湖南师范大学附属中学高一数学课件:1.3.2球的体积


球的体积、表面积
[来源:学科网ZXXK]

2015-2-1

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问题:已知球的半径为 R, 用 R 表示球的体积 . A A

ri
O O.
R 2 r2 ? R ? ( ) , n 2R 2 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

Ci C2 O

Bi B2

r1 ? R ? R,
2

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R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2?, n n
2

2

问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R ?R i ?1 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2?, n n n n
2

R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2,?, n n 3
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ?? Vn ?R 3 12 ? 22 ? ? ? (n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n
?R 3 1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 1 ( n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6

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4 3 定理:半径是R的球的体积 V ? ?R 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.

4 3 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 2 6
变式1.一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

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1.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 ? [ 4 ? ? ( 5 )3 ? 4 ? x 3 ] ? 142 3 2 3 5 3 142 ? 3 3 x ?( ) ? ? 11 .3 2 7.9 ? 4? 由计算器算得:

x ? 2.24 2 x ? 4.5
5

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答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例1.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多大的纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体
侧棱长为5cm

S侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2
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2

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.

32 3?

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3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

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1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 4 3 3.一个公式:半径为R的球的体积是V ? ?R

3

4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
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两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切. 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
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