利用导数研究方程的根


利用导数研究方程的根
方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数 的性质后可以确定函数零点的情况 ,这就是使用导数的方法研究方程 的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方 法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画 出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高 考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:

一、函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点问题.
1、(09 江西)设函数 f(x)= ? +6x?a

⑴对于任意的实数 x , (x)≥m 恒成立,求 m 的最大值. ⑵若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析: ⑴ 略 ⑵ (x)=3 ?9x+6=3(x?1)(x?2) (x)>0 ;当 1<x<2 时 , (x)<0 ;当 x>2 时, (x)>0

因为当 x<1 时,

所以当 x=1 时, f(x)取得极大值,f(1)= f(x)取得极小值 f(2)=2?a y=f(x)草图如下: y 1 2 x 图1

? a ;当 x=2 时

y 1 2 图2 x

要使 f(x)=0 有且仅有一个实根,必须且只需 f(x)取得极小值 f(2)>0 或 f(x)取得极大值 f(1)<0 解得,a> 或 a<2 . 变式引申①若方程 f(x)=0 有且仅有两个实根,求 a 的取值范围

y=f(x)草图如下:

y 1 2 x

y 1 2 x

要使 f(x)=0 有且仅有两个实根,必须且只需 f(x)取得极大值 f(1)=0 或 f(x)取得极小值 f(2)=0 解得 a=2 或 a= 变式引申②要使 f(x)=0 有且仅有三个实根, 求 a 的取值范围 y=f(x)草图如下 y 0 要 使 极大值 极小值 f(x)=0 1 2 x

有 且 仅 有 三 个 实 根 , 必 须 且 只 需 ? ? 解得 2

从上题的解答我们可看出:用导数来探讨 y= f(x)图像与 x 轴的交 点问题,有以下几个步骤: ⑴、构造函数 y= f(x)。 ⑵、求导 (x)。

⑶、研究函数 f(x)的单调性和极值。 ⑷、画出函数 y= f(x)的草图,观察与 x 轴的交点情况,列出不等式 或方程。 ⑸、解不等式或方程,得解。

二、函数 y= f(x)图像与直线 y=b 的交点问题
2、(2008 江西)已知函数 f(x)= ⑴、求函数 y= f(x)的单独区间 ⑵、若 y= f(x)的图像与直线 y=1 恰有两个交点,求 a 的取值范 + ? + (a>0)

围。 解: ⑴略 ⑵ y -2a 0 a (x)= a ?2 x=x(x+2a)(x?a) 其导函数的图像如下左图 : y=1 -2a 0 a x y=1 -2a 0 a x

f(x)极小值 =f(-2a)=f(x)极小值 =f(a)= f(x)极大值 =f(0)= y= f(x)的草图如上中图、右图,由图知,要使 y= f(x)的图像与直线 y=1 恰有两个交点,只要解得 a> 或 0<a<1 <1< 或

变式引申: 若 y= f(x)的图像与直线 y=1 有三个交点,求 a 的取值范围? 四个交点呢?

三、函数 y= f(x)图像与函数 y=g(x)图像的交点问题
3、(2006 福建)已知函数 f(x)=- +8x , g(x)=6lnx+m ⑴求 f(x)在区间[t ,t+1]上的最大值 h(t) ⑵是否存在实数 m,使得 y= f(x)的图像与 y=g(x)图像的图像有 且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明 理由。 解析: ⑴略 ⑵因为 y= f(x)的图像与 y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的 交点,所以方程 f(x) =g(x)有三个不同的解,对应的函数

φ(x)= g(x)? f(x)= 有三个不同的交点, 因为 ?

?8x+6lnx+m (注意 x>0)的图像与 x 正半轴有且只

=

要 使 φ(x)=0 有 三 个 不 同 的 正 实 数 根 , 必 须 且 只 需 极大值 极小值 ? ? 解得 7<m<15-6ln3

所以存在实数 m,使得 y= f(x)的图像与 y=g(x)图像的图像有且只有三个 不同的交点,m 的取值范围为(7 , 15-6ln3) 变式引申:若 y= f(x)的图像与 y=g(x)图像的图像有且只有一个不同的 交点,求 m 的范围? 有且只有两个不同的交点呢? 练习 08 年四川理 22 题;06 四川文科 21 题;06 福建文科 21; 2011 湖南


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