河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义导学案新人教A版选修1_2

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复数的几何意义
学习目标: 1.能知道复平面、实轴、虚轴等概念. 2.能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系. 3.能知道复数模的概念,会求复数的模. 重点:重点:1.理解并掌握复数的几何意义,并能适当应用.2.复数的模. 难点:复数的几何意义. 方 法:合作探究 课 堂 随 笔:

一 新知导学 1.复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做__________,y 轴 叫做__________,实轴上的点都表示实数,除了__________外,虚轴上的点都 表示纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定,当把实部和虚部 作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数,因此复数 与复平面内的点是__________关系. (2)若复数 z=a+bi(a、 b∈R), 则其对应的点的坐标是_______, 不是(a, bi). (3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系. 如图:在复平面内复数 z=a+bi(a、b∈R)可以用点___

或向量 表示 复数 z=a+bi(a、b∈R)与点 Z(a,b)和向量的一一对应关系如右上图: 牛刀小试 1.已知 a、b∈R,那么在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个点的位 置关系是( ) B.关于 y 轴对称
1

A.关于 x 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 y=x 对称 )

2.复数 z=-1-2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.设复数 z=a+bi 对应的点在虚轴右侧,则(

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.b>0,a∈R D.a>0,b∈R 3.复数的模 复数 z=a+bi(a、b∈R)对应的向量为 O,则 O 的模叫做复数 z

的模,记作|z|且|z|= a2+b2 当 b=0 时,z 的模就是实数 a 的绝对 值. 4.复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数 z=a+bi 所对应的点 Z(a,b)到原点(0,0)的 __________. 由向量的几何意义知, |z1-z2|表示在复平面内复数 z1 与 z2 对应的两点之 间的__________.

牛刀小试 4.(2014·武汉市调研)复数 z=m(3+i)-(2+i)(m ∈R,i 为虚数单位)在复 平面内对应的点不可能位于( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

5.复数 i+i2 的模等于__________. 6.设复数 z 的模为 17,虚部为-8,则复数 z=________. 1 7.比较复数 z1=3+4i 及 z2=- - 2i 的模的模的大小. 2 命题方向(一)复数的几何意义 【例一】在复平面内,若复数 z=(m2+2m-8)+(m2-3m+2)i 对应的点分别 满足下列要求,试求复数 z: 在虚轴上(不包括原点); (2)在实轴负半轴上; (3)在第一、三象限的角平分线上.

2

跟踪训练1:若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i 对应的点在虚轴上,则实数 m 的值是( A.-1 ) B.4 C.-1 和 4 : D.-1 和 6

命题方向(二)复数模的计算 【例二】已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z.

跟踪训练 2:下列各复数的模不是 1 的为( -i B.i 1 3 C. - i 2 2

)

1 1 D. + i 2 2

命题方向(三)综合应用 【例三】 已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围.

跟踪训练 3:若 z+|z|=2,则复数 z=__________.

(四)准确掌握复数模的几何意义 【例四】已知复数 z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数 z 对应点的轨迹是( A.1 个圆 B.线段 C.2 个点 D.2 个圆 )

课时小结:

课后作业 一、选择题 1.复数 z=-2+i,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) 后记与感
3

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限 )

悟:

→ → 2.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为( A.0 B.-3 C.-3i D.3

3.复数 z=1+(2-sinθ )i 在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

)

4.复数 z 与它的模相等的充要条件是( A.z 为纯虚数 B.z 是实数

C.z 是正实数 D.z 是非负实数 )

5.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为( A.1 或 3 B.1 C.3 D.2

6.已知平行四边形 OABC,O、A、C 三点对应的复数分别为 0、1+2i、3-2i, → → 则向量AB的模|AB|等于( A. 5 B.2 5 ) C.4 D. 13

二、填空题 7.已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数 x 的取值范围是________. 8.已知复数 z1=-2+3i 对应点为 Z1,Z2 与 Z1 关于 x 轴对称,Z3 与 Z2 关 于直线 y=-x 对称,则 Z3 点对应的复数为 z=________. 9. 若复数 z=(m2-9)+(m2+2m-3)i 是纯虚数, 其中 m∈R, 则|z|=________. 三、解答题 10.如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限, 求实数 m 的取值范围.

答 案: 牛刀小试 1、B; 2、C; 3、D; 4、B 5、 2;
4

6、±15-8i; 7、|z1|>|z2| 例一 解析: (1)若复数 z 对应的点在虚轴上(不包括原点),则 m2+2m-8=0 且 m2-3m +2≠0, ∴m=-4,此时 z=30i. (2)若复数 z 对应的点在实轴负半轴上,则
?m2+2m-8<0, ? ? ? ?m2-3m+2=0,

解得 m=1,此时 z=-5. (3)若复数 z 对应的点在第一、三象限的角平分线上,即在直线 y=x 上,即 m2-3m+2=m2+2m-8, ∴m=2,此时 z=0. 跟踪训练 1、C 例二 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),代入等式后,可利用复数相等的充要条 件求出 a,b. 解法一:设 z=a+bi(a、b∈R),则|z|= a2+b2, 代入方程得 a+bi+ a2+b2=2+8i,

?a+ a2+b2=2 ∴? ?b=8
?a=-15 ? 解得? ? ?b=8



.∴z=-15+8i.

解法二:原式可化为 z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R,∴2-|z|是 z 的实部, 于是|z|= (2-|z|)2+82, 即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17. 代入 z=2-|z|+8i 得 z=-15+8i. 跟踪训练 2、D 例三 解析: 解法一:∵z=3+ai(a∈R),

5

∴|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<42, ∴a2<7,∴a∈(- 7, 7). 解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4 知,z 在复平面内对应的点在以原 点为圆心,以 4 为半径的圆内(不包括边界), 由 z=3+ai 知 z 对应的点在直线 x=3 上,所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合,由 32+y2=42 得 y=± 7,∴A(3, 7),B(3,- 7). 由图可知:- 7<a< 7. 跟踪训练 3: 1

例四 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3 或|z|=-1. ∵|z|≥0,∴|z|=-1 应舍去,故应选 A 课后作业:1、B 2、C 7、(1,2) 3、 A 4、 D 5、 9、12 A 6、D

8、 3+2i

10、[解析] ∵z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i,
?m2+m-1>0 ? 由题意得? ?4m2-8m+3>0 ?



-1- 5 3 解得 m< 或 m> , 2 2 即实数 m 的取值范围是 m< -1- 5 3 或 m> . 2 2

6


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