江西省临川一中2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


临川一中 2014—2015 学年度高一下学期

期末数学试题
命题人:曾志平 张珍珍 考试时间:120 分钟 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案)
2 * 1.若集合 A ? {x | x ? 7 x ? 0, x ? N } ,则 B ? ? y

? 6 ? N ? , y ? A ? 中元素的个数为( ) ? y
D. 2 个

A.3 个 B.4 个 2.下列结论正确的是( ) A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?

C.1 个

1 ?2 lg x

B.当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 无最大值 x

C.当 x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D.当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x


3. 在 1 和 8 之间插入 3 个数, 使它们与这两个数依次构成等比数列, 则这 3 个数的积 (
2

A.8 B.±8 C.16 D.±16 4.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( ) A.

3 ? R3 3

B.

3 ? R3 6

C.

3 ? R3 24

D. ? R 3

1 6

5.在直角梯形 ABCD 中, AB / / CD , ?ABC ? 900 , AB ? 2 BC ? 2CD ,则 cos ?DAC ? ( A. )

10 10

B.

2 5 5

C.

5 5

D.

3 10 10

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是由三角形和半圆组成,俯视图是 由圆和内接三角形组成,则该几何体体积为( ) A.

2? 1 + 3 2

B.

2? 1 + 6 6

C.

4? 1 + 3 6

D.

2? 1 + 3 2

? x2 ? y 2 ? 4 ? 7. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 Z ? 3 x ? y 的最 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
大值为( A. 2 10 ) B. 5 C. 2 D. 2 5 )

8.已知 m, n, l 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,以下命题正确的是(

①若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则? ∥ ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,? ∥ ?,l ? m ,则 l ? n ; ③若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n ;④若? ? ? , m ∥? , n ∥ ? ,则 m ? n ; A.②③ B.③④ C.②④
2 2

D.③

9. 已知直线 l : x ? ky ? 5 ? 0 与圆 O : x ? y ? 10 交于 A 、 B 两点且 OA ? OB ? 0 ,则 k ( A.2 ) B. ?2 C. ? 2 D. 2

??? ? ??? ?

?

10 . 设 等 差 数 列 ?an ? 满 足 :

sin 2 a4 ? cos 2 a4 ? cos 2 a4 cos 2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 ?1 ,公差 sin(a5 ? a7 )

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n=9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值
范围是( A. ? ? , )

? ?

9? ? ? 8 ?

B. ?? ,

? ?

9? ? 8 ? ?

C.

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6 ?
2

D. ?

? 7? 4? ? , ? ? 6 3 ?

11.已知 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ? 1 ,若 4 x ? y ? xy ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
2



) .

A. m ?

17 16

B. m ?

17 16

C. m ?

17 16

D. m ? 0

12 .若函数 f ( x) 在给定区间 M 上,存在正数 t ,使得对于任意 x ? M ,有 x ? t ? M ,且

f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的是(
A.函数 f ( x) ?



4 ? x 是(1,+∞)上的 1 级类增函数 x
( x ?1)

B.函数 f ( x) ? log 2
2

是(1,+∞)上的 1 级类增函数

C.若函数 f ( x) ? x ? 3 x 为 13.已知球 O 是棱长为 6 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截 面面积为___________. 14.在圆 C: ( x - 2) + ( y - 2)2 = 8 内,过点 P(1, 0) 的最长的弦为 AB ,最短的弦为 DE , 则四边形 ADBE 的面积为 15.已知 a n ? 2
n?2
2



b 1 2 , a n ? ( ) bn , c n ? n 求数列 {c n } 前 n 项的和 s n ? ____ . 2 an
133 . 4

16.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ? n 2 ? 13n ?

当 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? a3 a4 a5 ? ??? ? an an ?1an ? 2 取得最大值时, n 的值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
17. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x)=4 3 sin x cos x-4sin 2 x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c , a ? 2 ,若对任意的 x ? R 不等 式 f ( x) ? f ( A) 恒成立,求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本题满分 10 分)已知定圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过 A(?1,0)
2 2

的一条动直线 l 与直线相交于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明: l 过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

19. (本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 3S 2 ? 2 , a2 n ? 2an , (1)求等差数列 {an } 的通项公式 an . ( 2 )令 bn ?

2n ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .证明:对任意 n ? N * ,都有 (n ? 1) 2 an 2

3 1 ? Tn ? . 16 4

20. (本小题满分 12 分)已知 E 是矩形 ABCD(如图 1)边 CD 上的一点,现沿 AE 将△DAE 折起 至△D1AE(如图 2) ,并且平面 D1AE⊥平面 ABCE,图 3 为四棱锥 D1—ABCE 的主视图与左视 图.

(1)求证:直线 BE⊥平面 D1AE; (2) 求点 A 到平面 D1BC 的 距离.

21. (本题满分 13 分)已知圆 C: x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 .
2 2

(1)求证:对 m ? R, 直线 L 与圆 C 总有两个不同交点; (2)设 L 与圆 C 交于不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (3)若定点 p (1,1) 分弦 AB 所得向量满足 AP ?

1 PB ,求此时直线 L 的方程. 2

22. (本题满分 13 分)对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b ,若 f ( 2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称
? :设函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (1) ? 3 . (a, b) 为函数 f ( x) 的一个“P 数对”

(1)若 (a, b) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a, b 的值; (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 )(n ? N *) ;
n

(3)若( ? 2,0 )是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | , 求 k 的值及 f ( x) 茌区间 [1,2 )(n ? N *) 上的最大值与最小值.
n

临川一中 2014――2015 年高一数学参考答案

一选择题: 题号 1 2 答案 B D 二填空题:13.

3 A

4 C

5 D

6 B

6? 14. 4 6

7 A 8n 15. n 2
? ?

8 D 16.

9 B 9
, k? ?

10 A

11 B

12 C

17.(Ⅰ) 解得所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? (Ⅱ)由题意得当 x ? A 时,解得 A ?

?
3

? ?

k ?Z 6 ? ? . . . . .5 分

?
6

,所以 S ?ABC ?

1 1 bc sin A ? bc 由余弦定理得 2 4

4 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 3bc ? 2bc ? 3bc 即 bc ?

4 ? 4(2 ? 3) 2? 3

10 分

18.(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) . 将圆心 C (0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C (Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意; 程为 y ? k ( x ? 1) , 由于 PQ ? 2 3 , 由 CM ? 为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 19.(1) .? 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方

?k ?3 k ?1
2

? 1 ,解得 k ?

4 . 故直线 l 的方程 3

4a1 ? 6d ? 3(2a1 ? d ) ? 2 ?a1 ? 2 ,解得 ? ,所以 an ? 2n, n ? N * ?d ? 2 ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2[a1 ? (n ? 1)d ] ?
2n ? 1 1 1 1 ? [ 2? ], 2 2 (n ? 1) 4n 4 n (n ? 1) 2

5分

(2) .因为 an ? 2n, n ? N * ,所以 bn ?

则 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ] = [1 ? ]. 2 4 2 2 3 3 4 n ( n ? 1) 4 (n ? 1) 2
*

因为 n ? 1, n ? N ,所以

20.(1)证明:由主视图和左视图易知: AD ? DE ? EC ? BC ? 1 ∴ AE ? BE ?

3 1 ? Tn ? . 16 4
2

.12 分

2, AB ? 2

∴ AE ? BE ? AB
2

2

? BE ? AE

? ? 又 ? 平面D1 AE ? 平面ABCE ? ? BE ? 平面D1 AE 平面D1 AE ? 平面ABCE ? AE ? ? ? D1M ? AE

(5 分)

? ? (2)分别取 AE , BC 中点 M,N 又 ? 平面D1 AE ? 平面ABCE ? ? D1 A ? D1 E ? 1 平面D1 AE ? 平面ABCE ? AE ? ?

? ? ? ? BC ? 平面D1MN ? D1 M ? 平面ABCE MN ? BC D1M ? MN ? M ? ?

? D1M ? BC

7分

? BC ? D1 N

Rt ?D1MN 中, D1M ?

2 3 , MN ? 2 2

? D1 N ?

11 2

设 A 到平面 D1 BC 的距离为 d

11 2 2 22 1 1 (12 分) ?1? d ? ? 2 ?1 ? d ? ? S ?D1BC ?d ? ? D1M ? S ?ABC 2 2 11 3 3
21(1)直线恒过定点(1,1) ,且这个点在圆内,故直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点.(2) 当 M 不与 P 重合时,连接 CM、CP,则 CM ? MP,设 M(x,y) 则 x ? ( y ? 1) ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1, 化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2 2 2 2 2

当 M 与 P 重合时,满足上式. (3)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 )由 AP ?

8分

1 PB 得 x2 ? 3 ? 2 x1 .将直线与圆的方程联立得: 2

(1 ? m 2 ) x 2 ? 2m 2 x ? m 2 ? 5 ? 0
3 ? m2 ,代入(*)得 m ? ?1 1 ? m2

..(*)? x1 ? x2 ?

2m 2 1 ? m2

可得 x1 ?

直线方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

13 分

22: (1)由题意知 ?

?af (1) ? b ? f (2) ?3a ? b ? 6 ?a ? 1 ? ? ,即 ,解得: ?af (2) ? b ? f (4) ?6a ? b ? 9 ?b ? 3

4分

(2)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? f (1) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . 8分

(3)当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 ,解得 k ? 4 , 所以, x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的值域是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“ P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ? [2k ?1 , 2k ) (k ? N*) 时,

x 2
k ?1

? [1, 2) ,

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? (?2) k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 , 2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 , 2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 , 2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ?1 ,最小值为 ?2n ; 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2n ?1 . 13 分 12 分


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