天水一中2014届高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题

甘肃省天水市一中 2014 届高三年级诊断考试

数学(理)试题
命题人:黄国林 审题人: 蔡恒录 共 60 分)

第Ⅰ卷(选择题
1. 若 a ? bi ? A.1

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

25 (a、b 都是实数,i 为虚数单位),则 a+b= 3 ? 4i
B.-1 C.7 D.-7

1 2. 已知命题 p: ?a ? R ,且 a>0,有 a ? ? 2 ,命题 q: ?x ? R , sin x ? cos x ? 3 ,则下列判断正 a
确的是 A.p 是假命题 C. p ∧(?q) 是真命题 B.q 是真命题 D. (?p) ∧q 是真命题

3. 如图,设 D 是边长为 l 的正方形区域,E 是 D 内函数 y ?

x

与 y ? x2 所构成(阴影部分)的区域,在 D 中任取一点,则该 点在 E 中的概率是 A.

1 4

B.

2 3

C.

1 6

D.

1 3

4.设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则λ +μ 的值为 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.1

5. 执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 八个一样的小球排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂红色, 3 个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续,则不同涂法共有 A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.20 种

7.已知函数 f ( x ) ? ?

?0, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零

点的实数 m 的取值范围是 A. [0,1) C. B.

(??,0] ? (1,??)

(??,1)

D. (??,1] ? (2,??)

8.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于 A.10 cm3 B.30 cm3 C.20 cm3 D.40 cm3 10. 已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

4

3

5 正视图 3 俯视图 (9 题图) 侧视图

x2 y 2 ? ? 1 的右焦 7 9

点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且

| AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
A.4 11. B.8 C.16 D.32

an ?

?

n

0

(2 x ? 1)dx ,数列 ?

?1? ? 的前项和为 Sn ,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? n ? 8 ,则 ? an ?

bn Sn 的最小值为
A. ? 4 B. ? 3 C. 3 D. 4 12 . 设 函 数 y ? f ( x) 在 (0 , + ? ) 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数

? f ( x), f ( x) ? K ln x ? 1 ,取函数 f ( x ) ? ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则 f K ( x) ? ? ex ? K , f ( x) ? K
A.K 的最大值为

1 e

B.K 的最小值为

1 e

C.K 的最大值为 2

D.K 的最小值为 2

第Ⅱ卷(非选择题
1 x
n

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 二项式 ( x ? ) 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,则其常数项是
? x≥1 ? 1 ? b ? (1 , ? 1) , 14.设 x,y 满足约束条件 ? y≥ x ,向量 a ? ( y ? 2 x,m), 2 ? ? ?2 x ? y≤10



且 a∥b,则 m 的最小值为

; D1 ; A1 ·O D A B C B1 C1

15.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 16. 已知 f(n)=1+ f(4)>2,f(8)>

1 1 1 ? ? ? ? (n∈N*),经计算得 2 3 n

5 7 ,f(16)>3, f(32)> ,??,观察上 2 2 述结果,则可归纳出一般结论为 。

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (1)求角 A 的大小; 18.(本小题满分 12 分) 某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区 投篮 3 次,在 A 区每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得 分高的选手胜出.已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是 (2)求 sin B ? sin C 的最大值.

9 1 和 . 10 3

(Ⅰ)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮? 请说明理由; (Ⅱ)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.

19.(本题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

E F M

1 AD⊥CD,AB//CD,AB=AD= CD ? 2 ,点 M 在线段 2
EC 上且不与 E、C 重合。 (1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值 为

D A B

C

6 时,求三棱锥 M—BDE 的体积. 6

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

2 y2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ( 2, 1) ,离心率为 2 . 2 b

(1)求椭圆 C 的方程: (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 P(4,3),记直线 PA,PB 的 斜率分别为 k1,k2,当 k1·k2 最大时,求直线 l 的方程. 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln( x ? 1) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

2a ?a ? R? x

(Ⅱ)如果当 x ? 1, 且 x ? 2 时,

ln ? x ? 1? a ? 恒成立,求实数 a 的范围. x?2 x

请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (Ⅰ)求证:BD 平分∠ABC (Ⅱ)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建坐标 系,

已 知 曲 线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) , 已 知 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :
? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 , 2 t 2

直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点.

(Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)解不等式 2 x ?1 ? x ? 1 (2)设 x, y, z ? R, x ? y ? z ? 4
2 2 2

,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最小值及相应 x, y , z 的值 。

数学(理)答案
一、选择题:BCDCA CBBCD AB 二、填空题:13. 70 14. -6 15.

? n?2 n 16. f (2 ) ? 6 2

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 12 分) 【答案】解: (1)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? ? 2b ? c ? b ? ? 2c ? b? c 即 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

?????? 3 分
2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2

1 cos A ? ? , A ? 120? 2

?????? 6 分

(2)由(1)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

?

3 1 cos B ? sin B ? sin(60? ? B),? 0? ? B ? 60? ????9 分 2 2
?

故当 B ? 30 时, sin B ? sin C 取得最大值 1 . ?????? 12 分 18.(本题满分 12 分)
9? 9 9 ? 故 E( X ) 2? ? ? , 【答案】 解: (Ⅰ) 设该选手在 A 区投篮的进球数为 X, 则 X ~B ?2 , ?, 1 0 1 0 5 ? ?

9 则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2 ? ? 3.6 .???????????????(3 分) 5 1? 1 ? 故E (Y ) ? 3 ? ? 1 , 设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 Y ~ B ? 3 , ?, 3? 3 ?

则该选手在 B 区投篮得分的期望为 3 ? 1 ? 3 . 所以该选手应该选择 A 区投篮.?????????????????????(6 分) (Ⅱ)设“该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C, “该选手在 A 区投篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D, “该选手在 A 区投篮得 2 分且在 B 区投篮得 0 分” 为事件 E,则事件 C ? D ? E ,且事件 D 与事件 E 互斥. ????(7 分)
P( D) ? 81 ? 4 8 ? 3 ?? ? ?? , 100 ? 9 27 ? 5

?????????????????????(9 分)

P( E ) ?

18 8 4 ? ? , 100 27 75

???????????????????????(11 分)

P(C ) ? P( D ? E ) ?

3 4 49 , ? ? 5 75 75

故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 19.(本小题满分 12 分)

49 . ????????(12 分) 75

解: (1)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

???? ? ???? ? BM ? (?2,0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4,0)

???? ? ???? ???? ? ???? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM / /面ADEF ………………………..4 分
(2)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,

t 2 ?? ? 设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y , z )

则 DB ? n ? 2x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1,

??? ? ?

???? ? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? | n1 ? n2 | ? ?? ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? | n1 | ? | n2 |

?? ? 2t ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t

t 2

1 6 ? ,解得 t ? 2 ………………10 分 6 4?2 2? (4 ? t ) 2
1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 4 ?VM ? BDE ? ? S ?DEM ? h ? …………………………………………………………12 分 3 3
另解:用传统方法证明相应给分。 20. (本小题满分 12 分) 试题解析:(1) 由已知可得

c2 a 2 ? b2 1 ? ? ,所以 a 2 ? 2b2 2 2 a a 2
2 1 ? ?1 a 2 b2




1分

又点 M ( 2,1) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a2 ? 4, b2 ? 2 . 故椭圆 C 的方程为

2分

x2 y2 ? ? 1. 4 2
3 3 3 ? ? ; 4?2 4?2 4

4分 5分

(2)解法一:①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k1 ? k2 ?

②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , 将 x ? my ? 1 代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 . 4 2
?3 m ?2
2

则 y1 ? y2 ? ?2m , y1 y2 ? 2
m ?2

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 , 所以, k1 ? k2 ?

3 ? y1 3 ? y2 (3 ? y1 )(3 ? y2 ) ? ? 4 ? x1 4 ? x2 (3 ? my1 )(3 ? my2 )

?

9 ? 3( y1 ? y2 ) ? y1 y2 9 ? 3m( y1 ? y2 ) ? m 2 y1 y2

?2m ?3 ? 2 2 m ?2 m ?2 = ?2m ?3 9 ? 3m? 2 ? m2 ? 2 m ?2 m ?2 9 ? 3?
? 3m2 ? 2m ? 5 4m 2 ? 6
? 3 4m ? 1 ? 4 8m 2 ? 12

9分

令 t ? 4m ? 1 ,则 k1 ? k2 ? 3 ? 2 2t 4 t ? 2t ? 25 当 t ? 0 时即 m ? ?

3 1 时, k1 ? k2 ? ; 4 4

3 2 当 t ? 0 时, k1 ? k2 ? 3 ? 2 2t ? ? 4 t ? 2t ? 25 4 25 (t ? ) ? 2 t

7 3 3 ? k1 ? k2 ? 或 ? k1 ? k2 ? 1 12 4 4
当且仅当 t ? 5 ,即 m ? 1 时, k1 ? k2 取得最大值. 由①②得,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 11 分 12 分

3?
解法二:①当直线 l 垂直于 x 轴时,则 k1 ? k2 ?

6 6 3+ 2 ? 2 =5; 4 ?1 4 ?1 6

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 则 x 1 ? x2 ?

x2 y 2 2 2 2 2 ? ? 1 ,整理得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . 4 2

4k 2 2k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , 所以, k1 ? k2 ?

9 ? k 2 ? (3k ? k 2 ) x1 x 2 ?k 2 x1 x2 3 ? 2k ? 5k 2 3 ? y1 3 ? y2 ? , ? ? 4 ? 6k 2 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

令 h( k ) ?

2 3 ? 2k ? 5k 2 , 由 h?(k ) ? 0 得 k ? 1 或 k ? ? 2 3 4 ? 6k

所以当且仅当 k ? 1 时 k1 ? k2 最大,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 考点:椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线方程,基本不等式,应用导数研究函数的 最值. 21.(本题满分 12 分)

【答案】(1)定义域为 设 ① 当 函数 ② 当 时, 时,对称轴 , ,所以 在 上是增

-----------------------------2 分 ,所以 在 上是增

函数 ----------------------------------------4 分 ③ 当 令 所以 时,令 解得 的单调递增区间 得 ;令 和 ; 解得 的单调递减区间

------------------------------------6 分

(2) 设 ① 当

可化为 ,由(1)知: 时, 在 上是增函数

(※)



时,

;所以

若 所以,当 ② 当 时,

时,

。所以

时,※式成立--------------------------------------10 分 在 是减函数,所以 ※式不成立

综上,实数 的取值范围是

.----------------------------12 分

解法二 :

可化为

设 令

,

所以 在

由洛必达法则 所以 22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 【答案】 (1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD

? ?ACD ? ?CBD 而 ?ACD ? ?ABD (同弧) ? ?CBD ? ?ABD
所以,BD 平分∠ABC——————————5 分 (2)由(1)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,所以 ?DBA 与 ?DAH 相似。

?

AH AD ? ,因为 AB=4,AD=6,BD=8,所以 AH=3————————10 分 AB BD
?????4 分

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【答案】解: (Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 .

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数), 2 t 2

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

???7 分

解得

a ? 1 .?10 分


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