【推荐精选】2018届高三数学一轮复习 阶段检测卷一 文

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阶段检测一 集合、常用逻辑用语、函数与导数
(时间:120 分钟 总分:150 分)

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5

6

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12 得分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.集合 A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x2-3x>0},则 A∩B=( )

A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3<x≤6} D.{x|3≤x<6}

2.已知命题 p:“? a>0,有 ea ≥1 成立”,则?p 为( A.? a≤0,有 ea≤1 成立B.? a≤0,有 ea≥1 成立 3.已知 a=0.20.3,b=log0.23,c=log0.24,则( )

) C.? a>0,有 ea<1 成立 D.? a>0,有 ea≤1 成立

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>b>a

4.已知定义在 R 上的偶函数 f(x),且当 x∈[0,+∞)时, f(x)是增函数,则 f(-2), f(π ), f(-3)的大小关系是( )

A.f(π )>f(-3)>f(-2) B.f(π )>f(-2)>f(-3)

C.f(π )<f(-3)<f(-2) D.f(π )<f(-2)<f(-3)

5.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( )

A.4 B .3 C.2 D.1

6.函数 f(x)=2|x|-x2 的图象为( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)

13.已知函数 f(x)=

若 f(4)>1,则实数 a 的取值范围是

.

14.若函数 f(x)=

在其定义域上为奇函数,则实数 k=

.

15.已知曲线 f(x)=ln x 在点(x0, f(x0))处的切线经过点(0,1),则 x0 的值为

.

16.已知函数 f(x)=ex,g(x)=ln + 的图象分别与直线 y=m 交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 6x-2y-1=0, f '(x)为 f(x)

的导函数,g(x)=aex(a,b,c∈R,e 为自然对数的底数).

(1)求 b,c 的值;

(2)若? x0∈(0,2],使 g(x0)=f '(x0)成立,求 a 的取值范围.

7.已知函数 f(x)=

则 f(1+log23)的值为( )

A.6 B.12 C.24 D.36

8.曲线 y=ln x 上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是( )

A.

B.

C.

D.

9.下列函数中, 既是奇函数又在区间(-1,1)上单调递减的函数是( )

A.f(x)=sin x B.f(x)=2cos x+1

C.f(x)=2x-1 D.f(x)=ln

10.若函数 f(x)在 R 上可导,且满足 f(x)-xf '(x)>0,则( )

A.3f(1 )=f(3) B.3f(1)>f(3) C.3f(1)<f(3) D.f(1)=f(3)

11.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上 f(x)=x,若关于 x 的方程 f(x)=logax 有三个

不同的根,则 a 的取值范围为( )

A.(2,4)

B.(2,2 ) C.( ,2 ) D.( , )

12.若函数 f(x)=logm(x-a)+c-1(m>0,且 m≠1)的图象过定点(2,1),且函数 g(x)=2aln x+ -c 在[1,e]上为单调函数, 则实数 b 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.(-∞,2)∪(2e,+∞) C.(-∞,2]∪[2e,+∞) D.[2e,+∞)

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18.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1) 求函数 f(x)的解析式;
(2)求函数 g(x)= -4ln x 的零点个数.

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(2)当 b> 时,求函数 f(x)在[b,+∞)上的最小值.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1,m∈R. (1)当 m= 1 时,求曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求 m 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-ax-aln x(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x= 1 处取得极值,求 a 的值;
(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥- + -4x+ ; (3)当 x∈[e,+∞)时, f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)求 a 的值; 推荐精选 K12 资料

,其中 a 为正实数,x= 是 f(x)的一个极值点.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln x- ax2-bx.
(1)当 a=b= 时,求 f(x)的单调区间; (2)当 a=0,b=-1 时,方 程 f(x)=mx 在区间[1,e2]内有唯一实数 解,求实数 m 的取值范围.

阶段检测一 集合、常用逻辑用语、函数与导数 一、选择题 1.B 由题意知 A={0,1,2,3,4,5,6},B={x|x>3 或 x<0},所以 A∩B={4,5,6}.故选 B. 2.C 含有全称量词的命题的否定,需将全称量词改为存在量词,并将结论否定,故?p 为? a>0,有 ea<1 成立,故选 C. 3.A 由指数函数和对数函数的图象和性质知 a>0,b<0 ,c<0,又对数函数 f(x)=log0.2x 在(0,+∞)上是单调递减的,所 以 log0.23>log0.24,所以 a>b>c. 4.A 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-2)=f(2), f(-3)=f(3),又函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以 f(2)<f(3)<f(π ),即 f(-2)<f(-3)<f(π ),选 A. 5.B 由已知可得,-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(1)=4,两式相加,解得 g(1)=3. 6.D 易知 f(-x)=f(x),则函数 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除选项 A、C;当 x=0 时, f(x)=1,排除选项 B.

7.C ∵2<1+log23<3,4<(1+log23)+2<5,∴f(1+log23)=f((1+log23)+2)=f(3+log23)=

=23×3=24.

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8.D 因为直线 2x-y+3=0 的斜率为 2,所以令 y'= =2,解得 x= ,把 x= 代入曲线方程得 y=-ln 2,即曲线在点

处的切线斜率为 2,

到直线 2x-y+3=0 的距离 d=

=

,故曲线 y=ln x 上的点到直

解析 f '(x)= ,所以切线的斜率为 k=f '(x0)= ,所以切线方程为 y-ln x0= (x-x0)= -1,因为切线过点(0,1), 所以 ln x0=2,解得 x0=e2. 16. 答案 2+ln 2

线 2x-y+3=0 的最短距离是

.

9.D 函数 f(x)=sin x 是奇函数,但在区间(-1,1)上单调递增,排除 A; f(x)=2cos x+1 是偶函数,排除 B; f(x)=2x-1

是非奇非偶函数,排除 C; f(x)=ln 的定义域为(-1,1),关于原点对称,又 f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以

函数 f(x)=ln 为奇函数,又 f(x)=ln =ln

,所以利用复合函数的单调性可判断函数

f(x)=ln 在区间(-1,1)上单调递减,选 D.

10.B 由 f(x)-xf '(x)>0,可得

'=

<0 恒成立,所以 y= 在(0,+∞)上是减函数,所以 < ,

即 3f(1)>f(3).故选 B. 1 1.D 由 f(x-4)=f(x),得 f(x)的周期为 4,又 f(x)为偶函数,所以 f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数 f(x)的图象关于

解析 显然 m>0,由 ex=m 得 x=ln m,由 ln + =m 得 x=2 ,则|AB|=|2 -ln m|.令 h(m)=2 -ln m,则

h'(m)=2 - ,令 h'(m)=2 - =0,求得 m= .当 0<m< 时,h'(m)<0,函数 h(m)在 上单调递减;当 m>

时,h'(m)>0,函数 h(m)在 三、解答题

上单调递增.所以 h(m)min=h

17. 解析 (1)易知 f '(x)=3x2+2bx+c,

则由题意得 f '(1)=3+2b+c=3.①

又 f(1)=1+b+c,点( 1, f(1))在直线 6x-2y-1=0 上,

∴6-2(1+b+c)-1=0.②

=2+ln 2,因此|AB|的最小值为 2+ln 2.

由①②解得 b=- ,c=3. (2)∵g(x0)=f '(x0),

直线 x=2 对称,作出函数 y=f(x)与 y=logax 的图象如图所示,要使方程 f(x)=logax 有三个不同的根,则 得 <a< ,选 D.



∴a =3 -3x0+3,

∴a=

.

令 h(x)=

,x∈(0,2],

12.C 由函数 f(x)的图象过定点(2,1),可知



则 g(x)=2ln x+ -2,求导得 g'(x)= - = (2x-b),

则 h'(x)=

,x∈(0,2],

易知函数 y=2x,x∈[1,e]为增函数,其值域为[2,2e],所以当 b≤2 或 b≥2e 时, f '(x)≥0 或 f '(x)≤0 恒成立,即

令 h'(x)=0,得 x=1 或 x=2.

此时函数 g(x)在[1,e]上为单调函数.故选 C.

当 x 变化时,h(x)与 h'(x)在(0,2]上的变化情况如下表:

二、填空题

x

(0,1)

1

(1,2)

2

13. 答案

h'(x) h(x)

-

0

+

0





解析 由题意知 f(4)=f(lo 4)=f(-2)=(3a-1)×(-2)+4a>1,解得 a< .故实数 a 的取值范围是

.

14. 答案 ±1

∴h(x)在 x∈(0,2]上有极小值 h(1)= ,

解析 设函数 f(x)的定义域为 A,当 0∈A 时, f(0)= 验,k=±1 时均满足题意. 15. 答案 e2

=0,解得 k=1;当 0?A 时,可得 1 +k=0,解得 k=-1.经检

又 h(2)= ,h(0)=3> , ∴h(x)在 x∈(0,2]上的值域为 ,

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∴a 的取值范围为 .

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18. 解析 (1)因为 f(x)是二次函数,且 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, 所以可设 f(x) =a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. 因为 a>0, f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且 f(1)=-4a, 所以 f(x)min=-4a=-4,解得 a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3.

(2)由(1)得 g(x)=

-4ln x=x- -4ln x-2,

所以 g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=1+ - =

当 x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

g'(x)

+

g(x)



0 极大值

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0,

.
(1,3) ↘

又 g(e5)=e5- -20-2>25-1-22=9>0, 所以函数 g(x)只有 1 个零点,且零点 x0∈(3,e5).
19. 解析 (1)当 m=1 时, f(x)= x3+x2-3x+1, 则 f '(x)=x2+2x-3,所以 f '(2)=5.

又 f(2)= ,所以所求切线方程为 y- =5(x-2), 即 15x-3y-25=0. (2)f '(x)=x2+2mx-3m2, 令 f '(x)=0,得 x=-3m 或 x=m. 当 m=0 时, f '(x)=x2≥0 恒成立,不符合题意; 当 m>0 时, f(x)的单调递减区间是(-3m,m), 若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,



解得 m≥3;

当 m<0 时, f(x)的单调递减区间是(m,-3m),

若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则

解得 m≤-2.

综上所述,实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).

20. 解析 (1)f '(x)=2x-a- , 由题意可得 f '(1)=0,解得 a=1. 经检验,a=1 时 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 a=1. (2)证明:由(1)知, f(x)= x2-x-ln x,

3 0 极小值

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(3,+∞) + ↗

令 g(x)=f(x)-

= - +3x-ln x- ,

则 g'(x)=x2-3x+3- =

-3(x-1)=

(x>0),

令 g'(x)=0,得 x=1,可知 g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

所以 g(x)≥g(1)=0,所以 f(x)≥- + -4x+ 成立. (3)由 x∈[e,+∞)知,x+ln x>0,

所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤

在 x∈[e,+∞)上恒成立.

令 h(x)=

,x∈[e,+∞),

则 h'(x)=

,易知 h'(x)>0,

所以 h(x)在[e,+∞)上是增函数,有 h(x)≥h(e)= ,

所以 a≤ .

故 a 的取值范围为

.

21. 解析 (1)f '(x)=

.

因为 x= 是函数 y=f(x)的一个极值点,所以 f ' =0, 因此 a-a+1=0,解得 a= . 经检验,当 a= 时,x= 是 y=f(x)的一个极值点, 故所求 a 的值为 .

(2)由(1)可知, f '(x)=

,

令 f '(x)=0,得 x1= ,x2= .

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f(x)与 f '(x)随 x 的变化情况如下表:

x

f '(x)

+

0

-

0

+

f(x)







所以, f(x)的单调递增区间是

,

,单调递减区间是 .

当 <b< 时, f(x)在 上单调递减,在

上 单调递增.

所以 f(x)在[b,+∞)上的最小值 为 f = ;

当 b≥ 时, f(x)在[b,+∞)上单调递增,

所以 f(x)在[b,+∞)上的最小值为 f(b)=

.

22. 解析 (1)依题意,知 f(x)的定义域是(0,+∞).

当 a=b= 时, f(x)=ln x- x2- x,

则 f '(x)= - x- =

,

令 f '(x)=0,得 x=1.

当 0<x<1 时, f '(x)>0,此时 f(x)单调递增;

当 x>1 时, f '(x)<0,此时 f(x)单调递减,

所以 f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).

(2)当 a=0,b=-1 时, f(x)=ln x+x.

因为方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]内有唯一实数解,

所以 ln x+x=mx 在[1,e2]内有唯一实数解.

m=1+ ,令 g(x)=1+ (x∈[1,e2]),则 g'(x)=

,

令 g'(x)>0,得 1<x<e,令 g'(x)<0,得 e<x<e2, 所以 g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.

g(1)=1,g(e2)=1+ =1+ ,g(e)=1+ ,

所以 m=1+ 或 1≤m<1+ .

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