新版高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(三) Word版含答案

1

1

一、选择题

1.(20xx·福建“四地六校”联考)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},

则 A∩B 等于( )

A.(2,3]

B.(2,3)

C.(-3,-2)

D.[-3,-2)

2.(20xx·北京)设 a,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(20xx·福州质检)已知命题 p:“? x∈R,ex-x-1≤0”,则綈 p 为( )

A.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0

C.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

D.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

4.(20xx·山东)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1 时,f(-

x)=-f(x);当 x>12时,f???x+12???=f???x-12???,则 f(6)等于(

)

A.-2

B.-1

C.0

D.2

5.设 a≠0,函数 f(x)=?????4|lxo2+g2(a-x|x,),x≥x<00., 若 f[f(- 2)]=4,则 f(a)等于(

)

A.8

B.4

C.2

D.1

6.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=logax,y=ax,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )

7.(20xx·福州质检)已知函数

f(x)=

? ? ?

2 x

,

x

?

2,

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同

??(x ?1)3, x ? 2,

的实根,则实数 k 的取值范围是( )

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(0,1]

D.(-1,0)

8.如图,将 45°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起,其中 45°直角三角板的斜边与 30°

直角三角板的 30°角所对的直角边重合.若→DB=x·D→C+y·D→A,x>0,y>0,则 x,y 的值分

别为( )

A. 3,1

B.1+ 3, 3

C.2, 3

D. 3,1+ 3

9.已知 sin(x-2 017π )=13,x∈???π ,32π ???,则 tan 2x 等于(

)

2 A. 4

2 B.- 4

42 C. 7

D.4 2

10.已知△ABC 三边 a,b,c 上的高分别为12, 22,1,则 cos A 等于(

)

A.

3 2

B.-

2 2

C.-

2 4

D.-

3 4

11.(20xx·课标全国Ⅰ)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0

使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( A.???-23e,1???

)
B.???-23e,34???

C.???23e,34???

D.???23e,1???

12.已知 O 是锐角△ABC 的外心,tan A= 22,若csoisn BC→AB+csoisn CB→AC=2mA→O,则 m 等于(

)

A.

3 3

B.32

C.3

D.53

二、填空题

13.若 f(x)=x+2??01f(t)dt,则 f(1)=________. 14.若 tan α =3,则sin2αs+in22αsi+n 3αcocso2sα α -5=________.

15.如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=6,AD=DC=2,若→AC·→BD=-14,则→AD·→BC=________.

16.关于函数 f(x)=cos 2x-2 3sinxcosx,有下列命题: ①对任意 x1,x2∈R,当 x1-x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在区间???-π6 ,π3 ???上单调递增; ③函数 f(x)的图象关于点(1π2,0)对称; ④将函数 f(x)的图象向左平移51π2 个单位长度后所得到的图象与函数 y=2sin 2x 的图象重 合.
其中正确的命题是________.(注:把你认为正确的序号都填上)
三、解答题

??? 17.已知函数 f(x)=

-x-1,x<-2, x+3,-2≤x≤21,

??5x+1,x>12.

(1)求函数 f(x)的最小值; (2)已知 m∈R,p:关于 x 的不等式 f(x)≥m2+2m-2 对任意 x∈R 恒成立,q:函数 y=(m2 -1)x 是增函数,若 p 正确,q 错误,求实数 m 的取值范围.

18.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)若 c=ta+(1-t)b,且 b·c=0,求 t 及|c|.
19.设向量 a=( 3sin x,cos x),b=(cos x,cos x),记 f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)试用“五点法”画出函数 f(x)在区间???-π12,111π2 ???上的简图,并指出该函数的图象可由 y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到; (3)若函数 g(x)=f(x)+m,x∈???-π6 ,π3 ???的最小值为 2,试求出函数 g(x)的最大值.

20.已知函数 f(x)=x-x2 a,a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(1,2)上是单调函数,求 a 的取值范围.
21.在△ABC 中,→AB=(- 3sin x,sin x),→AC=(sin x,cos x). (1)设 f(x)=→AB·→AC,若 f(A)=0,求角 A 的值; (2)若对任意的实数 t,恒有|A→B-t→AC|≥|B→C|,求△ABC 面积的最大值.
22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区 域近似为圆面,该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户区建筑用地,测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米.
(1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及 AC 的长; (2)因地理条件的限制,边界 AD,DC 不能变更,而边界 AB,BC 可以调整,为了提高棚户区 建筑用地的利用率,请在 ABC 上设计一点 P,使得棚户区改造后的新建筑用地 APCD 的面积 最大,并求出最大值.

答案精析

1.A [因为 A={x|x2-2x-3≤0}={x|(x-3)(x+1)≤0}={x|-1≤x≤3}=[-1,3],B ={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}={x|x<-1 或 x>2}=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以 A∩B =(2,3]. 故选 A.] 2.D [若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b 表示该菱形 的对角线,而菱形的两条对角线长度不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之, 若|a+b|=|a-b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边长度不一定 相等,所以|a|=|b|不一定成立.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不 必要条件.] 3.C [已知全称命题 p:? x∈M,p(x),则否定为綈 p:? x0∈M,綈 p(x0),故选 C.] 4.D [∵当 x>12时,f???x+12???=f???x-12???,即 f(x)=f(x+1),∴T=1,∴f(6)=f(1).当 x<0 时,f(x)=x3-1 且-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x),∴f(6)=f(1)=-f(-1)=2,故选 D.]

5.A [由 f(- 2)=4log2 2=2,f(2)=|4+2a|=4,解得 a=-4,所以 f(a)=f(-4) =4log24=8,故选 A.] 6.C [∵函数 y=ax 与 y=logax 互为反函数,∴它们的图象关于直线 y=x 对称, ∴选项 B 的图象不正确;当 0<a<1 时,y=logax 与 y=ax 都随 x 的增大而减小,y=x+a 的 图象与 y 轴的交点在 y=1 的下方,只有选项 C 的图象正确;当 a>1 时,y=logax 与 y=ax 都随 x 的增大而增大,y=x+a 的图象与 y 轴的交点在 y=1 的上方,没有选项符合要求.]

7.B [根据题意作出函数 f(x)=???2x,x≥2, ???x-1?3,x<2

的图象,如图.

关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根等价于函数 f(x)=???2x,x≥2, ???x-1?3,x<2

的图象与直

线 y=k 有两个不同的公共点,则由图象可知当 k∈(0,1)时,满足题意.故选 B.]

8.B [设 AD=DC=1,则 AC= 2,AB=2 2,BC= 6.在△BCD 中,由余弦定理,得 DB2=

DC2+CB2-2DC·CB·cos(45°+90°)=7+2 3.以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴建立平 面直角坐标系(图略),则 D(0,0),A(1,0),C(0,1),由D→B=x·→DC+y·→DA,得 B(y,x),∴ →CB=(y,x-1),→DB=(y,x),∴6=(x-1)2+y2,x2+y2=7+2 3,∴x=1+ 3,y= 3.] 9.C [因为 sin(x-2 017π )=13,所以 sin x=-13,

又 x∈???π ,3π2 ???,所以 cos x=-2 3 2,

所以 tan x= 42,

2

所以 tan

2× 2x=
1-???

44 =
42???2

7

2.]

10.C

[设△ABC 面积为 S? a=4S,b=2

2S,c=2S? cos

A=(2

2)2+22-42 =-

2×2 2×2

2 4,

故选 C.]

11.D [由已知函数关系式,先找到满足 f(x0)<0 的整数 x0,由 x0 的唯一性列不等式组求解.

∵f(0)=-1+a<0,∴x0=0.

又∵x0=0

是唯一的使

f(x)<0

的整数,∴???f(-1)≥0, ??f(1)≥0,

即???e-1[2×(-1)-1]+a+a≥0, ??e(2×1-1)-a+a≥0,
解得 a≥23e.

又∵a<1,∴23e≤a<1,

经检验 a=34,符合题意,故选 D.]

12.A [取 AB 的中点 D,连接 OD,

则 OD⊥AB,

∴O→D·A→B=0,

∵A→O=A→D+D→O,

cos ∴sin

BC→AB+csoisn

CB→AC=2mA→O

=2m(A→D+D→O),

∴csoisn BC→AB2+csoisn CBA→C·A→B

=2m→AD·→AB+2mD→O·A→B, ∴csoisn BC|→AB|2+csoisn CB|→AC||→AB|cos A=2m·12|→AB|2=m|→AB|2,

cos 由正弦定理可得sin

BCsin2C+csoisn

C Bsin

Bsin

Ccos

A=msin2C,

即 cos B+cos Ccos A=msin C, 又 cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C, ∴sin Asin C=msin C,∴m=sin A,

又 tan

A=

22,∴m=sin

A=

3 3 .]

13.0

解析 记 a=??01f(t)dt,则 f(x)=x+2a,故??01f(x)dx=??01(x+2a)dx=12+2a, 所以 a=12+2a,a=-12,故 f(x)=x-1,f(1)=0.

12 14.-35

解析 由题意知 cos α ≠0,

∵sin2αs+in22αsi+n 3αcocso2sα α -5

=-4sin2α

sin2α +3cos2α +2sin α cos α

-5cos2α

=-4tant2αan+2α2+ta3n α -5,

∴-4tant2αan+2α2+ta3n

α

9+3

12

-5=-36+6-5=-35,

即sin2αs+in22αsi+n 3αcocso2sα α -5=-1325.

15.-2

解析 ∵→AC·→BD=(A→D+D→C)·(→BC+→CD)=→AD·→BC+(A→D-B→C-C→D)·C→D

=A→D·B→C+(→AD+→DC+→CB)·→CD=→AD·→BC+→AB·→CD,

∴A→D·B→C-6×2=-14? A→D·B→C=-2. 16.①③

解析 f(x)=cos 2x-2 3sin xcos x

=cos 2x- 3sin 2x=2cos???2x+π3 ???.

因为 f(x1)=2cos???2x1+π3 ???=2cos???2(x2+π )+π3 ???

=2cos???2x2+π3 ???=f(x2),故①正确;

当 x∈???-π6 ,π3 ???时,2x+π3 ∈[0,π ],所以函数 f(x)在区间???-π6 ,π3 ???上单调递减,故
②错误;

f???π12???=2cos???2×π12+π3 ???=2cos

π 2

=0,故③正确;

函数

f(x)















5π 12

个单位长度后得到的图象所对应

的函数解析式为

y=

2cos???2???x+51π2 ???+π3 ???=-2cos???2x+π6 ???,易知该图象与函数 y=2sin 2x 的图象不重合,故
④错误.

17.解 (1)作出函数 f(x)的图象,如图所示.

可知函数 f(x)在 x=-2 处取得最小值 1. (2)若 p 正确,则由(1)得 m2+2m-2≤1,即 m2+2m-3≤0, 所以-3≤m≤1. 若 q 正确,则函数 y=(m2-1)x 是增函数, 则 m2-1>1,解得 m<- 2或 m> 2.

又 p 正确 q 错误,则??-3≤m≤1,

解得- 2≤m≤1.

?- 2≤m≤ 2,

即实数 m 的取值范围是[- 2,1]. 18.解 (1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得 a·b=-6, ∴cos θ =|aa·||bb|=4-×63=-12.

又 0≤θ ≤π ,∴θ =23π .

(2)∵b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2=-15t+9=0,∴t=35,

∴|c|2=???35a+25b???2=12058,

∴|c|=6

5

3 .

19.解

(1)f(x)=a·b=

3sin

xcos

x+cos2x=

3 2 sin

2x+1+c2os

2x

=sin(2x+π6 )+12,

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π2 =π .

(2)列表如下:

x

-π12

2π 12

5π 12

8π 12

11π 12

2x+π6

0

π 2

π

3π 2



sin(2x+π6 )

0

1

0

-1

0

y

1

3

1

1

1

2

2

2

-2

2

描点,连线得函数 f(x)在区间???-π12,111π2 ???上的简图如图所示:

y=sin x 的图象向左平移π6 个单位长度后得到 y=sin(x+π6 )的图象,再保持纵坐标不变,

横坐标缩短为原来的12后得到 y=sin(2x+π6 )的图象,最后将 y=sin(2x+π6 )的图象向上平

1 移2个单位长度后得到

y=sin(2x+π6

1 )+2的图象.

(3)g(x)=f(x)+m=sin(2x+π6 )+12+m.

∵x∈???-π6 ,π3 ???, ∴2x+π6 ∈???-π6 ,56π ???,∴sin(2x+π6 )∈???-12,1???,

∴g(x)的值域为???m,32+m???. 又函数 g(x)的最小值为 2, ∴m=2,∴g(x)max=32+m=72. 20.解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.f′(x)=x((xx--a2)a2). ①当 a=0 时,f′(x)=1, 则 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞). ②当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 x>2a 或 x<0, 此时 0<a<2a;由 f′(x)<0,得 0<x<a 或 a<x<2a, 则 f(x)的单调递增区间为(2a,+∞),(-∞,0), 单调递减区间为(0,a),(a,2a). ③当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>0 或 x<2a,此时 2a<a<0;由 f′(x)<0,得 2a<x<a 或 a<x<0, 则函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(0,+∞),单调递减区间为(2a,a),(a,0). (2)①当 a≤0 时,由(1)可知,f(x)在(1,2)上单调递增,满足题意; ②当 0<2a≤1,即 0<a≤12时,由(1)可知,f(x)在(2a,+∞)上单调递增,即在(1,2)上单调

递增,满足题意;

③当 1<2a<2,即12<a<1 时,由(1)可得,f(x)在(1,2)上不具有单调性,不满足题意;

④当 2a=2,即 a=1 时,由(1)可知,f(x)在(a,2a)上单调递减,即在(1,2)上单调递减,

满足题意;

⑤当 1<a<2 时,因为 f(x)的定义域为{x|x≠a},显然 f(x)在(1,2)上不具有单调性,不满足

题意;

⑥当 a≥2 时,由(1)可知,f(x)在(0,a)上单调递减,即在(1,2)上单调递减,满足题意.

综上所述,a≤12或 a=1 或 a≥2.

21 . 解

(1)f(x) = A→B · A→C = -

3 sin2x + sin xcos x = -

3

×

1-cos 2

2x



sin 2

2x



sin???2x+π3 ???- 23.

∵f(A)=0,∴sin???2A+π3 ???= 23,

又 2A+π3 ∈???π3 ,2π +π3 ???,

∴2A+π3 =2π3 ,∴A=π6 .

(2)由|A→B-t→AC|≥|B→C|, 得|→CB+(1-t)A→C|≥|→BC|, 则|→CB|2+2(1-t)→CB·→AC+ (1-t)2|→AC|2≥|B→C|2, 故对任意的实数 t,恒有 2(1-t)C→B·A→C+(1-t)2|A→C|2≥0,故→CB·→AC=0,即 BC⊥AC. ∵|→AB|= 4sin2x≤2,|→AC|=1, ∴BC= AB2-AC2≤ 3,

∴△ABC 的面积 S=12BC·AC≤ 23,

∴△ABC 面积的最大值为 23. 22.解 (1)根据题意知,四边形 ABCD 内接于圆,∴∠ABC+∠ADC=180°. 在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC, 即 AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC. 在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC, 即 AC2=42+22-2×4×2×cos∠ADC. 又 cos∠ABC=-cos∠ADC, ∴cos∠ABC=12,AC2=28,

即 AC=2 7万米,

又∠ABC∈(0,π ),∴∠ABC=π3 .

∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ADC=12×4×6×sin

π 3

1 +2×2×4×sin

2π 3

=8

3(平方万米).

(2)由题意知,S

四边形

S S = + , APCD

△ADC

△APC

且 S△ADC=12AD·CD·sin

2π 3

=2

3(平方万米).

设 AP=x,CP=y,则

S△APC=12xysin

π 3



43xy.

在△APC 中,由余弦定理,得 AC2=x2+y2-2xy·cos

π 3

=x2+y2-xy=28,

又 x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,

当且仅当 x=y 时取等号,∴xy≤28.

∴S =2 四边形 APCD 3+ 43xy≤2 3+ 43×28=9 3(平方万米),

故所求面积的最大值为 9 3平方万米,

此时点 P 为 ABC 的中点.


相关文档

2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(一) Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测三含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(三) Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(三) 含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(五) Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(二) Word版含答案
新版高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(五) Word版含答案
新版高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(六) Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测三 含答案 精品
新编高三数学每天一练半小时:阶段滚动检测(二) Word版含答案
电脑版