【创新设计】2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合:1-8-1函数与方程思想、数形结合思想


第1讲

函数与方程思想、数形结合思想

一、填空题 1.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是________. 解析 1 ?1 ? ∵等比数列{an}中,a2=1,∴S3=a1+a2+a3=a2?q+1+q?=1+q+q. ? ? 1? 1 ? q· = 3 , 当公比 q < 0 时, S 3=1-?-q-q? q ? ?

1 当公比 q>0 时, S3=1+q+q≥1+2 ≤1-2 答案

? 1? ?-q?=-1,∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). ?-q?· ? ? (-∞,-1]∪[3,+∞)

2.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0, 则|c|的最大值是________.

解析

→ → → → → 如图,设OA=a,OB=b,OC=c,则CA=a-c,CB=b-c.由题意知

→ → CA⊥CB, ∴O,A,C,B 四点共圆. → ∴当 OC 为圆的直径时,|c|最大,此时,|OC|= 2. 答案 2

3.已知圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是________. 解析 圆心坐标为(-1,2), 因为圆关于直线对称, 所以-2a-2b+2=0 即 a+b

1 1 1 -1=0,∴ab=a(1-a)=-a2+a=-(a-2)2+4≤4. 答案 1 (-∞,4]

4.已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)

-1-

=0,则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是________.

解析

作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知 x· f(x)<0 的 x 的取值

范围是(-1,0)∪(0,1). 答案 (-1,0)∪(0,1)

5.若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则 f(2), f(3),g(0)的大小关系为________. 解析 由题意得 f(x)-g(x)=ex,f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,由

ex-e-x -ex+e-x ex-e-x 此解得 f(x)= 2 ,g(x)= ,g(0)=-1,函数 f(x)= 2 在 R 上是 2 e2-e-2 增函数,且 f(3)>f(2)= 2 >0,因此 g(0)<f(2)<f(3). 答案 g(0)<f(2)<f(3)

x2 y2 6.若 a>1,则双曲线a2- =1 的离心率 e 的取值范围是________. ?a+1?2 解析
2 2 1? 1 ? c? a +?a+1? ? ?1+a?2,因为当 a>1 时,0< <1,所以 2 e2=?a?2= = 1 + 2 a a ? ? ? ?

<e2<5,即 2<e< 5. 答案 ( 2, 5)

7. 已知△ABC 的一个内角为 120° , 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ABC 的面积为________. 解析 由于三边长构成公差为 4 的等差数列,故可设三边长分别为 x-4,x,x

+4,由一个内角为 120° 知其必是最长边 x+4 所对的角. 由余弦定理得(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120° , ∴2x2-20x=0, ∴x=0(舍去)或 x=10. 1 ∴SΔABC=2×(10-4)×10×sin 120° =15 3.

-2-

答案

15 3

1 8.函数 f(x)=(2)x-sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________.

解析

1 1 函数 f(x)=(2)x-sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(2)x-sin x=0

1 在区间[0,2π]上解的个数.因此可以转化为两函数 y=(2)x 与 y=sin x 交点的个 数,根据图象可得交点个数为 2,即零点个数为 2. 答案 2

二、解答题 9.已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4 >2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围. 解 ?1 ? ∵t∈[ 2,8],∴f(t)∈?2,3?. ? ?

?1 ? 原题转化为当 m∈?2,3?时,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,即 m(x-2) ? ? +(x-2)2>0 恒成立. ?1 ? 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈?2,3?, ? ? ?1 ? 问题转化为 g(m)在 m∈?2,3?上恒大于 0, ? ? 1 ? ?g? ?>0, 即? 2 ? ?g?3?>0, 1 ? ? ?x-2?+?x-2?2>0, 即?2 ? ?3?x-2?+?x-2?2>0.

解得 x>2 或 x<-1. ?3 ?1 3? 3? 10.已知平面向量 a=? ,- ?,b=? , ?,且存在实数 x,y,使得 m=a+(x2 2 2 2 2 ? ? ? ?

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-3)b,n=-ya+xb 且 m⊥n. (1)求 y=f(x)的关系式; (2)已知 k∈R,讨论关于 x 的方程 f(x)-k=0 的实根个数. 解 31 3 3 (1)a· b=2· - 2 2 ·2 =0,|a|= 3,|b|=1.

因为 m⊥n,所以 m· n=0, 1 即[a+(x2-3)b](-ya+xb)=0,化简整理得 y=3x3-x, 1 即 f(x)=3x3-x. (2)方程 f(x)-k=0 实根个数由两函数 y=f(x),y=k 的图象交点个数确定.由 f ′(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知: f(x)在(-∞,-1)及(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,极大值 f(- 2 2 1)=3,极小值 f(1)=-3. 作 y=f(x)和 y=k 的图象如图,

2 2 知当 k<-3或 k>3时,两图象有一个交点,原方程有一个实根; 2 当 k=± 3时,原方程有两个实根; 2 2 当-3<k<3时,原方程有三个实根. 2 11.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 2 ,直 → → 线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=3PB. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 y2 x2 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),设 c>0,c2=a2-b2,
-4-

c 2 2 由题意,知 2b= 2,a= 2 ,所以 a=1,b=c= 2 . x2 故椭圆 C 的方程为 y + 1 =1. 2
2

即 y2+2x2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0), l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1, y1), B(x2, y2), ?y=kx+m, 由? 2 2 得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0, ?2x +y =1, Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1) =4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2 → → 因为AP=3 PB,所以-x1=3x2. ?x1+x2=-2x2, 所以? 2 ?x1x2=-3x2. 所以 3(x1+x2)2+4x1x2=0. m2-1 ?-2km?2 ? 2 ? +4· 2 所以 3· =0. k +2 ? k +2 ? 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0, 即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0. 1 当 m2=4时,上式不成立; 2-2m2 1 当 m2≠4时,k2= 2 , 4m -1 由(*)式,得 k2>2m2-2, 2-2m2 又 k≠0,所以 k = 2 >0. 4m -1
2

1 1 解得-1<m<-2或2<m<1. 1? ?1 ? ? 即所求 m 的取值范围为?-1,-2?∪?2,1?. ? ? ? ?
-5-


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