2018年步步高高中数学大一轮复习第二章 2.5_图文

§2.5 指数与指数函数 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 课时作业 深度剖析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a = a (a>0,m,n∈N*, 且n>1).于是,在条件a>0,m,n∈N*,且n>1下,根式都可以写成分数 指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿, 1 m n n m 我们规定a = a (a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分数指数幂等于 0 ;0 的负分数指数幂 没有意义 . (2)有理数指数幂的运算性质:aras= ar+s,(ar)s= ars ,(ab)r= arbr ,其 中a>0,b>0,r,s∈Q. ? m n m n 2.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 几何画板展示 0<a<1 图象 定义域 值域 (1) R (2) (0,+∞) (3)过定点 (0,1) 性质 (4)当x>0时, y>1 ; 当x<0时, 0<y<1 (5)当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时, y>1 减函数 (6)在(-∞,+∞)上是增函数 ______ (7)在(-∞,+∞)上是________ 知识拓展 1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a), 1 (0,1),(-1,). a 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y= dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c> d>1>a>b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内, 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a =( a)n=a.( × ) n n n m (2)分数指数幂 a 可以理解为 个a相乘.( × ) n m n (3) (?1) ? (?1) ? ?1. ( × ) (4)函数y=a-x是R上的增函数.( × ) (5)函数 y=a x2+1 2 4 1 2 (a>1)的值域是(0,+∞).( × ) (6)函数y=2x-1是指数函数.( × ) 考点自测 1 x 1.(教材改编)若函数f(x)=a (a>0,且a≠1)的图象经过点P(2, ),则f(-1) 等于 答案 2 A. 2 解析 2 B. 2 1 C. 4 D.4 1 2 2 由题意知 =a ,所以 a= , 2 2 2x 2 -1 所以 f(x)=( ) ,所以 f(-1)=( ) = 2. 2 2 2.(2017· 青岛调研)已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则A的坐标 为 答案 A.(0,1) 解析 B.(2,3) C.(3,2) D.(2,2) 由a0=1知,当x-2=0,即x=2时,f(2)=3,即图象必过定点(2,3). 1 3 ? ? 3 ?1 3 3 3.已知 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 4 , c ? ( ) 4 , 则a,b,c的大小关系是 答案 5 5 2 解析 A.c<a<b C.b<a<c 3x ∵y=( ) 是减函数, 5 1 ? 3 ?1 3 3 0 3 4 ? ( ) >( ) >( ) , 5 5 5 B.a<b<c D.c<b<a 即a>b>1, 3 ?3 3 0 4 又 c ? ( ) <( ) ? 1, 2 2 ∴c<b<a. 2 1 3 ?1 7 2 2 4.计算: ( ) 3 ? (? )0 ? 8 4 ? 4 2 ? (? ) 3 =________. 2 6 3 答案 解析 2 2 原式=( ) ?1 ? 2 ? 2 ? ( ) ? 2. 3 3 1 3 3 4 1 4 1 3 [0,8) 5.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是________. 答案 解析 ∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<23-x≤23=8,∴0≤8-23-x<8, ∴函数y=8-23-x的值域为[0,8). 题型分类 深度剖析 题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式: (1)[(0.064 ) 1 2 5 ?2.5 3 3 ] ? 3 ? π0 ; 8 3 2 3 解答 1 5 ? 27 1 ? 64 5 ? 2 ? ) ] ? ? ( )3 ?1 原式= ?[( 8 ? ? ? 1000 5 2 1 ?( ? )? 4 3 1 3 ? [( ) ]5 2 3 ? [( )3 ]3 ? 1 10 2 5 3 = - -1=0. 2 2 (2) a ? 8a b 4b ? 2 3 ab ? a 1 3 2 3 2 3 4 3 1 3 ? (a ? 2 3 23 b a ? 3 a2 ? )? . 5 a a?3 a 1 3 3 1 3 1 3 解答 a ? 2b (a ? a ) 原式= 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 a 3 2 3 3 3 2 (a ) ? a ? (2b ) ? (2b ) (a 2 ? a 3 ) 5 ? a (a ? 2b ) ? 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 a [(a ) ? (2b ) ] 1 3 3 2 1 3 2 a a ? 2b 1 3 1 3 ? a a 5 6 1 6 ? a ?a?a ? a . 2 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利 用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加; ②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负 指数. 跟踪训练

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