2017-2018学年人教A版必修一 1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 课件(27张)_图文

第2课时 函数奇偶性的应用 生活中有很多美好的东西,上面的这两个图片美在什 么地方呢?而具有奇偶性的函数图象都很美,它们又 有哪些性质呢? 1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇 偶性的函数的图象特征; 2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式;(难点) 3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.(重点) 探究点1 根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于y轴对称,如果能够画出偶函数 在y轴一侧的图象,则根据对称性就可补全该函数在y 轴另一侧的图象. 奇函数的图象关于坐标原点对称,如果能够画出函 数在坐标原点一侧的图象,则根据对称性可以补全该函 数在原点另一侧的图象. 例1.画出下列函数的图象 (1)y ? x2 ? 2 x 1 (2)y ? x ? x 分析:(1)根据函数奇偶性的定义,不难知道函数 是偶函数,这样只要画出了在x≥0时的函数图象就 可以根据对称性画出函数在x<0时的图象. (2)函数是奇函数,同样根据对称性解决. 解:(1)当 x ? 0 时, y ? x ? 2x ? ( x ?1) ?1 2 2 其图象是以点(1,-1)为顶点,开口向上的抛物线, 与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0). 此时函数图象在y轴右 半部分如图所示: 根据函数图象的对称 性得到整个函数的图 象,如图. (2)函数是奇函数,可以证明这个函数在区间(0,1]上 单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且在(0,+∞) 上函数值都是正值,函数在(0,+∞)上的最小值为2. (这些都可以根据函数单调性的定义进行证明) 根据函数在(0,+∞)上的性 质,作出函数的图象,如图第 一象限内部分. 根据奇函数图象关于坐标原 点对称画出这整个函数的图 象,如图。 变式训练: 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时, 函数y=f(x)的图象如图所示, (1)作出函数在[-5,0]上的图象. (2)求使函数y<0的x的取值范围. 解:利用奇函数图象的性质,画出函数在[-5,0]上的 图象,直接从图象中读出信息. 由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象 关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,知 它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数 值y<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5). 探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式 例2.已知函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=2x+1,根据下列条件求函数在(-∞,0)上 的解析式. (1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是奇函数. 分析:求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式,就是求 当 x ? (??,0) 时,如何用含x的表达式表示f(x). 能够利用的已知条件是函数在(0,+∞)上的函数解析式, 这样就要把(-∞,0)上的自变量转化到(0,+∞)上的 自变量. 根据偶函数、奇函数的定义,具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的,对偶函 数就是f(x)=f(-x),这样当 x ? (??,0) 时,? x ? (0, ??) , 而在(0,+∞)上的函数解析式是已知的.对奇函数同 样处理. 解:(1)当函数f(x)是偶函数时,满足f(x)=f(-x), 当 x ? (??,0) 时,? x ? (0, ??) , 所以,当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? f (? x) ? 2(? x) ? 1 ? ?2 x ? 1. (2)当函数f(x)是奇函数时,满足f(x)=-f(-x). 当 x ? (??,0) 时,? x ? (0, ??) , 所以,当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?[2(? x) ? 1] ? 2 x ? 1. 变式练习: 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式为 ________. 解析: 当 x<0 时,-x>0, 2 所以 ∴f(-x)=x +2x.又 f(x)是奇函数, 所以 ∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x. ?x2-2x, x≥0, 所以 ∴f(x)=? 2 - x -2x,x<0. ? 答案: ? x 2 - 2 x , ? x ≥ 0? , f( x ) = ? 2 ? - x - 2 x , ? x < 0? . 探究点3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 回顾例1中两个函数的图象 从第(1)个函数图象上可以看出函数在定义域关于 原点对称的区间上的单调性恰好相反,这也是偶函 数的单调性的一般规律. 从第(2)个函数图象上可以看出函数在定义域关 于原点对称的区间上具有相同的单调性,这也是奇 函数的单调性的一般规律. 例3.已知函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减 函数,证明函数在(-∞,0)上也是减函数. 分析:根据证明函数单调性的一般步骤,先在(-∞,0) 上取值,然后作差,通过函数是奇函数把函数在 (-∞,0)上的函数值转化到(0,+∞)上的函数值, 再根据函数在(0,+∞)上是减函数,确定所作的 差的符号,最后根据函数单调性的定义得到证明的 结论. 证明:在(-∞,0)上任取x1<x2,则-x1>-x2>0 因为函数在(0,+∞)上是减函数,所以 f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 由于函数f(x)是奇函数,所以 f (? x1 ) ? ? f ( x1 ), f (?x2 ) ? ? f ( x2 ) 所以-f(x1)+f(x2)<0 ,即f(x1)-f(x2)>0. 根据减函数的定义,函数f(x)在(-∞,0)上是减 函数. 【总结提升】 函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的 区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x

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