浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷

浙江省宁波市 2013 届高三第一学期期末考试

数学(理)试题
本试题分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { y | y ? ln( x2 ? 1), x ? R}, 则CR A = A. ? B. (—∞,0] C. (—∞,0) 2.已知 a,b 是实数,则“ | a ? b |? a ? b ”是“ab<0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.函数 f ( x) ? ? D.[0,+∞)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?1 ? 5? x , x ? 0 ? , 则该函数为 x ?5 ? 1, x ? 0 ?
B.单调递增函数,偶函数 D.单调递减函数,偶函数

A.单调递增函数,奇函数 C.单调递减函数,奇函数 4.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是 2
D.[l,2]

?

A. (1,2) B.[1,2) C. (1,2] 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是

? 6 ? C. 3
A.

? 4 ? D. 2
B.

6.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是 A.

3 3 cm 3

B.

4 3 3 cm 3

C.

8 3 3 cm D. 3cm3 3

7.设实数列 {an }和{bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1 ,则以下结 论正确的是 A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

8.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4: 3:2,则曲线 C 的离心率等于 A. 或

2 3

3 2

B.

2 或2 3
1

C.

1 或2 2

D. 或

1 2

3 2

9. △ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O, A ?A ? A A | ? 3| A | C 则B ? 且 B C 2 ,|B O O , AC 的值是 A.3 B. 3 C.

?? ?? ? ? ? ?

?? ?? ? ? ? ?

?? ? ?

?? ?? ? ? ? ?

3 2

D.1

?e x ? 1, x ? 0 10.已知 f ( x) ? ? , 则方程f ( x) ? x ? 0在区间[0,5) 上所有实根和为 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
A.15 B.10 C.6 D.4

第Ⅱ卷(非选择题部分

共 1 00 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分, 11.已知 a,b 是实数,且 b2 ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 (其中 i 是虚数单位) ,则 | a ? bi | 的值 是 .

12. 如果双曲我的两个焦点分别为 F (0,3)和F2 (0,3) , 其中一条渐近线的方程是 y ? 1 则双曲线的实轴长为 .

2 x, 2

13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 首项a1 ? 1, 且对任意 正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 ? ,则 Sn = an 2n ? 1

. .

14.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值是

15. (2 x ? 作答) .

1 x

)6 的展开式中的常数项为

(用数字

16.已知 D 是由不等式组 ?
2 2

?x ? 2 y ? 0 所确定的平面区域,则 ?x ? 3y ? 0
.

圆 x ? y ? 4 在区域 D 内的弧长是

17 . 已 知 两 条 直 线 l1 : y ? 2, l2 : y? 4, 设函数 y? x3 1l ,2分 别 交 于 点 A , B , 函 数 与 l

y ? 7x 与l1 , l2 分别交于点 C,D,则直线 AB 与直线 CD 的交点坐标是

.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 . 本 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 已 知 AC=2 , AB=1 , 且 角 A 、 B 、 C 满 足 (

B?C c o s 2 ? 2 s i2n A ? 2

1.

(I)求角 A 的大小和 BC 边的长; (II)若点 P 是线段 AC 上的动点,设点 P 到边 AB、BC 的距离分别是 x,y.试求 xy 的最大值,并指出 P 点位于何处时 xy 取得最大值.

19. (本题满分 14 分)已知正方体 ABCD、EFGH 的棱长为 1,现从 8 个顶点中随机取 3 个 点构成三角形,设随机变量 X 表示取出的三角形的面积。 (I)求概率 P ( X ?

1 ); 2

(II)求 X 的分布形列及数学期望 E ( X ).

20. (本题满分 15 分)已知四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四 边形, ∠BAD=120°,PA=AD=1,AB=2。M、N 分别是 PD、CD 的中点。 (I)求证:MN⊥AD; (II)求三面角 A—MN—C 的平面角的余弦值.

3

2 2 21. (本题满分 15 分)如图,设点 P(m, n)是圆C1 : x ? ( y ? 1) ?

3 上的动点,过点 P 作 4

抛物线 C2 : x2 ? ty(t ? 0) 的两条切线,切点分别是 A、B。已知圆 C1 的圆心 M 在抛物 线 C2 的准线上。 (I)求 t 的值; (Ⅱ)求 PA ? PB 的最小值,以及取得最小值时点 P 的坐标.

??? ??? ? ?

3 22. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? tx ?

t ?1 ,t ? R 。 2

(I)试讨论函数 f ( x ) 在区间[0,1]上的单调性: (II)求最小的实数 h,使得对任意 x∈[0,1]及任意实数 t, f ( x)? | 立.

t ?1 | ? h ? 0 恒成 2

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