2019年高中数学第三章函数的应用章末检测新人教A版必修1

第三章 函数的应用

章末检测

时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.函数 f(x)=3x-5 的零点所在区间为( )

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

解析:依次将区间端点代入函数,可知 f(1)<0,f(2)>0,根据函数零点存在性定理可知该

函数的零点所在区间为(1,2).

答案:C

2.某大型水库的蓄水量每年比上一年平均增长 10.4%,那么经过 x 年可增长到原来的 y 倍,

则函数 y=f(x)的图象大致为( )

解析:设水库的原有蓄水量为 1,由题意,f(x)=(1+10.4%)x;即 f(x)=1.104x,故选 D.

答案:D 3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x -3 -2 -1 0

1

2 34

y6

m -4 -6 -6 -4 n 6

不求 a、b、c 的值,可以判断方程 ax2+bx+c=0 的两根所在的区间是( )

A.(-3,-1)和(2,4)

B.(-3,-1)和(1,1)

C.(-1,1)和(1,2)

D.(-∞,-3)和(4,+∞)

解析:由表中数据可知,二次函数 f(x)的图象关于直线 x=12对称.

∴一根在(-∞,12)内,另一根在(12,+∞)内.而 f(-3)·f(-1)=

6×(-4)<0,

f(2)·f(4)=-4×6<0.

∴两根所在区间为(-3,-1)和(2,4).

答案:A

4.函数 f(x)=3ax-2a+1 在[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是( )

A.a≥15

B.a≤-1

1

C.-1≤a≤15

D.a≥15或 a≤-1

解析:特殊值验证法:取 a=1,-1 两个值验证,可得 D.

答案:D

5.如果已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.与 a 的值有关

解析:设 y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象如图所示.

由图可知:有两个交点.

答案:A

4 6.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的物质约是原来的5,那么经过

3 年,这种物质的剩留物质约是原来的( )

A.16245

B.1265

C.265265

D.11265

解析:由(45)3=16245.

答案:A

7.已知函数 f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个不同的交点,则函数 f(x-1)的所有零点

之和为( )

A.0

B.8

C.4

D 无法确定

解析:函数 f(x)是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,所以四个零点之和为 0,而 f(x-1)是

f(x)图象向右平移了一个单位,所以零点之和为 4.

答案:C

8.某企业 2014 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 P 倍,则该企业 2014 年度产值的月平

均增长率为( )

P A.P-1

11 B.

P-1

2

C.11 P

P-1 D. 11

解析:设 1 月份产值为 a,增长率为 x,则 aP=a(1+x)11,

∴x=11 P-1,故选 B.

答案:B

9.已知在 x 克 a%的盐水中,加入 y 克 b%(a≠b)的盐水,浓度变为 c%,将 y 表示成 x 的函

数关系式为( )

A.y=cc--abx

B.y=cb- -acx

C.y=cc--bax

D.y=bc- -cax

解析:根据配制前后溶液不变,则有 a%x+b%y=c%(x+y),

∴ax+by=cx+cy,故 y=cb- -acx.

答案:B 10.用二分法判断方程 2x3+3x-3=0 在区间(0,1)内的根(精确度 0.25)可以是(参考数据: 0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)( )

A.0.25

B.0.375

C.0.635

D.0.825

解析:令 f(x)=2x3+3x-3,f(0)<0,f(1)>0,

f(0.5)<0,f(0.75)>0,f(0.625)<0, ∴方程 2x3+3x-3=0 的根在区间(0.625,0.75)内,

∵0.75-0.625=0.125<0.25,

∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似根.故选 C.

答案:C

11.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、

0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则下列函数中与沙漠增加数 y 万公顷关于年数 x 的函数关系较

为相似的是( )

A.y=0.2x

B.y=110(x2+2x)

C.y=120x

D.y=0.2+log16x

解析:将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)与 x=1,2,3 时,选项 A、B、C、D 中得到的 y 值做比 较,y=120x 的 y 值比较接近.

3

答案:C

12.若方程 xlg(x+2)=1 的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则 k=( )

A.-2

B.1

C.-2 或 1

D.0

解析:由题意知,x≠0,则原方程即为 lg(x+2)=1x.在同一直角坐标系

中作出函数 y=lg(x+2)与 y=1x的图象,如图所示.由图象可知,原方

程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以 k

=-2 或 1.

答案:C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1) 有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点.由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点.不符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直

线 y=x+a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取

值范围是{a|a>1}.

答案:(1,+∞)

14.若函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,其零点为 x1,x2,…,x2 009,则 x1+x2+…+x2 009=________. 解析:定义在 R 上的奇函数 f(x)必有 f(0)=0,则 x1,x2…x2 009 中必有一个是零,其余的 2 008 个零点分别在 x 轴上,关于坐标原点两两对称.

答案:0

15.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价

格有关,且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前

6 个月的市场收购价格,则 7 月份该产品的市场收购价格应为________.

月份

123456

价格(元/担) 68 78 67 71 72 70

解析:由于农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价格有关,且 a 与其前三个月

4

的市场收购价格之差的平方和最小,则 7 月份的收购价格为函数 y=(a-71)2+(a-72)2+

(a-70)2 取得最小值时的 a,则 a=71+732+70=71.从而 7 月份的收购价格为 71 元/担.

答案:71 元/担

16. 对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=?????ab22- -aabb, ,aa≤>bb ,设 f(x)=(2x-1)*(x-1),

且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根,则 m 的取值范围是________.

解析:由定义运算“*”可知 f(x)

=???
??

x- x-

2- 2-

x- x-

x- ,2x-1≤x-1 x- ,2x-1>x-1

?? x-41 2-18,x≤0

???- x-12 2+14,x>0

,画出该函数图象可知,

当直线 y=m 在 x 轴之上与直线 y=14之间时,方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实数根, 所以 0<m<14. 答案:0<m<14 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分为 12 分)若函数 f(x)=mx2-x-2 只有一个零点,试求 m 的取值范围. 解析:①当 m=0,则 f(x)=-x-2,f(x)仅有一个零点-2. ②当 m≠0,则 f(x)=mx2-x-2 是二次函数,若是只有一个零点,即方程 mx2-x-2=0 仅 有一个实数根,故 Δ =1+8m=0 解得 m=-18.
5

综上,当 m=0 或 m=-18时函数只有一个零点.

18.(本小题满分为 12 分)试找出一个长度为 1 的区间,在这个区间上函数 y=3xx-+12至少有

一个零点. 解析:函数 f(x)=3xx-+12的定义域为(-∞,-23)∪(-23,+∞).取区间[12,32],

1

3

∵f(12)=223- +12=-17<0,f(32)=229- +12=113>0,

13 ∴在区间[2,2]内函数

f(x)至少有一个零点.

∴[12,32]就是符合条件的一个区间.

19.(本小题满分为 12 分)渔场中鱼群的最大养殖量为 m(m>0),为了保证鱼群的生长空间, 实际养殖量 x 小于 m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲 率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为 k(k>0). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域;

(2)求鱼群年增长量的最大值.

m-x 解析:(1)根据题意知空闲率是 m ,故

y

关于

x

的函数关系式是

y=kx·m-m x,0<x<m.

(2)∵y=kx·m-m x=-kmx2+kx=-km(x-m2)2+m4k,

∴当 x=m2时,ymax=m4k.

20.(本小题满分为 12 分)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计 的,研究表明:假设课桌的高度为 y cm,椅子的高度为 x cm,则 y 应是 x 的一次函数,下

表列出两套符合条件的课桌椅的高度:

第一套

第二套

椅子高度 x(cm)

40.0

37.0

桌子高度 y(cm)

75.0

70.2

(1)请你确定 y 与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围);

(2)现有一把高 42.0 cm 的椅子和一张高 78.2 cm 的课桌,它们是否配套?为什么? 解析:(1)依题意,由于课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设 y=ax+b,将给出的

















































??40a+b=75, ???37a+b=70.2,

解得

6

??a=1.6, ???b=11.

所以 y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11.

(2)将 x=42 代入(1)中的函数解析式得 y=1.6×42+11=78.2,因此给出的这套课桌椅是

配套的. 21.(本小题满分为 13 分)是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区

间[-1,3]上与 x 轴恒有一个交点,且只有一个交点,若存在,求出实数 a 的取值范围;若

不存在,说明理由.

解析:(1)若函数 f(x)在(-1,3)上有一个零点,则只需有 f(-1)·f(3)<0,

即(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)<0,

∴a<-15或 a>1.

(2)若 f(-1)=0,则 a=1, 此时 f(x)=x2+x, 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得

x=0 或 x=-1.

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1.

(3)若 f(3)=0,则 a=-15,

此时 f(x)=x2-153x-65.

令 f(x)=0,即 x2-153x-65=0,

解得 x=-25或 x=3,

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-15.

综上所述,a 的取值范围为(-∞,-15)∪(1,+∞).

22.(本小题满分为 13 分)某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出

售,销售有淡季与旺季之分.通过市场调查发现:

①销售量 r(x)与衬衣标价(x 元/件)在销售旺季近似符合函数关系:r(x)=kx+b1,在销售 淡季近似符合函数关系:r(x)=kx+b2,其中 k<0,b1,b2>0,且 k,b1,b2 为常数; ②在销售旺季,商场以 140 元/件的价格销售能获得最大利润;

③若称①中 r(x)=0 的标价 x 为衬衣的“临界价格”,则销售旺季的“临界价格”是销售淡

季“临界价格”的 1.5 倍.

请根据上述信息,完成下列问题:

7

(1)填出表格中空格的内容.

数量关系 销售季节

标价 (元/件)

销售量 r(x)(件) (含 k、b1 或 b2)

不同季节的销售总利润 y(元) 与标价 x(元/件)的函数关系 式

旺季 淡季

x

r(x)=kx+b1

x

(2)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元才合适?

解析:(1)如下表:

数量关系 销售季节

标价 (元/件)

销售量 r(x)(件) (含 k、b1 或 b2)

不同季节的销售总利润 y(元)与标 价 x(元/件)的函数关系式

旺季

x

r(x)=kx+b1

淡季

x

r(x)=kx+b2

(2)在(1)的表达式中,由 k<0 可知:

y=kx2-(100k-b1)x-100b1 y=kx2-(100k-b2)x-100b2

在销售旺季,当 x=1002kk-b1=50-2bk1 时,利润 y 取得最大值;

在销售淡季,当 x=1002kk-b2=50-2bk2 时,利润 y 取得最大值.

下面分销售旺季和销售淡季进行讨论:

由②知,在销售旺季,商场以 140 元/件价格出售时,能获得最大利润.

因此在销售旺季,当标价 x=50-2bk1 =140 时,利润 y 取得最大值.

此时 b1=-180k,销售量为 r(x)=kx-180k. 由 kx-180k=0 知,在销售旺季,衬衣的“临界价格”为 180 元/件.

∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的 1.5 倍,

∴销售淡季的“临界价格”为 120 元/件,

∴120k+b2=0, ∴在销售淡季,当标价 x=50-2bk2 =110 元/件时,利润 y 取得最大值.

故在销售淡季,商场要获得最大利润,应将衬衣的标价定为 110 元/件合适.
日月崇拜是原始宗教的重要内容之一,中国古代很早就有祭祀礼俗。殷人将称东母与西周依据时间属性行朝夕“”即秋分晚上在门外春战神被为皇公、王沂南汉画像石坐柱收物(昆仑山)两旁跪捣药玉兔由此可知晋郭璞《<海经>图赞》精说法言而后世嫦娥演变来秦期仍家制直至明清历都仪 上古时期祭月列入皇家祀典而例行后,民间缺少了的消息这可能与代社会神权控制有关像日样表阴阳天地大只才之沟通一般百姓无缘享。隋唐以随着文知识丰富化观念进步人们对亮较理性认圣色彩明显褪也逐渐失去独占平来说不再是那“高及”朝虽没中秋节但精浪漫亲近自然赏已成为尚吟咏华章丽句寻常见如许浑《鹤林寺夜玩》云:尽出沧海半露寒当碧轮移金殿外镜光犹挂玉楼前 在宋代,中秋节已成为民俗日。文人沿袭赏月古风但其情趣大异于唐多由亮的清辉联想到河山壮美友朋千里邀明诗酒流如白居易《八十五夜禁独直对忆元九》“三新色二外故心”就借抒发了感物怀思常以之阴晴圆缺喻生变化无苏轼暮云收尽溢寒银汉声转玉盘此不长好年何处看寄托着这种浩叹似乎光也难掩伤过来说还有另一形态即世欢愉北东京贵家结饰台榭间争占楼玩(梦华录)南杭州更是热闹蟾满时王孙公子、富巨室莫登临轩酌高歌;小商户上安排宴团女酬佳梁市井贫解衣勉强迎肯虚度 团圆是中秋节俗的心意义。宋人识已与令发生关联,代城市居民阖家共赏月就体现了这一伦理因素明清时期由于学浸染间社会乡族观念增强们对庭更为依恋正加亲系良机“以饼相连取之”(田汝成《西湖游览志奈》)在经出但特色食品及祭供风大概始朝小活作象征情感信物互馈送 节日是常生活的亮点,俗文化时代精神聚焦。中秋经历了人赏月雅趣民间拜情以及有心吃饼而无看形态从古至今发重大变一部演史也国众迁 (摘编自萧放《团圆饼与月亮节—中秋俗形态的变迁》) 1.下列关于原文内容的表述,不正确一项是() A.对于日月,殷人称东母与西春秋战国时皇公、王汉代从这些呼可以看出中古的崇拜有一脉相承之处。 B.唐宋两代都有文人赏月的风尚。多借表达对自然美景欣赞,体现出诗酒流情趣而常因抒发感伤之 C.南宋时的都城杭州,中秋夜热闹非凡不仅富家巨室、小商户宴饮赏玩“以酬佳节”连财力匮乏市井贫民也勉寻欢足见在当已是常重要日。 D.中秋的节俗文化经历了不断丰富与演变过程,如宋人赋予阖家团圆意义明则将月饼引入作为象征联系亲族感情信物。 2.下列理解和分析,不符合原文意思的一项是() A.弦、望晦朔是月亮在运行过程中被人观察到的不同形态,国大多数节日设定基准如秋就与“”有关。 B.中秋节源于原始宗教的月亮崇拜,但形成较晚。唐代文人已有之夜赏风尚到宋则为重要民俗日 C.沂南汉画像石中的西王母为月神,居于昆仑山后演变嫦娥。晋代郭璞《<海经>图赞》“精”说法即以此话依据 D.唐朝的一般民众将月亮视为欣赏对象,而不再觉得它高可及这跟天文知识丰富、化观念进步和皇家丧失祭独占权大有关系 3.根据原文内容,下列说法不正确的一项是() A.月为天地大神,在宗教祭祀中位重要上古时期统治者独占权之后直至隋唐以前一般民众无国间也没有的风俗。 B.尽管唐宋文人赏月的情趣大异,但白居易《八十五日夜禁中独直对忆元九》和苏轼秋都是借抒怀感伤之作表达了友思念。 C.在宋代,中秋已是团圆佳节到明清时期理学的影响增强了民间社会乡族观念和人们对家庭依恋于更成为共享天伦与联系亲良机。 D.中秋节俗形态丰富,从文人雅士赏玩明月到民间阖家团圆共再以饼相赠加强亲族联系这些习的演变折射了时代精神迁。 (二)文学类本阅读14分 阅读下面的文字,完成4-6题。
百年震柳 梁衡 1920年月6日,宁夏海原县发生了一场全球最大的地震。是晚8时风暴起四野尘霾颤动山移、裂河断城陷黄土高经这抖如骨牌倒块横飞老百姓惊呼:“走!”有整座滑行三公里者坡面积竟毗连达两千平方就瞬间塞成湖形无数小子中心盐为西北重要产之底突然鼓道滚陡坎人在下推滴水不漏将个向称所标都被扭曲翻腾得目非开条37长缝贯甘肃陕闪电过利刃破竹见池村庄劈半禾田畴撕碎片当穿谷正旺盛柳树它照样噼啪路去但没想到些柔枝弱虽摇东歪拔根却气绝身死狂后棵又挺顽强活来至今仍屹立空那名 我不知道这株柳,该称它是一棵还两。同根干样的树纹头上枝叶连理但地震已经将从下撕为二现在个半边中间可穿行人而每也都有合抱之粗了老看脸皮过百年岁月煎熬如肤糙多皱青筋暴突路宽容进指东奔西似去又回黄土高原千沟万壑50就说时4龄大难后至今1 看过树皮,再干的开裂部分真让你心惊肉跳。平常锯一根木头无论从哪个方向切入那剖面上年轮图案都幻化穷美不胜收以至于纹装饰成了我们生活中可或缺风景之也命象征但是现在对找到丝如同五马尸地闪先将老嘎嘣扯断又下往扭、撕剥然后质肝肺横竖揪惨忍睹这棵并没有死震它却拔尽须;躯连理枝灾难慢挺来百人迹罕桃源深处阳光暖抚慰着身子细雨轻冲洗伤口自泌汁液小疗养骨长疤痕早已演许多起伏条块洞沟瘤像凝固岩石为定格段忘岁月 柳树这个种很怪。论性格,它是偏于柔弱一面的枝条韧婀娜多姿生水边所以常被人作了情象征唐有折相送习俗取其如丝依不舍贺知章把比窈窕美:“碧玉妆成高万垂下绿绦细叶谁裁出二月春风似剪刀”但在关键时刻女子却能克刚表现特别顽强西北气候寒冷干旱足够恶劣年扎根此o国黄土地上天发芽最早、秋落迟尽力给大色当左宗棠进军要单选中与同行新栽杨三千里引得度殊本领遇即就长休息苦熬着等待雨绝会轻去死系达自己铺造庞供统远延伸开捕捉哪怕汽木软用来做案板剁而裂;立道旁吹 我想,海原大地震的波绕球三圈移山填河夺去了28万人生命而这一株裂不死古柳却能够存活下来它肯定是要对后说点什么。

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