6, ? ? 1.22 ,
则总体服从正态分布 N

(6,1.222 ) .
( x ? 6) 1 ? e 2?1.222 . 1.22 2?
2

正态曲线的近似方程为 y ?

(3)易知, P(5.78 ? X ? 7.22) ? 0.6826 ,

P( X ? 7.22) ?

1 ? P(5.78 ? X ? 7.22) 1 ? 0.6826 ? ? 0.1359. 2 2

大约有 210×0.1359=28 名学生可以参加复赛. 6.解:还有 7 分钟时,若选第一条线,X 服从 N(5,1),能及时到达的概率,
1 P1=P(X≤7)=P(X≤5)+ P(5<X<7)= 1 + P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ; 2 2

若选第二条线,X 服从 N(6,0.16),能及时到达的概率, P2=P(X≤7)=P(X≤6)+ P(6<X<7)= 1 + 1 P( ? ? 2.5? ? X ? ? ? 2.5? ) ;
2 2

所以 P1<P2,选第二条路.同理,还有 6.5 分钟时,选第一条路.


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