高中数学2.2.1.2圆的一般方程课件苏教版必修_图文

第2课时 【课标要求】 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程,能判断二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey +F=0 是否是圆的一般方程,能将圆的一般方程化为标准方程, 从而写出圆心坐标和圆的半径. 2.会用待定系数法求出圆的基本量 D、E、F,从而求出圆的 一般方程. 3.能根据已知条件恰当选择圆的基本量求圆的方程. 【核心扫描】 1.能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;以及 能用待定系数法,由已知条件求出圆的方程.(重点) 2.圆的一般方程的特点.(难点) 自学导引 1.圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 2 2 ? D?2 ? E?2 D +E -4F 配方得:?x+ ? +?y+ ? = 2 ? ? 2? 4 ? (1) 当 D2 + E2- 4F= 0 时,方程表示一个点,该点的坐标为 ? D E? ?- ,- ?; 2? ? 2 (2)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形; (3)当 D2+E2-4F>0 时, 方程表示的曲线为圆, 它的圆心坐标 ? D E? 1 ? ? 为 - ,- ,半径等于 2? 2 ? 2 D2+E2-4F,上述方程称为圆的一般 方程. 2. 比较二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出以下结论:当二元二 次方程具有条件: (1)x2 和 y2 的系数相同,且不等于 0,即 A=C≠0 ; (2)没有 xy 项,即 B=0 ; 2 2 D + E -4AF>0 时,它才表示圆. (3) 想一想: 1. 圆的方程是二元二次方程,二元二次方程一定 表示圆吗? 提示 不一定.圆的方程只是二元二次方程中满足一定条 件的特殊方程. 2.方程x2+y2-2ax+2by=0(a、b不同为零)表示的圆的圆 心坐标和半径分别是什么? 提示 由 x2+y2-2ax+2by=0,得(x-a)2+(y+b)2=a2+b2, 所以该圆圆心坐标为(a,-b),半径为 a2+b2. 名师点睛 1.圆的一般方程的特点 (1)x2、y2 的系数相同且不等于零(x2 和 y2 项的系数如果为不是 1 的非零常数,只需在方程两边除以这个数,就可以将 x2 和 y2 项 的系数化为 1). (2)不含 xy 项. 具有上述两个特点的二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0 仅符合了方程①的形式, 还需满足 D2+E2-4AF>0 的条件, 才能表示圆.因此,上述两个特点(1)、(2)是二元二次方程 Ax2+ Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的必备条件,利用这两个条件, 可以判别二元二次方程的曲线是不是圆. 2.圆的一般方程适用的条件一般是圆过某三点,圆心和半径 不能确定时,用待定系数法确定 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的一般方 程中的待定系数的值. 3.几种特殊的圆:(圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+ F=0,D2+ E2-4F>0) (1)D=0?圆心在 y 轴上;(2)E=0?圆心在 x 轴上;(3)D=E =0?圆心在原点; (4)F=0?圆过原点; (5)D=F=0?圆过原点且 与 x 轴相切;(6)E=F=0?圆过原点且与 y 轴相切;(7)D2-4F= 0?圆与 x 轴相切;(8)E2-4F=0?圆与 y 轴相切. 题型一 二元二次方程表示圆的条件 【例 1】判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示 圆,若能表示圆,求出圆心和半径. [思路探索] 若一个二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2 +Dx+Ey+ F=0 表示圆,则应满足 A=C≠0,B=0,且 D2+E2-4AF>0.即 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆,应满足 D2+E2-4F>0. 解 法一 由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 可知 D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2, 因此,当 m=2 时,它表示一个点; 当 m≠2 时,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m, 1 2 -m),半径为 r=2 D +E2-4F= 5|m-2|. 法二 原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当 m=2 时,它表示一个点; 当 m≠2 时,原方程表示圆的方程. 此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为 r= 5|m-2|. 规律方法 对形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程可 以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由 圆的一般方程的定义判断 D2+E2-4F 是否为正, 确定它是否表示 圆. 【训练1】 若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆的方程,则m 的取值范围是________. 解析 本题考查圆的一般方程的概念,由于方程表示一个圆, 1 则 D +E -4F=(-1) +1 -4×(-m)>0,∴m>- . 2 ? 1 ? - ,+∞? 答案 ? ? 2 ? 2 2 2 2 题型二 待定系数法求圆的一般方程 【例 2】 已知 A(2,-2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC 的外 接圆的方程. [思路探索] 本题考查圆的方程的求法,△ABC 的外接圆是过 A、B、C 三点的圆,由条件不易求得圆心和半径,故可用待定系 数法求解. 解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 A(2, -2), B(5,3),C(3,-1)代入圆的方程,得 ?4+4+2D-2E+F=0, ? ?25+9+5D+3E+F=0, ?9+1+3D-E+F=0, ? ?D=8, ? 解得?E=-10, ?F=-44. ? ∴圆的方程为 x2+y2+8x-10y-44=0. 规律方法 一般地,由题意知道所求的圆经过几点且不易得知 圆心和半径时,常选用一般式

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