安徽省马鞍山市2013届高中毕业班第一次教学质量检测文科数学试题(WORD版)

安徽省马鞍山市 2013 届高中毕业班第一次教学质量检测

文科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、 准考证号. 2. 答第Ⅰ卷时, 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 用 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答,............. 在试题卷、 超出答题区域书写的答案无效,.... 草稿纸上答题无效. ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1) i 是虚数单位,复数 A.2
?2i 的虚部为 1? i

B. ?2

C.1

D. ?1

(2)设 R 为实数集,集合 S ? ? x | lg x ? 0? , T ? x x 2 ? 4 ,则 S ? ?RT) = ( A. ? x 1 ? x ? 2? C. ? x 1 ? x ? 2? B. D.

?

?

? x 1 ? x ? 2? ? x 1 ? x ? 2?


(3) “ ? ? 2 ”是“函数 y ? sin(?x ? ? ) 的最小正周期为 ? ”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件

D.既不充分也不必要条件

(4)已知正方形 ABCD 的三个顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,C(3,3) ,点 P(x,y)在正方形 ABCD 的内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是 A. (?2, 2) B. (?1,1)
?

C. (?2,1)
?

D. (0, 2)
?

(5)平面上有两点 A?0,1? , B ?? 1,3? .向量 a 满足 | a |? 1 ,且 a 与 AB 方向相同,则 a ? A. (?1, 2) B. (?
5 2 5 , ) 5 5

??? ?

?

第 1 页 共 9 页

C. (

5 2 5 ,? ) 5 5

D. (

5 2 5 5 2 5 ,? ) 或 (? , ) 5 5 5 5

(6)下列命题正确的是 A.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 (7)执行如图所示的程序框图,若输出的值为 15,则输入的 n 值可能为
开始 输入 n i=1,S=1 第 7 题图 i<n 否 是
S ? S ?i

i=i+2

n ? n ?1
输出 S 结束

A.2

B.4

C.6

D.8
y

(8)已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ? ( x) 的图象如图所示, 则关于函数 y ? f ( x) ,下列说法正确的是 A.在 x ? ?1 处取得极大值 B.在区间 [?1, 4] 上是增函数 C.在 x ? 1 处取得极大值 D.在区间 [1, ??) 上是减函数 (9)过双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直 a 2 b2

-1 O

1

4

x

第 8 题图

线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 M,N (均在第一象限内) , 若 | FM |? 4 | MN | ,则双曲线的离心率为 A.
4 5

B.

3 5

C.

5 4
Sn

D.

5 3

(10)某产品前 n 年的总产量 S n 与 n 之间的关系如图所示,已知前
m 年的平均产量最高,则 m 等于

A.6 C.8

B.7 D.9
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
(11)若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则实数 a 的值为

第 10 题图

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. .

(12)已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3,7, a , b ,12,20,且总体的中位数为 12,若要使该总体的标准差最小,则 a ? ,b ? .

第 2 页 共 9 页

? (13)函数 y ? Asin( x ? ? )? B (A ? 0, ? 0,? ? (0, 图象的一部分如图所示,则其解析式 ? ? | | )) 2
为 . 1
y 3 2 -π 1 O –1 π x

1

?

1

1 1

正(主)视图

侧(左)视图

3

第 13 题图

俯视图

第 14 题 图

(14)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
2



(15) f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x ) ? log 1 ( x ? 1) ,设 a,b ?R ,给出三个条 件 : ① a ? b ? 0, ② 0 ? a ? b , ③ a ? 0 ? b . 其 中 可 以 推 出 f (a) ? f ? b ? 的 条 件 共 有 个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n. ,且 a2 ? 3, S10 ? 100 . (Ⅰ)求 ?an ? 通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an

? 2n ,求数列 ?bn ?前 n 项的和 Tn .

(17)(本小题满分 12 分) 设 f ? x ? ? sin x(sin x ? cos x) . (Ⅰ)求 f ( x) 最大值及相应 x 值;
s (Ⅱ) 锐角 △ABC 中, 满足 f ? A? ? 1 . n2 求i

?

B ? C?

取值范围. (18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,
?ABC ? 60? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD , E、F 分别为

P

F

AD、PA 中点.
(Ⅰ)求证: PD ∥平面 CEF ; (Ⅱ)求证:平面 CEF ? 平面 PAD .
B
第 18 题图 第 3 页 共 9 页

A

E

D

C

(19)(本小题满分 13 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏,但可见部分如下,据此解答下列问题: (Ⅰ)求全班人数及分数在 ?80, ? 之间的频数; 90 (Ⅱ)不看茎叶图中的具体分数,仅根据频 .. 率分布直方图估计该班的平均分数; (Ⅲ) 若要从分数在 ?80, ? 之间的试卷中 100 任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中,
100 求至少有一份分数在 ?90, ? 之间的概率.
茎 5 6 7 8 9 叶
0.040 频率 组距 0.028 0.016 0.008

68 2335689 1223456789 58

O

50 60

70 80 90 100

分数

第 19 题图

(20)(本小题满分 13 分)
f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1, ? a ? R ? .

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 f ? x ? 的图像不存在与 l : y ? ? x 平行或重合的切线,求实数 a 的取值范围.

(21)(本小题满分 13 分) 已知椭圆
3 x y ,且 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? 2 2 a b
2 2

y P F1 O
第 21 题图

短半轴 b ? 1, F1 , F2 为其左右焦点, P 是椭圆上动点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当 ?F1 PF2 ? 60? 时,求 △PF1 F2 面积; (Ⅲ)求 PF1 ? PF2 取值范围.
???? ???? ?

F2

x

第 4 页 共 9 页

高三文科数学参考答案及评分标准
一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 D C A A B C C B D A 答案 (1)【命题意图】本题考查复数的概念、代数形式的运算,考查基本的运算求解能力,简单 题. (2)【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算等基础知识,考查基本的运算求解能力, 简单题. (3)【命题意图】本题考查简易逻辑与三角函数的性质,简单题. (4)【命题意图】本题考查线性规划、用二元一次不等式组表示平面区域及数形结合思想, 简单题. (5)【命题意图】本题考查平面向量的关系及线性运算,简单题. (6)【命题意图】本题考查立体几何中的线面、面面的位置关系,简单题. (7)【命题意图】本题考查程序框图、当型循环结构,简单题. (8)【命题意图】本题考查导函数的应用,简单题.
M (9) 【命题意图】 本题考查双曲线的性质, 离心率. 提示: (c, b e2 ? 1) , (c, be) , 由|FM|=4|MN| N

解得 e ?

5 . 中等题.. 3

(10)【命题意图】本题考查数列,函数图象,斜率的几何意义.考查综合应用知识解决问题 的能力,中等题.提示:前 n 年平均产量=
Sn Sn ? 0 ,即为点 (0, 0) 与点 (Sn , n) 连线的 ? n n?0
y 3 2 -π 1 O –1 π x

斜率,由图可知,第 6 年时斜率最大. 二、填空题: (11) 若 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? 1 相 切 , 则 实 数 a 的 值 为 . 【答案】 ? 3 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,简单题. (12)已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3,7, a , b ,12, 20,且总体的中位数为 12,若要使该总体的标准差最小,则 ,b ? . a? 【答案】 a ? b ? 12 ,提示: a ? b ? 24 ,总体均值为 11, 只要 (a ? 11)2 ? (b ? 11)2 ? a 2 ? b2 ? 2(a ? b) ? 121 ? a 2 ? b2 ? 73 最小即可, 而
a 2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 288 ,当且仅当 a ? b ? 12 时取等号. 2

第 13 题图

1 1 1 1 1
3

【命题意图】本题考查统计知识,重要不等式,简单题. ? (13)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0,? ? 0,| ? |? (0, ))图象的一部分如图 2 所示,则其解析式为 . 2x ? 【答案】 y ? 2sin( ? ) ? 1
3 6

正(主)视图

侧(左)视图

【命题意图】本题考查三角函数图象与性质,简单题 (14) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 . 【答案】
5 3 3

俯视图

第 14 题图

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,表面积的计算,考查空间想象能力,运算求解
第 5 页 共 9 页

能力,中等题. (15) f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x ) ? log 1 ( x ? 1) ,设 a,b ? R ,给出三个条
2

件 : ① a ? b ? 0, ② 0 ? a ? b , ③ a ? 0 ? b . 其 中 可 以 推 出 f (a) ? f ? b ? 的 条 件 共 有 个. 【答案】3 【命题意图】本题考查函数性质,图象变换,数形结合,中等题. 三、解答题 (16)(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n. ,且 a2 ? 3, S10 ? 100 . (Ⅰ)求 ?an ? 通项公式. (Ⅱ)设 bn ? 2a ? 2n .求数列 {bn } 前 n 项的和 Tn . 【命题意图】等差、等比数列的定义、公式、分步求和的方法及运算. 10 ? 9 (16)解(Ⅰ)由 a2 ? a1 ? d ? 3 , S10 ? 10a1 ? d ? 100 2 得 a1 ? 1, d ? 2 故 an ? 2n ? 1 ??????????????????????????6 分
n

(Ⅱ) bn ? 22n ?1 ? 2n
2 ?1 ? 4n ? 1? 4

Tn ? ? 2 ? 2 ?1? ? ? 23 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 22 n ?1 ? 2n ? ? ? 2 ? 23 ? ? ? 22 n ?1 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? ? n ?

?

?2

?1 ? n ? n
2

1 2 ? ? 22 n ?1 ? n 2 ? n ? ?????????????12 分 3 3

(17)(本小题满分 12 分) 设 f ? x ? ? sin x(sin x ? cos x) (Ⅰ)求 f ( x) 最大值及相应 x 值. (Ⅱ)锐角 △ABC 中,满足 f ? A? ? 1 .求 sin ? 2B ? C ? 取值范围. 【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数性质,解三角形等.考查逻辑推理和运算求 解能力,简单题. 1 1 (17)解: (Ⅰ) f ? x ? ? sin x(sin x ? cos x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x 2 2 2 ? 1 ……………………………………………………… ? sin(2 x ? ) ?
2 4 2

3分 ∴当 2 x ? 分 (Ⅱ)由 f ? A? ? 1 ?
2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2 ? ? ? 3? ? ? ,得 A ? 或A ? , ? 2A ? ? 或 2A ? ? 4 4 4 4 4 2 ∵ 为 锐 角 A

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 x ? k? ?

1? 2 3? …………6 (k ? Z ) 时,[ f ( x)]最大 ? 2 8





A?

?
4

………………………………………………………………8 分
sin ? 2B ? C ? ? sin( B ? B ? C) ? sin( B ? ? ? A) ? sin( B ? 3? ) 4

∵ B?C ?

3? 4

,∴ C ?

3? ? ? ? ? 3? 5? ? B ? ? B ? ,从而 ? B ? ? ? ? B ? ? 4 2 4 4 2 4 4
第 6 页 共 9 页

sin( B ? sin(2 B ? C ) ? (?

3? 2 ) ? (? , 0) 4 2

,



2 , 0) ………………………………………12 分 2

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,?ABC ? 60? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD , E、F 分别为 AD、PA 中点, (Ⅰ)求证: PD ∥平面 CEF (Ⅱ)求证:平面 CEF ? 平面 PAD 【命题意图】空间线面、面面位置关系, P (18)证明: (Ⅰ)∵ E,F 分别为 AD,PA 的中点 ∴ EF // PD ……………………………………………2 分 ∵ EF ? 平面CEF , PD ? 平面CEF F ∴ PD // 平面CEF . ……………………………………6 分 (Ⅱ)易知: △ACD 为正三角形,故 CE ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD , E 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , A 且 CE ? 平面 ABCD ,?CE ? 平面PAD ……………10 分 又? CE ? 平面CEF ,? 平面CEF ? 平面PAD ………12 分
B C
第 18 题图

D

(19)(本小题满分 13 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏,但可见部分如下,据此解答下列问题: 90 (Ⅰ)求全班人数及分数在 ?80, ? 之间的频数; (Ⅱ)不看茎叶图中的具体分数,仅据频率分布 直方图估计该班的平均分数; 100 (Ⅲ)若要从分数在 ?80, ? 之间的试卷中任取两 份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求 100 至少有一份分数在 ?90, ? 之间的概率. 【命题意图】概率求法、统计.茎叶图、频率分布直方 图的认识与应用.
2 ? 25, 25 ? 21 ? 4 ,即全班人 0.008 ?10 90 数为 25 人,分数在 ?80, ? 之间频数为 4………4 分
频率

茎 5 6 7 8 9


0.040

组距 0.028 0.016 0.008

68 2335689 1223456789 58

O

50 60

70 80 90 100

分数

(19)解: (Ⅰ)

第 19 题图

数 估 计 值 x ? 55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 ………………8 分 100 (Ⅲ)记这 6 份试卷代号分别为 1,2,3,4,5,6.其中 5,6 是 ?90, ? 之间的两份, 则所有可能的抽取情况有: 1,2 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 3,6 4,5 4,6 5,6 其
P? 9 3 ? . 15 5













1,3 2,6

1,4

1,5

1,6







…………………………………10 分 5 或 6 的 有 9







………… ……………………………………13 分

(20)(本小题满分 13 分)
第 7 页 共 9 页

f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1, ? a ? R ?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间. (Ⅱ)若 f ? x ? 的图像不存在与 l : y ? ? x 平行或重合的切线,求实数 a 的取值范围. 【命题意图】本题考查导数的应用,函数单调性与导数之间的关系,综合考查运用知识分析 和解决问题的能力,中等题. (20)解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? x ? a)(3x ? a) …………………………2 分 ( 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得: x ? (??, ? ) ? (a, ??) 由 f ? ? x ? ? 0 ,得: x ? (? , a) ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ? ) 和 (a, ??) ,单调减区间为 (? , a) …………4 分 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x2 ? 0 ,∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) ………………6 分 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得: x ? (??, a) ? (? , ??)
a 由 f ? ? x ? ? 0 ,得: x ? (a, ) ? 3
a 3 a 3 a 3 a 3 a 3

∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, a) 和 (? , ??) ,单调减区间为 (a, ) …………8 ? 分 (Ⅱ)由题知, f ? ? x ? ? ?1 ∴ 方 程 3x2 ? 2ax ? a2 ? ?1 根.………………………………………………11 分 ∴
△ ? 4a 2 ? 12(1 ? a 2 ) ? 0 ? a ? (?

a 3

a 3







3 3 , ) …………………………………………13 分 2 2

(21)(本小题满分 13 分) 已知椭圆
3 x2 y 2 , 且短半轴 b ? 1, F1 , F2 为其左右焦点, 是 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? P 2 2 a b

椭圆上动点. (Ⅰ)求椭圆方程. (Ⅱ)当 ?F1 PF2 ? 60? 时,求 △PF1 F2 面积.
???? ???? ? (Ⅲ)求 PF1 ? PF2 取值范围.

y P F1 O
第 21 题图

【命题意图】本题考查椭圆方程、椭圆性质,解三角形,向 量的数量积.考查综合运用知识解决问题的能力,较难题.
?c 3 ? ? ?a ? 2 a 2 ? ? ? (21)解: (Ⅰ) ?b ? 1 ? ?b ? 1 ? 2 ? 2 2 ?c ? 3 ?a ? b ? c ? ?

F2

x

∴椭圆方程为 4分

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………………… 4

(Ⅱ)设 | PF1 |? m,| PF2 |? n ,
第 8 页 共 9 页

∵ | F1 F2 |? 2 3 ,在 △PF1 F2 中,由余弦定理得:
| F1 F2 |2 ? 12 ? m2 ? n2 ? 2mn cos 60? ? m2 ? n2 ? mn ? (m ? n)2 ? 3mn ? 16 ? 3mn

∴ mn ? 分

4 3

…………………………………………………………………………7

∴ S△PF F ? mn sin 60? ? ? ?
1 2

1 2

1 4 2 3

3 3 ? 2 3

………………………………………9

分 (Ⅲ)设 P( x0 , y0 ) ,则
x0 2 x2 ? y0 2 ? 1 ,即 y0 2 ? 1 ? 0 4 4 ???? ???? ? ∵ F1 ? 3, ),F2 3, ) ,∴ PF1 ? (? 3 ? x0 , ? y0 ), PF2 ? ( 3 ? x0 , ? y0 ) ( 0 ( 0 ???? ???? ? x 2 3x 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x02 ? 3 ? y02 ? x02 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 2 ……………………………11 4 4

分 ∵ ?2 ? x0 ? 2 ,∴ 0 ? x02 ? 4 ? 0 ?
???? ???? ?

3x02 3x 2 ? 3 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 1 4 4

故 PF1 ? PF2 ? [?2,1] …………………………………………………………………13 分

第 9 页 共 9 页


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