高中数学人教B版必修四1.3《三角函数的图像与性质复习》word导学案2

三角函数的图像与性质(2) 学 习 目 标 1、能画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图像;了解参数 A,ω ,φ 对函数图像变 化的影响.并且能够根据给出的部分图像求三角函数解析式 2、掌握函数 y=Asin(ω x+φ )的三种图像变换,并能解决图像变换的有关问 题 3、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用 三角函数解决一 些简单实际问题. 知识梳理 1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念 Y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0), x∈[0,+∞) 振幅 周期 频率 相位 ω x +φ 初相 φ A T=____ f= =___ T 1 2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如 下表所示. 自 X ω x+φ y=Asin(ω x+φ ) 0 A 0 -A 0 3.函数 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图像的 步骤 主 学 习 自学检测 1 1.把 y=sin x 的图像上点的横坐标变为原 来的 2 倍得到 y=sin ω x 的图像, 2 则 ω 的值为( ). A.1 B.4 C. 1 4 D.2 3π ? ? ?的图像如图所示, 2. 已知函数 f(x)=2sin?ω x- 4 ? ? ?7π ? ?=__________. 则 f? ? 12 ? 3. (2012·天津)将函数 f(x)=sin ω x(其中 ω >0) 的图像向右平移 是( 1 A. 3 ) 5 3 π ?3π ? ,0?,则 ω 的最小值 个单位长度,所得图像经过点? 4 ? 4 ? B.1 C. D.2 【探究一】三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图像 1、设函 数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω >0)的周期为 π . (1)求它的振幅、初相;(2)用五点法作出它在一个周期上的图像; 合 (3)说明函数 f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变换而得到. 作 探 究 探究提高 1.用“五点法”作图应抓住四条:①将 原函数化为 y=Asin(ω x+φ )(A>0, 2π ω >0)或 y=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0)的形式;②求出周期 T= ;③求 ω 出振幅 A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图像时, 应列出该区间内的特殊点. 2.图像变换法 (1)平移变换 ①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则;②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换 1 ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω <1)或缩短(ω >1)为原来的 倍(纵坐 ω 标 y 不变); ②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐标 x 不变). 【探究二】求函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的解析式 π? ? 1、 已知函数 f(x) =Asin(ω x+ φ ) +b ?ω >0,|φ |< ?的图像的一部分如图 2? ? 所示: (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程 2、已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < 象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 π )的图 2 π ,且图象上一个最低点为 2 M( 2π ,-2). 3 (1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 π 个单位后,再将所得图象上各点的横坐标缩 12 1 小到原来的 ,纵坐标不变,得到 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的解析式, 2 并求满足 g(x)≥ 2且 x∈[0,π ]的实数 x 的取值范围. 探究提高 确定 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的解析式的步骤: (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π M-m 2 ,b= M+m 2 . (2)求 ω ,确定函数的周期 T,则 ω = (3)求 φ ,常用方法有: T . ①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时 A,ω ,b 已知) ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体 如下: “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =0; “第二点”(即 π 图像的“峰点”)为 ω x+φ = ;“第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)为 2 3π ω x+φ =π ;“第四点”(即图像的“谷点”)为 ω x+φ = ;“第五点” 2 为 ω x+φ =2π . 【探究三】三角函数模型的应用 已知某海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记 作 y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据: t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ω t+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函 数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的 结论,判断一天内从上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进 行运动? 探究提高 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面: (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自 变量的意义及自变量与函数之间的对应法则 (2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的 有关知识解决问题,其关键是建模. 课 堂 小 结 本节课收获了什么? 1、 知识方面 2、 数学思想和方法 自查反馈表(掌握

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