2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-3第二章 2.4

[学习目标] 1.利用实际问题的直方图, 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解 变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.3.会用正态分布去 解决实际问题.

知识点一 正态曲线与正态分布 1.正态曲线
? 1 函数 ??,? ( x)= e 2π? ( x ? ? )2 2? 2

, x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数,φμ,σ(x)的图

象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态分布 如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?bφμ,σ(x)dx,则称随机变量 X 服

?a

从正态分布. 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2),如果随机变量 X 服从正态 分布,则记为 X~N(μ,σ2).
? 1 思考 1 正态曲线 ??,? ( x)= e 2π? ( x ? ? )2 2? 2

, x∈R 中的参数 μ,σ 有何意义?

答案 μ 可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X)=μ;σ>0 表示标准差,D(X)=σ2.一个 正态曲线方程由 μ,σ 唯一确定,π 和 e 为常数,x 为自变量,x∈R. 思考 2 若随机变量 X~N(μ,σ2),则 X 是离散型随机变量吗? 答案 若 X~N(μ,σ2),则 X 不是离散型随机变量,由正态分布的定义:P(a<X≤b)=?bφμ,

?a

σ(x)dx

可知,X 可取(a,b]内的任何值,故 X 不是离散型随机变量,它是连续型随机变量.

知识点二 正态曲线的性质
? 1 正态曲线 ??,? ( x)= e 2π? ( x ? ? )2 2? 2

, x∈R 有以下性质:

(1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图①; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.

知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3σ 原则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 由 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4,知正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此 区间以外取值的概率只有 0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的 值,并简称之为 3σ 原则.

题型一 正态曲线 例 1 如图为某地成年男性体重的正态曲线图,请写出其正态分布密度函数,并求 P(|X-

72|<20).

解 由图可知 μ=72,σ=10,故正态分布密度函数为
( x ?72) ? 1 ??,? ( x)= e 200 , x∈(-∞,+∞). 2π ?10
2

则 P(|X-72|<20)=P(|X-μ|<2σ)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(X=μ+2σ)= 0.954 4-0=0.954 4.

1 反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式,关键是找对称轴 x=μ 与最值 ,这两 σ 2π 点确定以后,相应参数 μ,σ 的值便确定了. 跟踪训练 1 如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解 析式,求出总体随机变量的均值和方差.

1 解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值是 ,所以 μ=20. 2 π 1 1 = ,解得 σ= 2. 2π· σ 2 π 于是概率密度函数的解析式是
( x ? 20) ? 1 ??,? ( x)= ? e 4 , x∈(-∞,+∞). 2π
2

总体随机变量的均值是 μ=20, 方差是 σ2=( 2)2=2. 题型二 利用正态分布求概率 例 2 设 ξ~N(1,22),试求:(1)P(-1<ξ≤3); (2)P(3<ξ≤5);(3)P(ξ≥5). 解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2) =P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6 (2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1), 1 ∴P(3<ξ≤5)= [P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)] 2 1 = [P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<x≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 1 (3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)= [1-P(-3<ξ≤5)] 2 1 = [1-P(1-4<ξ≤1+4)] 2

1 = [1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)] 2 1 = (1-0.954 4)=0.022 8. 2 反思与感悟 解答此类题目的关键在于运用 3σ 原则将给定的区间转化为用 μ 加上或减去几个 σ 来表示;当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时,不妨先通过分解或 合成,再通过求其对称区间概率的一半解决问题.经常用到如下转换公式:①P(x≥a)=1- 1-P?μ-b<X≤μ+b? P(x<a);②若 b<μ,则 P(X<μ-b)= . 2 跟踪训练 2 设 ξ~N(1,1),试求: (1)P(0<ξ≤2); (2)P(2<ξ≤3); (3)P(ξ≥3). 解 ∵ξ~N(1,1),∴μ=1,σ=1. (1)P(0<ξ≤2)=P(1-1<ξ≤1+1) =P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6. (2)∵P(2<ξ≤3)=P(-1<ξ≤0), 1 ∴P(2<ξ≤3)= [P(-1<ξ≤3)-P(0<ξ≤2)] 2 1 = [P(1-2<ξ≤1+2)-P(1-1<ξ≤1+1)] 2 1 = [P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<ξ≤μ+σ)] 2 1 = ×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 (3)∵P(ξ≥3)=P(ξ≤-1), 1 ∴P(ξ≥3)= [1-P(1-2<ξ≤1+2)] 2 1 = [1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)] 2 1 = ×(1-0.954 4)=0.022 8. 2 题型三 正态分布的实际应用 例 3 某厂生产的圆柱形零件的外直线 ξ(单位:cm)服从正态分布 N(4,0.52).质检人员从该厂 生产的 1 000 件零件中随机抽查 1 件,测得它的外直径为 5.7 cm,试问:该厂生产的这批零 件是否合格? 解 由于外直径 ξ~N(4,0.52), 则 ξ 在(4-3×0.5,4+3×0.5)之内取值的概率为 0.997 4, 在(2.5,5.5)之外取值的概率为 0.002 6,

而 5.7?(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为 这批零件是不合格的. 反思与感悟 解题时,应当注意零件尺寸应落在(μ-3σ,μ+3σ)之内,否则可以认为该批产

品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,而一旦发生了,就 可以认为这批产品不合格. 跟踪训练 3 在某次大型考试中, 某班同学的成绩服从正态分布 N(80,52), 现在已知该班同学 中成绩在 80~85 分的有 17 人,该班成绩在 90 分以上的同学有多少人? 解 ∵成绩服从正态分布 N(80,52), ∴μ=80,σ=5,则 μ-σ=75,μ+σ=85. ∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的 68.26%, 成绩在(80,85]内的同学占全班同学的 34.13%. 设该班有 x 名同学,则 x×34.13%=17,解得 x≈50. ∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90, ∴成绩在(75,90]内的同学占全班同学的 95.44%, 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.28%. 即有 50×2.28%≈1(人),即成绩在 90 分以上的仅有 1 人.

用 3σ 原则解决正态分布问题

例 4 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100),已知 成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生的分数线是多少? 分析 把“成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人”这一信息转化为概率问题,利用正态 分布概率的知识求解. 解 (1)设学生的成绩为 X,共有 n 人参加竞赛, 因为 X~N(60,100),所以 μ=60,σ=10, 1 1 P(X≥90)= [1-P(30<X<90)]= (1-0.997 4)=0.001 3. 2 2 13 13 又 P(X≥90)= ,所以 =0.001 3,所以 n=10 000. n n (2)设受奖学生的分数线为 x0. 228 则 P(X≥x0)= =0.022 8. 10 000 因为 0.022 8<0.5,所以 x0>60. 所以 P(120-x0<X<x0)=1-2P(X≥x0)=95.44%, 所以 x0=60+20=80.

故受奖学生的分数线是 80 分. 点评 (1)把握正态分布图象的对称性 强化对其图象对称性的认识,可较好地解决与之相关的概率问题,如本例先后两次利用了图 象的对称性求其概率. (2)强化转化意识 求解此类问题的关键是实际问题数学模型化, 如本例在求解过程中, 反复利用正态分布的“3σ 原则”解题,突出了转化及化归思想的应用.

1.正态分布 N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为 P1,P2,则二者大小关系为( A.P1=P2 C.P1>P2 答案 A B.P1<P2 D.不确定

)

解析 根据正态曲线的特点,图象关于 x=0 对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概 率 P1,P2 相等. 2.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),从中随机取一件,其长度误 差落在区间(3,6)内的概率为( )

(附: 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ, σ2), 则 P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%, P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ) =95.44%) A.4.56% C.27.18% 答案 B 1 1 解析 P(3<ξ<6)= [P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]= (95.44%-68.26%)=13.59%.故选 B. 2 2 3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则 c 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ∵ξ~N(2,9), 又 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1), ∴ c+1+c-1 =2,∴c=2. 2 ) B.13.59% D.31.74%

4.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4, 则 X 在(0,2)内取值的概率为. 答案 0.8 解析 如图,易得 P(0<X<1)=P(1<X<2),故 P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2×0.4=0.8.

5.已知 X~N(1.4,0.052),则 X 落在区间(1.35,1.45]内的概率是. 答案 0.682 6 解析 已知 X~N(1.4,0.052),则 μ=1.4,σ=0.05. 故 X 落在(1.35,1.45]内的概率为 P(1.4-0.05<x≤1.4+0.05)=0.682 6.

1.在正态分布 N(μ,σ2)中,参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,即总体随机变 量的均值,它可以用样本的均值去估计,其取值是任意的实数.参数 σ 是反映随机变量总体 波动大小的特征数,即总体随机变量的标准差,它可以用样本的标准差去估计,其取值范围 是正数,即 σ>0. 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法: (1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1. ①正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a), 1-P?μ-b<X≤μ+b? 若 b<μ,则 P(X<μ-b)= . 2 3.因为 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4,所以正态总体 X 几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之 内,而在此区间以外取值的概率只有 0.002 6,这是一个小概率事件,通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验基本思想.

一、选择题 1 ? 1.设随机变量 X 服从正态分布,且相应的概率密度函数为 φ(x)= e 6π A.μ=2,σ=3 C.μ=2,σ= 3 答案 C
? 1 解析 由 φ(x)= e 2( 2π× 3 ( x ? 2)2 3)2
x2 ? 4 x ? 4 6

,则(

)

B.μ=3,σ=2 D.μ=3,σ= 3

,得 μ=2,σ= 3.

故选 C. 2.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2).若 P(ξ>2)=0.023,则 P(-2≤ξ≤2)等于( )

A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 答案 C 解析 ∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2), ∴正态曲线关于直线 x=0 对称. 又 P(ξ>2)=0.023, ∴P(ξ<-2)=0.023, ∴P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2) =1-2×0.023=0.954. 1 3.若随机变量 X 服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是(10, ),则该随机变量的 2 方差等于( ) 2 π

2 A.10 B.100 C. D. π 答案 C

1 1 1 2 解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10, )知 = ,∴D(X)=σ2= . 2 2 π 2π· σ 4.设随机变量 X~N(μ,σ2),且 X 落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相 等,若 P(X>2)=p,则 P(0<X<2)等于( 1 A. +p 2 C.1-2p 答案 D 解析 由 X 落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得 μ=0. 又∵P(X>2)=p,∴P(-2<x<2)=1-2p, 1-2p 1 ∴P(0<X<2)= = -p. 2 2 5.已知一次考试共有 60 名学生参加,考生的成绩 X~N(110,52),据此估计,大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内?( A.(90,110] C.(100,120] 答案 C 解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5. 因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是 0.682 6,0.954 4,0.997 4. 由于一共有 60 人参加考试, 故成绩位于上述三个区间的人数分别是 ) B.(95,125] D.(105,115] )

B.1-p 1 D. -p 2

60×0.682 6≈41(人),60×0.954 4≈57(人), 60×0.997 4≈60(人). 6.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)等于( A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 答案 C 解析 ∵P(ξ<4)=0.8, )

∴P(ξ>4)=0.2. 由题意知图象的对称轴为直线 x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6. 1 ∴P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)=0.3. 2 7.在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0,1) 的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

A.2 386 C.3 413 答案 C

B.2 718 D.4 772

1 解析 根据题意,得 P(0<x≤1)= P(-1<x≤1)=0.341 3,设落入阴影部分的点的个数为 n, 2 则 S阴影 0.341 3 n = = ,则 n=3 413. 1 10 000 S正方形

二、填空题 8.已知随机变量 x~N(2,σ2),如图所示,若 P(x<a)=0.32,则 P(a≤x<4-a)=.

答案 0.36 解析 由正态分布图象的对称性可得:P(a≤x<4-a)=1-2P(x<a)=0.36. 9.已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4),且 P(X≤1)=0.5,则实数 a 的值为.

答案 1 解析 ∵X 服从正态分布 N(a,4), ∴正态曲线关于直线 x=a 对称, 又 P(X≤1)=0.5,故 a=1. 10.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ,22),且正态分 布密度曲线如图所示,若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况,则这 1 000 名男 生中属于正常情况的人数约为.

答案 683 解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故 P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,从而 属于正常情况的人数为 1 000×0.682 6≈683. 1 ? 11.已知某正态分布的概率密度函数为 f(x)= e 2π 值点为,X 落在区间(2,3]内的概率为. 答案 x=1 0.135 9 解析 由正态分布的概率密度函数知 μ=1,σ=1,所以总体分布密度曲线关于直线 x=1 对 称,且在 x=1 处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知 x=1 为 f(x)的极大值点.由 1 1 X~N(1,1)知 P(2<X≤3)= [P(-1<X≤3)-P(0<X≤2)]= [P(1-2× 1<X≤1+2× 1)-P(1-1<X≤1 2 2 1 +1)]= ×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 三、解答题 12.从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果 得如下频率分布直方图:
( x ?1) 2 2

,x∈(-∞,+∞),则函数 f(x)的极

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表);

(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ 近似为样本 平均数 x ,σ2 近似为样本方差 s2. ①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求 E(X). 附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为 x = 170×0.02 + 180×0.09 + 190×0.22 + 200×0.33 + 210×0.24 + 220×0.08 + 230×0.02 = 200, s2 = ( - 30)2×0.02 + ( - 20)2×0.09 + ( - 10)2×0.22 + 0×0.33 + 102×0.24 + 202×0.08 + 302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的概率为 0.682 6,依题意知 X~ B(100,0.682 6),所以 E(X)=100×0.682 6=68.26. 13.假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量.记一天中 从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. (1)求 p0 的值; (2)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一 次,A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/ 辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营 成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 解 (1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502), 故有 μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900) 1 1 = + P(700<X≤900)=0.977 2. 2 2 (2)设 A 型,B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,则相应的营运成本为 1 600x+2 400y. 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900), 故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900.

x+y≤21, ? ?y≤x+7, 于是问题等价于求满足约束条件? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N,

且使目标函数 z=1 600x+2 400y 达到最小的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴 z 上截距 最小,即 z 取得最小值. 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆.


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