高中数学2.2.1.2圆的一般方程课件苏教版必修_图文

第2课时
【课标要求】

圆的一般方程

1.掌握圆的一般方程,能判断二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey +F=0 是否是圆的一般方程,能将圆的一般方程化为标准方程, 从而写出圆心坐标和圆的半径. 2.会用待定系数法求出圆的基本量 D、E、F,从而求出圆的 一般方程. 3.能根据已知条件恰当选择圆的基本量求圆的方程.

【核心扫描】 1.能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;以及 能用待定系数法,由已知条件求出圆的方程.(重点) 2.圆的一般方程的特点.(难点)

自学导引 1.圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
2 2 ? D?2 ? E?2 D +E -4F 配方得:?x+ ? +?y+ ? = 2 ? ? 2? 4 ?

(1) 当 D2 + E2- 4F= 0 时,方程表示一个点,该点的坐标为
? D E? ?- ,- ?; 2? ? 2

(2)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形;

(3)当 D2+E2-4F>0 时, 方程表示的曲线为圆, 它的圆心坐标
? D E? 1 ? ? 为 - ,- ,半径等于 2? 2 ? 2

D2+E2-4F,上述方程称为圆的一般

方程.

2. 比较二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出以下结论:当二元二 次方程具有条件: (1)x2 和 y2 的系数相同,且不等于 0,即 A=C≠0 ; (2)没有 xy 项,即 B=0 ;
2 2 D + E -4AF>0 时,它才表示圆. (3)

想一想: 1. 圆的方程是二元二次方程,二元二次方程一定

表示圆吗?
提示 不一定.圆的方程只是二元二次方程中满足一定条

件的特殊方程. 2.方程x2+y2-2ax+2by=0(a、b不同为零)表示的圆的圆 心坐标和半径分别是什么?

提示 由 x2+y2-2ax+2by=0,得(x-a)2+(y+b)2=a2+b2, 所以该圆圆心坐标为(a,-b),半径为 a2+b2.

名师点睛 1.圆的一般方程的特点 (1)x2、y2 的系数相同且不等于零(x2 和 y2 项的系数如果为不是 1 的非零常数,只需在方程两边除以这个数,就可以将 x2 和 y2 项 的系数化为 1). (2)不含 xy 项. 具有上述两个特点的二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0 仅符合了方程①的形式, 还需满足 D2+E2-4AF>0 的条件, 才能表示圆.因此,上述两个特点(1)、(2)是二元二次方程 Ax2+ Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的必备条件,利用这两个条件, 可以判别二元二次方程的曲线是不是圆.

2.圆的一般方程适用的条件一般是圆过某三点,圆心和半径 不能确定时,用待定系数法确定 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的一般方 程中的待定系数的值. 3.几种特殊的圆:(圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+ F=0,D2+ E2-4F>0) (1)D=0?圆心在 y 轴上;(2)E=0?圆心在 x 轴上;(3)D=E =0?圆心在原点; (4)F=0?圆过原点; (5)D=F=0?圆过原点且 与 x 轴相切;(6)E=F=0?圆过原点且与 y 轴相切;(7)D2-4F= 0?圆与 x 轴相切;(8)E2-4F=0?圆与 y 轴相切.

题型一 二元二次方程表示圆的条件 【例 1】判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示 圆,若能表示圆,求出圆心和半径. [思路探索] 若一个二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2 +Dx+Ey+ F=0 表示圆,则应满足 A=C≠0,B=0,且 D2+E2-4AF>0.即 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆,应满足 D2+E2-4F>0.

解 法一 由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 可知 D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2, 因此,当 m=2 时,它表示一个点; 当 m≠2 时,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m, 1 2 -m),半径为 r=2 D +E2-4F= 5|m-2|.

法二 原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当 m=2 时,它表示一个点; 当 m≠2 时,原方程表示圆的方程. 此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为 r= 5|m-2|.

规律方法 对形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程可 以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由 圆的一般方程的定义判断 D2+E2-4F 是否为正, 确定它是否表示 圆.

【训练1】 若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆的方程,则m 的取值范围是________.

解析 本题考查圆的一般方程的概念,由于方程表示一个圆, 1 则 D +E -4F=(-1) +1 -4×(-m)>0,∴m>- . 2 ? 1 ? - ,+∞? 答案 ? ? 2 ?
2 2 2 2

题型二 待定系数法求圆的一般方程 【例 2】 已知 A(2,-2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC 的外 接圆的方程. [思路探索] 本题考查圆的方程的求法,△ABC 的外接圆是过 A、B、C 三点的圆,由条件不易求得圆心和半径,故可用待定系 数法求解.

解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 A(2, -2), B(5,3),C(3,-1)代入圆的方程,得 ?4+4+2D-2E+F=0, ? ?25+9+5D+3E+F=0, ?9+1+3D-E+F=0, ? ?D=8, ? 解得?E=-10, ?F=-44. ? ∴圆的方程为 x2+y2+8x-10y-44=0.
规律方法 一般地,由题意知道所求的圆经过几点且不易得知 圆心和半径时,常选用一般式.

【训练2】 求经过两点A(4,2)、B(-1,3),且在两坐标轴上

的四个截距之和为2的圆的方程.
解 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,令 y=0,得 x2+Dx+F=0,所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1+x2=-D;令 x =0,得 y2+Ey+F=0,所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1+y2=- E; 由题设,x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, 所以 D+E=-2.① 又 A(4,2)、B(-1,3)两点在圆上, 所以 16+4+4D+2E+F=0,②

1+9-D+3E+F=0,③ 由①②③可得 D=-2,E=0,F=-12, 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0.

题型三 与圆有关的最值问题 【例 3】 已知圆 C: (x-3)2+(y-4)2=1, 点 A(0, -1), B(0,1), 设 P 是圆 C 上的动点,令 d=PA2+PB2,求 d 的最大值及最小值.
审题指导 本题考查点与圆的位置关系和数形结合的思想方 法,可列出函数关系式,然后借助图形特点解决问题.

[规范解答] 如图,设 P 点坐标为(x0,y0),
2 2 ∴d=x0 +(y0+1)2+x2 + ( y - 1) 0 0 2 =2(x2 0+y0)+2

(2 分)

=2PO2+2. 问题转化为求 P 点到原点 O 距离的最值, ∵O 在圆外,∴OPmax=CO+1=5+1=6, POmin=CO-1=5-1=4.(12 分) ∴dmax=2×62+2=74,dmin=2×42+2=34.

(7 分) (9 分)

(14 分)

【题后反思】 将问题合理转化是解题的关键,利用数形结合 的方法是寻找突破口和切入点的好方法,并且可以简化解析几何 中的运算.

【训练3】 已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与点B的最大

距离和最小距离.
解 法一 设 P(x,y)是圆上任意一点, ∴PB2=(x-3)2+(y-4)2 =x2+y2-6x-8y+25=-6x-8y+29. 令-6x-8y+29=d, 29-d-8y ∴x= , 6 代入 x +y =4
2 2

?29-d-8y? ?2 2 得? + y =4. ? ? 6 ? ?

即 100y2-2×8(29-d)y+(29-d)2-36×4=0.

∵Δ≥0, ∴[2×8(29-d)]2-4×100×[(29-d)2-36×4]≥0, ∴(29-d)2≤400, 即|29-d |≤20,∴-20≤29-d≤20. ∴9≤d≤49.∴9≤PB2≤49.即 3≤PB≤7. 故圆上的点到点 B 的距离最大值为 7,最小值为 3.

法二 如图,连接 BO 并延长与圆交于 P、Q 两点,设 P′是 圆上任一点, 则 BP′+P′O≥BO=OP+BP, ∴BP′≥BP. 即 P 是圆上与 B 距离最近的点. ∵BP′≤BO+OP′=BO+OQ=BQ. 即 Q 是圆上与 B 距离最远的点. ∵BO= 32+42=5,r=2. ∴BP=5-2=3,BQ=5+2=7. ∴圆上的点与 B 的距离最大值为 7,最小值为 3.

方法技巧

求轨迹方程

平面内的一动点按照某处限制条件运动,它经过的路线就是 这个点运动形成的轨迹(曲线).在坐标系中,这个轨迹可用一个方 程表示,这个方程就是点的轨迹方程,轨迹和轨迹方程是平面解 析几何的重要内容.求动点 P 的轨迹方程的步骤如下: (1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐 标; (2)列出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M |P(M)}; (3)用坐标表示 P(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式;

(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

简记为:建系、列式、代换、化简、证明.
注意 求轨迹方程只需求出动点的坐标所满足的条件即

可,而轨迹需要说明曲线的形状、位置、大小等有关量.

【示例】 已知一曲线是与两个定点 O(0,0) , A(a,0)(a≠0) 距
离的比为k(k≠0)的点的轨迹,求此曲线的方程,并判断曲线的形 状. [思路分析] 本题考查点的轨迹,可直接利用条件列出动点 满足的关系式,化简即可.
解 设 M(x,y)是曲线上的任意一点, 即 M 属于集合
? ?OM ? =k?. P=?M? ? ? AM ?

由两点间的距离公式知点 M 所适合的条件可以表示为 x2+y2 2 = k ,两边平方得 = k . 2 2 2 2 ?x-a? +y ?x-a? +y 化简得(k2-1)x2+(k2-1)y2-2k2ax+k2a2=0. x2+y2

当 k≠1,即 k>1 或 0<k<1 时,k2-1≠0,
2 2 2 - 2 k a k a 2 2 ∴x +y + 2 x+ 2 =0, k -1 k -1

4k4a2 4k2a2 4k2a2 ∵ 2 = 2 2- 2 2>0, ?k -1? k -1 ?k -1?
2 2 2 - 2 k a k a 2 2 ∴所求曲线的方程是 x +y + 2 x+ 2 =0, 曲线表示以 k -1 k -1

? k2a ? ? ka ? ? ? ? ? , 0 为圆心,以 ?k2-1 ? ?k2-1?为半径的圆. ? ? ? ?

当 k=1,即 k2-1=0 时, 方程(k2-1)x2+(k2-1)y2-2k2ax+k2a2=0 变为-2ax+a2=0, a 即 x=2,表示线段 OA 的垂直平分线.

方法点评 平面内到两点距离之比为 k 的点的轨迹,当 k=1 时,是这两点的中垂线;当 k≠1 时,是一个圆.


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