高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2_3反证法与放缩法自我小测新人教A版选修4_5

2.3 反证法与放缩法 自我小测 1.设 x,y 都是正实数,则 xy-(x+y)=1,则( ) A.x+y≥2( 2+1) B.xy≤ 2+1 C.x+y≤( 2+1)2 D.xy≥2( 2+1) 2.设 x>0,y>0,A=1+x+x+y y,B=1+x x+1+y y,则 A 与 B 的大小关系为( ) A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A<B 3.用反证法证明 “如果 a>b,那么3 a>3 b”的假设内容应是( ) A.3 a=3 b B.3 a<3 b C.3 a=3 b且3 a<3 b D.3 a=3 b或3 a<3 b 4.设 x,y,z 都是正实数,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则 a,b,c 三个数( ) A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 5.对“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b 与 a<b 及 a≠c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<12. 那么它的假设应该是__________. 7.设 a,b,c 均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P, Q,R 同时大于零”的__________条件. 8.若 A=2110+2101+1+…+2111-1,则 A 与 1 的大小关系为________. 9.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{an}的通项 an=loga???1+b1n???(其中 a>0,且 a≠1),记 Sn 是数列{an}的前 n 项 和,试比较 Sn 与13logabn+1 的大小,并证明你的结论. 参考答案 1.解析:由已知(x+y)+1=xy≤???x+2 y???2, ∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0, ∵x,y 都是正实数,∴x>0,y>0. ∴x+y≥2 2+2=2( 2+1). 答案:A 2.解析:∵x>0,y>0,∴A=1+xx+y+1+yx+y<1+x x+1+y y=B. 答案:D 3.D 4.解析:∵a+b+c=x+1x+y+1y+z+1z≥2+2+2=6,当且仅当 x=y=z=1 时等号 成立, ∴a,b,c 三者中至少有一个不小于 2. 答案:C 5.解析:对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时 a=b=c,与已知矛盾, 故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正确. 对于②,假设 a>b 与 a<b 及 a≠c 都不成立时,有 a=b=c,与已知矛盾,故 a>b 与 a<b 及 a≠c 中至少有一个成立,故②正确. 对于③,显然不正确. 答案:C 6.|f(x1)-f(x2)|≥12 7.解析:必要性是显然成立的;当 PQR>0 时,若 P,Q,R 不同时大于零,则其中两个 为负,一个为正,不妨设 P>0,Q<0,R<0,则 Q+R=2c<0,这与 c>0 矛盾,即充分性 也成立. 答案:充要 8.解析:A=2110+2101+1+…+2111-1 < 1 210 ? 1 210 ? 共210个 ? 1 210 ? 210 210 ? 1. 答案:A<1 ??b1=1, 9.答案:解:(1)设数列{bn}的公差为 d,由题意,得???10b1+10(120-1)d=145, ∴b1 =1,d=3. ∴数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2. (2)∵bn=3n-2, ∴an=loga???1+b1n???=loga33nn- -12. ∴Sn=a1+a2+…+an=loga???21×54×…×33nn- -12???. 又13logabn+1=loga3 3n+1. ∴比较 Sn 与13logabn+1 的大小, 即比较21×54×…×33nn- -12与3 3n+1的大小. 记 An=21×54×…×33nn- -12, Bn=3 3n+1. ∵33nn--12>1, ∴对任意 n∈N+,都有33nn--12>3n3-n 1>3n3+n 1>0. ∴???33nn--12???3>33nn- -12×3n3-n 1×3n3+n 1=33nn+ -12, 从而 A3n=???21???3×???54???3×…×???33nn- -45???3×???33nn- -12???3>41×74×…×33nn- -25×33nn+ -12=3n+1=B3n. ∴An>Bn(n∈N+). 由对数的单调性,可得 当 a>1 时,Sn>13logabn+1(n∈N+); 当 0<a<1 时,Sn<13logabn+1(n∈N+).

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