2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)2----函数与导数(选择填空题)(全Word,精心排版)


2014 年全国各地高考试题分类汇编(文数) 函数与导数(选择填空题)
(2014 安徽文数)5.设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则(
1.1 3.1

) D. a ? c ? b

A. b ? a ? c

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

【解析】由 3 ? 7 ? 9 得 log3 3 ? log3 7 ? log3 9 ,所以 1 ? a ? 2 ,由 21.1 ? 21 ? 2 得 b ? 2 ,由 0.83.1 ? 0.80 ? 1 得

c ? 1 ,因此 c ? a ? b ,故选 B.
5 4 ? 16 ? 4 (2014 安徽文数)11. ? ? +log 3 ? log 3 ? 4 5 ? 81 ?
?? 2 ?4 ? 【解析】原式 ? ?? ? ? ?? 3 ? ? ? ?
? 3 4 ?3

?

3


3

27 . ?5 4? ?2? ? 3? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 1 ? ? ? ? 0 ? 8 ? 4 5? ? 3? ? 2?

(2014 安徽文数)14.若函数 f ? x ? ? x ? R? 是周期为 4 的奇函数,且在 ?0, 2? 上的解析式为

? x ?1 ? x ? , 0≤x≤1 f ? x? ? ? ,则 ? sin ?x, 1 ? x≤2
【解析】依题意得

? 29 ? ? 41 ? f ? ?? f ? ?? ? 4 ? ? 6?



3 1 3 ? 29 ? ? 3? ? 3? ? 3? f ? ? ? f ?8 ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? ? , 4 4 16 ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? 7π π 1 ? 7? ?7? ? 29 ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? sin ? sin ? ,因此, f ? ? ? 6 6 2 ? 6? ?6? ? 4?
) B. y ? x3 C. y ? ln x
3

? 41 ? f ? ?? ?6?

? 7? f ?8 ? ? ? ? 6?

3 1 5 ? 41 ? f ? ??? ? ? . ? 6 ? 16 2 16

(2014 北京文数)2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e ? x
?x

D. y ? x

【解析】 y ? e 在 R 上为减函数; y ? x 是定义域为 R 的增函数; y ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? ; y ? x 在 R 上不单调,故选 B. (2014 北京文数)6.已知函数 f ? x ? ? A. ? 0,1? B. ?1, 2 ?

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是( x
D. ? 4, ???



C. ? 2, 4 ?

【解析】因为 f ?1? ? 6 ? log 2 1 ? 6 ? 0 , f ? 2? ? 3 ? log2 2 ? 2 ? 0 , f ?3? ? 2 ? log2 3 ? 0 ,

f ? 4? ?

6 3 ? log 2 4 ? ? 2 ? 0 ,所以包含 f ? x ? 零点的区间是 ? 2, 4 ? ,故选 C. 4 2

(2014 北京文数)8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,
2 可食用率 p 与加工时间 t (单位:分钟)满足的函数关系 p ? at ? bt ? c ( a , b , c 是常数) ,如图所示记录

了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( A. 3.50 分钟 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟
1

) D. 4.25 分钟

p 0.8 0.7 0.5

O

3

4

5

t

?9a ? 3b ? c ? 0.7 ? a ? ?0.2 2 1 ? 15 ? 13 ? ? 2 【解析】由已知得 ?16a ? 4b ? c ? 0.8 ,解得 ?b ? 1.5 ,所以 p ? ?0.2t ? 1.5t ? 2 ? ? ? t ? ? ? ,所以 5? 4 ? 16 ? 25a ? 5b ? c ? 0.5 ? c ? ?2 ? ?
当t ?

15 ? 3.75 时 p 最大,即最佳加工时间为 3.75 分钟.故选 B. 4
3

(2015 大纲文数)5.函数 y ? ln( A. y ? (1 ? e
x 3

x ?1)( x ? ?1) 的反函数是(
x


x 3

) ( x ? ?1)

B. y ? (e

?1)3 ( x ? ?1)
3

C.y ? (1 ? e

) ( x ? R)

D.y ? (e

x

?1)3 ( x ? R)

【解析】由 y ? ln
3

?

3

x ? 1 得 3 x ? 1 ? e y ,即 x ? ? e y ? 1? ,又由 x ? ?1 可知 y ? R ,所以原函数的反函数为

?

y ? ? e y ? 1? ? y ? R ? .故选 D.
(2015 大纲文数)12.奇函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ?2) 为偶函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f (9) ?( A. ? 2 B. ? 1 C.0 D.1 【解析】由 f ? x ? 2? 是偶函数可得 f ? ?x ? 2? ? f ? x ? 2? ,又由 f ? x ? 是奇函数得 f ? ?x ? 2? ? f ? x ? 2? , 所以 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? , f ? x ? 4? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 是以 4 为周期的周期函数, 所以 f ?9? ? f ? 2 ? 4 ?1? ? f ?1? ? 1,又 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,所以 f ? 0? ? 0 , 所以 f ?8? ? f ? 0? ? 0 ,故 f ?8? ? f ? 9? ? 1,故选 D. )

? x 2 ? 2, x≤0 (2014 福建文数)15.函数 f ? x ? ? ? 的零点个数是 ?2 x ? 6 ? ln x, x ? 0
【解析】当 x ? 0 时,由 x 2 ? 2 ? 0 得 x ? ? 2 ;当 x ? 0 时,



f ? x ? ? 2x ? 6 ? ln x 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,且

f ? 2? ? ln 2 ? 2 ? 0 , f ?3? ? ln3 ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有且只有一个零点. 综上可知 f ? x ? 零点个数为 2.
(2014 福建文数)8.若函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )

2

y
3 1

y ? a? x

y
1

y ? xa

y
1

y ? ??x?

a

y ? loga ? ? x ?
-3

y

y
1 -1

y ? loga x
3

O
1 x B.

1

x

O

1

x

O
D .
x ?x

O
A .

xO

x

C.

?1? 【解析】由 y ? log a x 的图像可知 loga 3 ? 1 ,所以 a ? 3 .对于选项 A: y ? 3 ? ? ? 为减函数,A 错误; ?3?
对于选项 B:

y ? x3 ,显然满足条件;对于选项 C:

y ? ? ? x ? ? ? x 3 在 R 上为减函数,错误;
3

对于选项 D: y ? log3

? ?x? ,当 x ? ?3 时, y ? 1,D 错误.故选 B.
) C. y ? 2cos x ? 1 D. y ? x2 ? 2x B. y ? x3 sin x

(2014 广东文数)5.下列函数为奇函数的是(

1 x A. y ? 2 ? x 2

【解析】由奇偶性定义知,B,C 中的函数为偶函数,D 中的函数为非奇偶函数,只有 A 中的函数为奇函数,故 选 A. (2014 广东文数)11.曲线 y ? ?5e ? 3 在点 ? 0, ?2 ? 处的切线方程为________.
x

【解析】y? ? ?5e , 则 k ? y?
x

x ?0

所以所求切线方程为 y ? ? ?2? ? ?5 ? x ? 0? , 即 5 x ? y ?2 ? 0 . ? ?5? e 0 ?5 ? ,

(2014 湖北文数)9.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x2 ? 3x . 则 g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零 点的集合为( ) A. {1, 3} B. { ? 3, ?1,1, 3} C. {2 ? 7 ,1, 3} D. { ? 2 ? 7 , 1, 3} 【解析】当 x …0 时, f ? x ? ? x3 ? 3x ,令 g ? x ? ? x 2 ? 3x ? x ? 3? 0 ,得 x1 ? 3 , x2 ? 1 .当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 所以 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 3 ? ? x ? ,所以 ? f ? x ? ? x2 ? 3x ,所以 f ? x ? ? ?x2 ? 3x .令 g ? x ? ? ?x2 ? 3x ? x ? 3 ? 0 ,得
2

,所以 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 3 的零点的集合是 ?2 ? 7,1,3 ,故选 D. x3 ? ?2 ? 7 , x4 ? ?2 ? 7 ? 0 (舍) (2014 湖北文数)15.如图所示,函数 y ? f ( x) 的图象由两条射线和三条线段组成.
y
a
?3a ?2a
?a

?

?

y ? f ( x)
a

2a

O

3a

x

?a

若 ?x ? R , f ( x) > f ( x ? 1) ,则正实数 a 的取值范围为 【解析】 ?x ? R , f ? x ? > f ? x ? 1? .由题图易知 a ? 0 ,且 6a ? 1 ,所以 0 ? a ?



1 . 6

?x

(2014 湖南文数)4.下列函数中,既是偶函数又在区间 (??, 0) 上单调递增的是( A. f ( x ) ?

1 x2

B. f ( x) ? x ? 1
2

C. f ( x) ? x

3

D. f ( x ) ? 2

3

【解析】 f ? x ? ?

1 2 是偶函数,且在 ? ??,0 ? 上单调递增,A 正确; f ? x ? ? x ? 1 是偶函数,但在 ? ??,0 ? 上单 x2
3 ?x

调递减,B 错; f ? x ? ? x 是奇函数,C 错; f ? x ? ? 2 是非奇非偶函数,D 错.故选 A. (2014 湖南文数)9.若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A. e x2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1 【解析】令 f ? x ? ? ) C. x2e x1 ? x1e x2 D. x2e x1 ? x1e x2

B. e x2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1

x ex xe x ? e x e ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? .当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单 ? x x2 x2

调递减,因为 0 ? x1 ? x2 ? 1,所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,即

ex ex x x ,所以 x2e ? x1e ,故选 C. ? x2 x1
2 1

1

2

3x (2014 湖南文数)15.若 f ? x ? ? ln e ? 1 ? ax 是偶函数,则 a ?

?

?



3x 【解析】因为 f ? x ? ? ln e ? 1 ? ax 是偶函数,则 f ' ? 0? ? 0 .故 f ' ? x ? ?

?

?

3e3 x ?a, e3 x ? 1

因此 f ' ? 0? ?

3 3e3 x 3 ? a ? ? a ? 0 ,故 a ? ? . 3x 2 e ?1 2


?a ? 2 x , x≥0 (2014 江西文数)4.已知函数 f ( x) ? ? ? x (a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1,则 a ? ( ? 2 ,x ? 0

A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

【解析】由 f ? ? f ? ?1? ? ? ? f ? 2 ? ? 4a ? 1 ,得 a ? 4 ,故选 A. (2014 江西文数)10.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? ax2 ? x ? 的图像不可能 的是( ... )

1

a 与y ? a2 x3 ? 2ax2 ? x ? a(a ? R) 2
y

y

y O

y

x
O

x

O
A .

x
B.

O
C.

x
D .

2 【解析】当 a ? 0 时, y ? ? x 与 y ? x 的图像如图选项 D;当 a ? 0 时,二次函数 y ? ax ? x ?

a 的对称轴方程 2 1 1 2 3 2 2 2 x? . 三次方程 y ? a x ? 2ax ? x ? a , y ' ? 3a x ? 4ax ? 1 ? ?3ax ? 1?? ax ? 1? , 令 y' ? 0, 得 x1 ? , 3a 2a 1 1 1 1 1 1 1 x2 ? .若 a ? 0 时, ? ? ;当 a ? 0 时, ? ? .观察 A、B、C 选项.故选 B. a 3a 2a a a 2a 3a
4

(2014 江西文数) 11. 若曲线 y ? x ln x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P 的坐标是 【解析】令 f ? x ? ? x ln x ,则 f ? ? x ? ? ln x ? 1,设 P ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x0 ? ? ln x0 ? 1 ? 2 ,所以 x0 ? e , 此时 y0 ? x0 ln x0 ? eln e ? e ,所以点 P 的坐标为 ? e,e ? . (2014 辽宁文数)3.已知 a ? 2 A. a ? b ? c
? 1 3



?

1 3

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? b ? a

) D. c ? a ? b

B. a ? c ? b

【解析】由 a ? 2 知 0 ? a ? 1 ,而 b ? log 2

1 1 ? 0 , c ? log 1 ? 1 ,所以 c ? a ? b .故选 D. 3 2 3

? ? 1? ? cos ?x, x ? ?0, 2 ? 1 ? ? ? (2014 辽宁文数)10.已知 f ( x ) 为偶函数,当 x≥0 时, f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x ? 1)≤ 2 ?2 x ? 1, x ? ? 1 , ?? ? ? ? ? ?2 ? ?
的解集为( A. )

?1 2? , ? ? 4 3? ?

?4 7? , ? ?3 4? ?

B. ? , ?

? 3 ? ? 4

1? 3? ?

?1 2? , ? ?4 3? ?

C.

?1 3? , ? ?3 4? ?

?4 7? , ? ?3 4? ?

D. ? , ?

? 3 ? ? 4

1? 3? ?

?1 3? , ? ?3 4? ?

【解析】作出 y ? f ? x ? 与 y ?

1 1 ? 3 1? 的图像,如图,由图易知 f ? x ? ? 的解集为 ? , ? ? 2 2 ? 4 3? ?
?4 7? , .故选 A. ? ?3 4? ?

?1 3? , ,所以 ? ?3 4? ?

f ? x ? 1? ?

1 ?1 2? 的解集为 , ? 2 ? 4 3? ?
y y=f(x)

1 y= 1O 1 2 2 1 x

1 2

(2014 辽宁文数)12.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. ? ?5, ?3?

B. ?6, ?

? ? ?

9? 8? ?

C. ? ?6, ?2?

D. ? ?4, ?3?

【解析】当 x ? 0 时, 3 …0 恒成立, a ? R .当 0 ? x ? 1 时, a …

x2 ? 4x ? 3 x2 ? 4 x ? 3 .设 ,则 h x ? ? ? x3 x3

h' ? x ? ?

? ? x2 ? 8x ? 9? x
4

?

? ? x ? 9 ?? x ? 1? ,因为 x ? ? 0,1? ,所以 h' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递增,所以 x4

5

h ? x ?max ? h ?1? ? ?6 ,所以 a …?6 .当 ?2 ? x ? 0 时,a ?

x2 ? 4x ? 3 x2 ? 4 x ? 3 . 易知 在 ? ?2, ?1? 上 h x ? ? ? x3 x3
?2 ,故选 C.

递减,在 ? ?1,0? 上递增.所以 h ? x ?min ? h ? ?1? ? ?2 ,所以 a ? ?2 .综上, ?6 剟a (2014 山东文数)3.函数 f ? x ? ? A. ? 0, 2 ? 【解析】要使函数 f ? x ? ? 定义域为 ? 2, ??? .故选 C B. ? 0, 2?

1 的定义域为( log 2 x ?1
C. ? 2, ???

) D. ? 2, ?? ?

1 有意义,需有 log2 x ?1 ? 0 ,即 log 2 x ?1 ,解得 x ? 2 ,即函数 f ? x ? 的 log 2 x ? 1

(2014 山东文数)6.已知函数 y ? loga ? x ? c ? (a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图像如图所示,则下列结论 成立的是( ) B. a ? 1, 0 ? c ? 1 C. 0 ? a ? 1, c ? 1 D. 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

A. a ? 1, c ? 1
E

O

1

x

【解析】由图知,函数在定义域内为减函数,? 0 ? a ? 1 .又 x ? 0 时, y ? 0 ,即 log a c ? 0 ,? 0 ? c ? 1 .故 选 D. (2014 山东文数)5.已知实数 x , y 满足 a ? a
x y

?0 ? a ? 1? ,则下列关系式恒成立的是(
C. ln x 2 ? 1 ? ln y 2 ? 1



A. x ? y
3

3

B. sin x ? sin y

?

?

?

?

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

3 3 x y 【解析】因为 a ? a 且 0 ? a ? 1 ,所以 x ? y ,所以 x ? y .故选 A

(2014 山东文数) 9. 对于函数 f ? x ? , 若存在常数 a ? 0 , 使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? , 则称 f ? x ? 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( A. f ? x ? ? 【解析】由 函数 ) D. f ? x ? ? cos ? x ? 1?

x

B. f ? x ? ? x

2

C. f ? x ? ? tan x

f ? x? ? f ? 2a ? x? ,得函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? a 对称,易知 A,C 错误.又因为 a ? 0 ,而

f ? x ? ? x2 图像的对称轴为直线 x ? 0 ,故 B 错误,故选 D.


(2014 陕西文数)7.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是(
6

A. f ? x ? ? x

3

B. f ? x ? ? 3

x

C. f ? x ? ? x
3

1 2

?1? D. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

【解析】对于选项 A, f ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ? x 3 y 3 ,故排除 A;对于选项 B,

f ? x ? y ? ? 3x? y ? 3x3y ? f ? x ? f ? y ? ,且 f ? x ? ? 3x 在其定义域是单调递增函数,故 B 正确;对于选项 C,
f ? x ? y ? ? x ? y ? f ? x ? f ? y ? ? x 2 y 2 ? xy ,故排除 C;对于选项 D,
?1? f ? x ? y? ? ? ? ?2?
x? y

1

1

?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? f ? x ? f ? y ? ,但 f ? x ? ? ? ? 在其定义域内是减函数,故排除 D.选 B. ?2? ?2? ?2?

x

y

x

(2014 陕西文数)10.如图所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切) .已知环湖 湾曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2 1 3 C. y ? x ? x 4
A. y ?
y(千米) y=-x 湖面

1 3 1 2 x ? x ? 3x 2 2 1 3 1 2 D. y ? x ? x ? 2 x 4 2
B. y ?

y=3x-6

x(千米) 2

【解析】设三次函数的解析式为 y ? ax 数 y ? ax
3

3

2 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? ,则 y? ? 3ax ? 2bx ? c .由已知得 y ? ? x 是函

? bx2 ? cx ? d 在点 ? 0,0 ? 处的切线,则 y?

x ?0

? ?1 ? c ? ?1,排除选项 B,D,又因为 y ? 3x ? 6 是

该函数在点

? 2,0? 处的切线,则 y? x?2 ? 3 ?12a ? 4b ? c ? 3 ?12a ? 4b ?1 ? 3 ? 3a ? b ? 1 .只有 A 选项的
a

函数符合,故选 A. (2014 陕西文数)12.已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x ? ________. 【解析】 因为 4n ? 2 , 所以 a ? log 4 2 ? 填
1 1 1 1 又因为 lg x ? a , 所以 lg x ? , 所以 x ? 10 2 ? 10 . 故 log 4 4 ? . 2 2 2

10 .
x 0, ,x… 若 f1 ? x ?? f x? 1? x

(2014 陕西文数) 14. 已知 f ? x ? ? 的表达式为__________.

? ,fn+1 ? x? ? f ? fn ? x?? ? n ? N+ ? ,则 f2014 ? x ?

x x x ? x ? 【解析】由题意 f1 ? x ? ? f ? x ? ? , f n ?1 ? x ? ? f ? f n ? x ? ? ,则 f 2 ? x ? ? f ? , ? 1? x ? ? x 1? x 1 ? 2x ?1? x ? 1? 1? x

7

x x ? x ? 1 ? 2 x ? x …… …… …… f ? x ? ? . f3 ? x ? ? f ? 2014 ?? 1 ? 2014 x 1 ? 3x ? 1 ? 2x ? 1 ? x 1 ? 2x
(2014 四川文数)7.已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是(
d



A. d ? ac

B. a ? cd

C. c ? ad

D. d ? a ? c

【解析】 log5 b ? a , b ? 0 ,故由换底公式得 因为 5 ? 10 ,所以 d ? log5 10 ,即
d

lg b ? a ,所以 lg b ? a lg 5 .因为 lg b ? c ,所以 a lg 5 ? c ,又 lg 5

1 a ? lg 5 ,将其代入 a lg 5 ? c 中得 ? c ,即 a ? cd .故选 B. d d ??4 x 2 ? 2, ?1? x ? 0, R 2 (2014 四川文数)13.设 f ? x ? 定义在 上周期为 的函数,当 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ? , 0? x ? 1, ? x, ?3? 则 f ? ?? . ?2?
【解析】 f ? x ? 是定义域在 R 上的圆周期为 2 的函数,且 f ? x ? ? ? (2014 天津文数)4.设 a ? log2 π, b ? log 1 π, c ? π?2 , 则(
2

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, ? x, 0 ? x ? 1,

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

?2 【解析】因为 π ? 3 ,所以 a ? log2 π ? 1 , b ? log 1 π ? 0 , 0 ? c ? π ?

2

1 ? 1 ,故 a ? c ? b ,选 C. π2

(2014 天津文数)12.函数 f ? x ? ? lg x 的单调递减区间是________.
2

【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? ??,0?

?0, ??? , y ? lg u 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, u ? x2 在 ? ??, 0? 上递减,在

? 0, ?? ? 上递增,故 f ? x ? 在 ? ??, 0? 上单调递减.
2 ? ? x ? 5x ? 4 , x ? 0 (2014 天津文数)14.已知函数 f ? x ? ? ? ,若函数 y ? f ? x ? ? a x 恰有 4 个零点,则 a 取值 2 x ? 2 , x ? 0 ? ?

范围为


2

【解析】 首先作函数 y ? f ? x ? 的图像, 如图所示. 当 x≤0 时, 函数 y ? f ? x ? 的图像是将抛物线 y ? x ? 5x ? 4 在 x 轴下方的部分沿 x 轴对称到 x 轴的上方,原 x 轴上方,以及 y 轴左侧的部分不变;当 x ? 0 时,只需将直线

y ? 2 x ? 4 在 x 轴下方且 y 轴右侧的部分沿着 x 轴对称到 x 轴的上方,原来 x 轴上方的保持不变.其次要将

y ? f ? x ? ? a x 恰有 4 个零点进行转化处理.等价于方程 f ? x ? ? a x 恰有 4 个不等实根,又等价于曲线 y ? f ? x ? 与折线 y ? a x 恰有 4 个公共点.又函数 y ? a x 为偶函数,故需考虑折线 y ? a x 与曲线 y ? f ? x ?
在 y 轴两侧的交点个数.最后根据 a 的取值,大致可以分成 3 类.

8

① 当 a ? 0 时, y ? 0 与曲线 y ? f ? x ? 有三个公共点,故不符合题意; ② 当 a ? 0 时, y ? a x 与曲线 y ? f ? x ? 无公共点,故不符合题意;
2 ③ 当 a ? 0 时,设 y ? a x 与曲线 y ? f ? x ? 相切于点 P ,如图所示,易知方程 ? x ? 5x ? 4 ? ?ax 的

? ? ? a ? 5? ? 16 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? 9 (舍) .
2

当 a ? 1 时, y1 ? x 与 y ? f ? x ? 在 y 轴左侧有 3 个公共点,在 y 轴右侧有 2 个公共点; 当 a ? 2 时, y2 ? 2 x 与 y ? f ? x ? 在 y 轴左侧有 2 个公共点,在 y 轴右侧有 1 个公共点. 结合图像知,实数 a 的取值范围为 ?1,2 ? .

y
4 3 2 1

y2 ? 2 x y1 ? x

P

-4 -3 -2 -1 O

1 2 3 4

x

(2014 新课标 1 文数)5.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中 正确的是( ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x ) | g ( x ) | 是奇函数

【解析】依题意得任意 x ? R ,都有

f ? ? x ? ? ? f ? x ? , g ? ? x ? ? g ? x ? ,因此,

f ??x? g ??x? ? ? f ? x? g ? x? ? ? ? ? f ? x ? g ? x ?? ? , f ? x ? g ? x ? 是奇函数,A 错;

f ? ? x ? g ? ? x ? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , f ? x ? g ? x ? 是偶函数,B 错; f ??x? g ??x? ? ? f ? x? g ? x? ? ? ? ? f ? x? g ? x? ? ? , f ? x ? g ? x ? 是奇函数,C 正确; f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? f ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , f ? x ? g ? x ? 是偶函数,D 错.故选 C.
3 2 (2014 新课标 1 文数)12.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取

值范围是(

) B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

A. ? 2, ???

【解析】 a ? 0 时,不符合题意. a ? 0 时, f ? ? x ? ? 3ax2 ? 6x ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ?

2 .若 a ? 0 , a

9

则由图像知 f ? x ? 有负数零点,不符合题意.则 a ? 0 ,由图像结合 f ? 0? ? 1 ? 0 知,此时必有 f ?

?2? ? ? 0 ,即 ?a?

a?

8 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,化简得 a 2 ? 4 ,又 a ? 0 ,所以 a ? ?2 ,故选 C. 3 a a


?e x ?1 , x ? 1, ? (2014 新课标 1 文数)15.设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是 3 ? ? x , x ? 1,
【解析】 f ? x ? ? 2 ? ?

? x ? 1, ?e
x ?1

? 2

或?

x ? 1, ? ?
1 3

? x ? 1, ? x ? 1, 或? ? x ? 1 或1 剟x ?? x ? ln 2 ? 1 ? x ? 8 ? ? x ? 2 ?

8? x

8 ,故填

? ??,8? .
(2014 新课标 2 文数)11.若函数 f ( x ) ? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ?2, ??? D. ?1, ?? ? )

【解析】依题意得 f ? ? x ? ? k ?

1 1 …0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 k … 在 ?1, ?? ? 上恒成立,因为 x ? 1 ,所以 x x

0?

1 ? 1 ,所以 k …1 ,故选 D. x


(2014 新课标 2 文数)15.已知偶函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) ?

【解析】因为函数 y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 2 对称,所以 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? 对任意 x 恒成立,令 x ? 1 , 得 f ?1? ? f ? 3? ? 3 ,所以 f ? ?1? ? f ?1? ? 3 . (2014 浙江文数)8.在同一直角坐标系中,函数 f ? x ? ? xa ? x ? 0? , g ? x ? ? log a x 的图像可能是( )

A.

B.

C.

D.

【解析】因为 a ? 0 ,且 a ? 1 ,所以 f ? x ? ? xa 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以排除 A;当 0 ? a ? 1 或 a ? 1 时,B、 C 中 f ? x ? 与 g ? x ? 的图像矛盾,故选 D. (2014 浙江文数)7.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,且 0 ? f ? ?1? ? f ? ?2? ? f ? ?3? ? 3 ,则(
3 2



A. c? 3

B. 3 ? c? 6

C. 6 ? c? 9

D. c ? 9

【解析】由 0 ? f ?1? ? f ? ?2? ? f ? ?3? ? 3 ,得 0 ? ?1 ? a ? b ? c ? ?8 ? 4a ? 2b ? c ? ?27 ? 9a ? 3b ? c ? 3 ,

?b ?c ?? 2 ? 7 9? a 3 ? b c 由 ?1 ? a ? b ? c ? ?8 ? 4a ? 2b ? c 得 3a ? b ? 7 ? 0 ①, 由 ?1? a 由①②,解得 a ? 6 , b ? 11 ,所以 0 ? c ? 6 ? 3 ,即 6 ? c ? 9 ,故选 C.

3 ? 0 ②, , 得 4a ? b ?1

(2014 浙江文数)10.如图所示,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到
10

墙面的距离为 AB , 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P , 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小(仰角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成角) .若 AB ? 15m, AC ? 25m, ?BCM ? 30 ,则 tan ? 的 最大值是( A.
M

) B.

30 5

30 10

C.

4 3 9

D.

5 3 9

P B C A

【解析】 如图, 过 P 作 PQ ? BC 于 Q , 则 PQ ? 平面 ABC , 所以 ?PAQ ? ? , 设P Q ? x

则 CQ = 3x m , m,

BC ? 252 ?152 ? 20 m , BQ ? 20 ? 3x m ,所以 AQ ? 152 ? 20 ? 3 x
所以 tan? =

?

?

?

?

2

? 625 ? 40 3 x ? 3 x 2 m ,

x 625 ? 40 3x ? 3x
2

?

1 625 40 3 ? ?3 x2 x
2

.设

25 ? t ,则 x

? 4 3 ? 27 4 3 125 3 625 40 3 625 40 3 8 3 ,所以当 t ? ,即 x ? 时 2 ? ? 3 取得 ? ? 3 ? t2 ? t ?3? ? t? ? ? 2 ? ? 5 x x 12 x x 5 5 ? 25 ?
最小值

25 5 3 27 ,即 tan? 取得最大值 ,故选 D. ? 25 27 9
M B P Q C

A

2 ? ? x ? 2 x ? 2, x? 0 (2014 浙江文数)15.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? f ? a ?? ? 2 ,则 a ? _________. 2 x?0 ? ?? x ,

【解析】若 a ? 0 ,则 f ?a ? ??a 2 ? 0 ,所以 f 解得 a ?

? f ? a ?? ? a

4

? 2a2 ? 2 ,由 f ? f ?a ?? ? 2 ,得 a 4 ? 2a 2 ? 2 ? 2 ,
2

2 2 (舍负) .若 a ? 0 ,则 f ? a ? ? a ? 2a ? 2 ? ? a ? 1? ? 1 ? 0 ,所以

f ? f ? a ? ? ? ? ? a 2 ? 2a ? 2 ? ? 0 ? 2 .综上, a ? 2 .
(2014 重庆文数)4.下列函数为偶函数的是( A. f ( x ) ? x ? 1 B. f ( x ) ? x 2 ? x ) D. f ( x) ? 2x ? 2? x

C. f ( x) ? 2x ? 2? x

【解析】因为 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,所以 f ? ?x ? ? 2? x ? 2x ? f ? x ? ,又 f ? x ? ? 2x ? 2? x 定义域为 R ,故

11

易证 A、 B 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数, 而 C 选项中的函数为奇函数. 故 f ? x ? ? 2x ? 2? x 为偶函数. 选D

? 1 ? 3,x ? (?1 , 0] ? , ,且g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 在 ? ?11 ? 内有且 (2014 重庆文数)10.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ? 1] ? x,x ? (0,
仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( A. (? , ? 2] ) C. (? , ? 2]

9 4

1 (0, ] 2

B. (?

11 1 , ? 2] (0, ] 4 2

9 4

2 (0, ] 3

D. ( ?

11 2 , ? 2] (0, ] 4 3

【解析】如图所示,作出函数 f ( x ) 的图像,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? m 在 ? ?1,1? 上有两个零点, ?方程

f ? x ? ? mx ? m ? 0 在 ? ?1,1? 上有两个不等实根, ?函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? x ? 1? 在 ? ?1,1? 上有两
个不同的公共点.如图所示,可知直线 y ? m ? x ? 1? 横过点 P ? ?1,0? ,且 k PA ?

1 , kPB ? ?2 .当直线 2

1 1 ? 3 相切时, 即方程 m ? x ? 1? ? ? 3 在 ? ?1,0? 恰有一个公共点. 当公共点在 x 轴 x ?1 x ?1 1 9 2 上方时, 易知 0 ? m≤ ; 当公共点在 x 轴下方时, 易知 ? ? m≤ ? 2 . 即 m ?x ? 1? ? 3 x ? ?1 ? ? 1? 0 在 ? ?1,0? 4 2

y ? m ? x ? 1? 与 y ?

上恰有一个公共点, 即方程有一解, mx2 ? ? 2m ? 3? x ? m ? 2 ? 0 ? m ? 0? , 故 ? ? ? 2m ? 3? ? 4m ? m ? 2 ? ? 0 ,
2

即 4m ? 12m ? 9 ? 4m ? 8m ? 0 , 4m ? 9 ? 0 ,从而 m ? ?
2 2

9 . 4

综上: m 的取值范围为 ? ? , ?2 ?

? 9 ? 4

? ? 1? ? 0, ? .故选 A. ? ? 2?

y A

k?

1 2

P
-1

O

1

x

B

k ? ?2 9 k?? 4

-2

12


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