线面垂直、面面垂直的性质定理


创设情境:
问题1:如果直线 a, b 都垂直于同一条直线 l,

那么直线 a, b 的位置关系如何?
问题2:如果直线 a, b 都垂直于同一个平面?, 那么直线 a, b 的位置关系如何?

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创设情境:

特殊模型:

棱AA' , BB' , CC ',DD' 所在直线都垂直于

平面ABCD,它们之
间具有什么位置关

系?

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创设情境
问题2:如果直线 a, b 都垂直于同一个平面α, 那么直线 a, b 的位置关系如何?

数学实验,验证猜想

a

b

α

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合作探究:
如果直线 a, b 都垂直于同一个平面 , 探究1: 那么直线 a / / b
符号语言 图形语言

a

a ^ a,b ^ a
a
b

a / /b

α
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证明: 假设a与b不平行.

a

b

b

'

b ? a =O
过o作 b’∥a

α

o

又a ^ a ' \ b^a 又b ^ a
显然不可能.
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经过同一点O有两条直线

b, b 与面 a 垂直
'



a // b

证明: 假设a与b不平行.

反证法:
①否定结论 ②从假设出发, 推理

b ? a =O
a 过o 作 又a ^ a ' \ b^a 又b ^ a
b’∥
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得出矛盾
'

经过同一点O有两条直线 b , b 与面 a 垂直

显然不可能. ∴

a // b

③结论成立

自主探究:
探究2:如何记忆直线与平面垂直的性质定理?

a ^ a,b ^ a
a
b 线面垂直

a / /b
线线平行

两线垂直同一面,相互平行共伸展

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自主探究:
探究3:校庆,学校决定重建升旗台

假如你是工程师,
你有什么办法 保证各旗杆 相互平行?

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自主探究:
探究4:请拿出一张长方形的纸 ①折成两个平面 a ^ ②画出它们的交线 l ③ 在平面a内作AB^ l 观察AB与平面 β 的位置关系.

b

为什么?

a ^ b , a ? b =l AB ? a , AB ⊥l
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AB ⊥ β

合作探究:

β
E

a ^ b , a ? b =l AB ? a , AB ⊥l

AB ⊥ β
A
探究: 在面β上

α
AB ⊥ β

l

B

线面垂直? 线线垂直

AB ⊥l AB ⊥?

作BE ⊥l 又AB ⊥l

a^ b
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则∠ABE = 90

0

合作探究:

β
E

AB ⊥ BE 又 AB ⊥l
A

α
AB ⊥ β

l

B

BE ? l = B
AB ⊥ β

线面垂直? 线线垂直

AB ⊥l AB ⊥?

a^ b
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β

自主探究:
α

l B A

探究5:如何记忆面面垂直的性质定理?

a ^ b , a ? b =l

AB ? a , AB ⊥l
面面垂直 作交线的垂线

AB ⊥ β
线面垂直

面面垂直
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线面垂直

合作探究:
如图,已知平面a ,b ,a ^ b ,直线a 满足 a ^ b ,a a , 试判断直线a与平面a 的位置关系.

解:a

^ b 设a ? b =l , b ? a , 作b ^ l

α

b
β

a

l
a \ a / /a

∴ b⊥ β ? a / /b 又a 颂 α, b 又α ⊥β
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α

合作探究:
解:

a

b

a^ b 设a ? b =l , b ?α ,作b ^ l

面面垂直 β

l
面 面 垂 直 成 直 角 , 线 面 垂 直 记 心 间

作交线的垂线
线面垂直 线线平行 线面平行

∴ b⊥ β
又α ⊥β

? a / /b 又a 颂 α, b a
\ a / /a
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.

当堂训练:
1.判断下列命题正误 × ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行. √
③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ×

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当堂训练:
2.如图,平面 a , b , g 满足 a

^ g ,b ^ g ,

a ? b =l , 求证: l ^ g .
分析提示:

l

b

l ^ g.
要证线面垂直,怎么办?

a
g

a ^ g ,b ^ g ,
已知面面垂直,怎么做?
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分析提示:

l

b

l^ g
线面垂直

l^? l^?
线线垂直

a
g

a ^ g ,b ^ g
面面垂直

在一个平面内,
作交线的垂直

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思路:

l^ g
证明:

l^? l^?

l

b
b

a
m

g

n a

a ^ g, 设a ? g =m, 在平面g 作a ^ m, 轣 a a

轣a l ①
b ^ g, 设b ? g =n, 在平面g 作b ^ n, 轣 b b

轣b l ② 由 ① ② 又a与b相交 轣 l g
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分析提示:

l^ g
线面垂直

l^? l^?
线线垂直

a
m

a

l
b

b

b

g

n a

a ^ g ,b ^ g
面面垂直

平面g
在一个平面内,
作交线的垂直

平面a 和b

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小结:

2, 1, 1 工程
两 个 性 质 定 理 一 个 证 明 方 法
一 个 转 化 思 想

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①线面垂直性质定理:
符号语言 图形语言

a ^ a,b ^ a
a
b

a / /b

记忆:

线面垂直
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线线平行

②面面垂直性质定理: 图形语言 符号语言

β
E

a ^ b , a ? b =l

AB ? a , AB ⊥l
A

α
记忆:

l

B

AB ⊥ β
线面垂直

面面垂直

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小结:
(2)一个证明方法:

反证法:
①否定结论 ②从假设出发, 推理,得出矛盾 ③结论成立
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小结:
(3)一个转化思想: 线 线 位 置 关 系 线 面 位 置 关 系 面 面 位 置 关 系

面面垂直 作交线的垂线

线面垂直
线线平行 线面平行

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巩固作业: ①课本P73 习题2.3 A组 1、3 ②设直线a,b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1

中两个不同的平面内,欲使a∥b , a ,b
应满足什么条件? ③ 平面α ⊥ 平面β,点P在平面α内,

过点P作平面β的垂线a, 直线a与平面α具有什么位置关系?
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