高考对导数问题考查的五大热点_图文

中学数学杂志( 高中)

2004 年第 3 期

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高考对导数问题考查的五大热点
安徽省太湖中学 导数进入中学数学教材之后, 给传统的 中学数学内容注入了生机与活力, 为中学数学 问题( 如函数问题、 不等式问题、 解析几何问题 等) 的研究提供了新的视角、 新的方法, 拓宽 了高考的命题空间. 近几年的高考, 在逐年加 大对导数问题的考查力度 , 不仅题型在不断变 化, 而且问题的难度、 深度与广度也在不断加 大. 下面笔者将结合某些高考题或高考模拟 题和自己的教学实践, 谈谈高考对导数问题考 查的五大热点, 供大家复习时参考. 1 利用导数的几何意义处理曲线的公切线 例 1 ( 2003 年全国高考新课程卷文科试 题) 已知抛物线 C 1: y = x 2 + 2x 和抛物线 C 2 : y = - x + a. 当 a 取什么值时, C 1 与 C 2 有且 仅有一条公切线?写出此公切线的方程 . 本题主要考查导数的几何意义、 公切线方 程的两种表示法以及二次方程的相关知识. 解 式: ? y - y 1 = ( 2x 1 + 2) ( x - x 1 ) ; ? y - y 2 = - 2x 2 ( x - x 2) . 因为 y 1 = x2 1+ 2x 1, y 2 = x2 ? 变为 y = ( 2 x 1 + 2) x - x 2 2 + a, 所 ? 、 1和 y = - 2x 2 x + x 2 + a. 于是 消去 x 2 得, 2 x 1 + 2x 1 + 1 + a = 0. 由题意知, $ = 4 - 8( 1+ a) = 0, 所以 a = - 1 , 此时 , x 1 = 2 1 1 3 , x 2 = - , y 1 = y 2 = - , P1、 P 2 重合, 故 2 2 4
2 2 2

246400

李昭平

1 当 a = - 2 时, C 1 和 C 2 有且仅有一条公切 1 线, 且公切线方程为 y = x . 4 点评 ? 本题若用方程组求解, 则运算 量大、 过程繁琐, 很容易出现错误. 导数的几 何意义 为这 类问 题的 解 决提 供了 新方 法 . ? f c( x 0 ) 的几何意义是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x - , f ( x 0 ) ) 处的切线斜率 , 其切线方程可以 表示为 y - f ( x 0 ) = f c( x 0 ) ( x - x 0 ) . ? / y = k 1 x + b 1 与 y = k 2 x + b 2 0 表示同一条直线的 充要条件是/ k 1 = k 2 且 b 1 = b 20 , 在曲线的 公切线问题中常常以此来构建方程 . 2 利用导数研究三次函数、 简单分式函数 例2 x= 已知 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d 在 的性质 2 与 x = 1 时都取得极值 . ( 1) 求 b 、 3 c 之值 ; ( 2) 若对任意 x I [ - 1, 2] , f ( x ) <

问题

设公切线 l 切 C 1 于 P 1( x 1 , y 1 ) , 切

3 d 2 恒成立, 求 d 的取值范围. ( 2003 年安徽 省春季高考题 ) 本题主要考查利用导数研究函数的极值 与最值的方法 . 解 ( 1) f c( x ) = 3 x 2 + 2 bx + c. 由题意知 , - 2 , 1 是方程 3x 2 + 2 bx + c 3 2 2b - 3 + 1=- 3 = 0 的两根 , 于 是 所以 b 2 c @1= , 3 3 1 =, c = - 2. 2 1 ( 2)f ( x ) = x 3 - x 2 - 2x + d , f c( x ) = 2 2 3x - x - 2

C 2 于 P 2( x 2, y 2 ) , 则 l 的方程有两种表达方

2x 1 + 2 = - 2 x 2
2 - x2 1 = x 2 + a,

36 当 x I [ - 1, I (2 ) 时, f c( x ) > 0; 当 x 3

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0 ) ( 或 f c( x ) < 0) ; c. 确定递增区间 ( 或递减 区间 ) . ? 求可导函数 f ( x ) 极值的一般步骤 是: a. 求导数 f c( x ) ; b. 求方程 f c( x ) = 0 的 全部实根; c. 判 定 f c( x ) 在 实根左、 右的符 号. 求闭区间上的最值时, 只要将极值与端 点的函数值作比较 . 3 已知函数的单调性 , 反过来确定函数式 中待定字母的值或范围 例 4 ( 2000 年全国高考新课程卷试题 ) 设函数 f ( x ) = x + 1 - ax , 其中 a > 0. 求 a 的取值范围, 使函数 f ( x ) 在区间 [ 0, + ] ] 上是单调函数 . 本题主要考查复合函数的求导法则、 可导 单调函数的充要条件以及分类讨论的思想. x 解 f c( x ) = - a. 函数 f ( x ) 2 x + 1 在[ 0, + ] ) 上是单调函数, 即 f c( x ) \ 0 或 f c( x ) [ 0 在 [ 0, + ] ) 上恒成立. x ? 由 f c( x ) \ 0, 得 a [ . 在[ 0 , 2 x + 1 x + ] )上 2 的最小值是 0, 所以 a [ 0 , x + 1 此与题设 a > 0 矛盾. x ? 由 f c( x ) [ 0, 得 a \ = 2 x + 1 1 y 1( x y+ ] ) , 在 ( 0, + ] ) 上 1 1+ 2 x 1 1 1+ 2 x 连续递增 , 且所有值都小于 1, 所以
2

2 , 1) 时, f c( x ) < 0; 当 x I ( 1 , 2] 时, 3 f c( x ) > 0; 所以当 x = - 2 时 , f ( x ) 有极大 3 22 22 值 + d . 又 f ( 2) = 2+ d > + d, 所以当 27 27 x I [ - 1, 2] 时 , f ( x ) 的最大值为 2 + d. 对任意 x I [ - 1, 2] , f ( x ) < 3 d 恒成立 Z f ( x ) max < 3d 2, 即 2 + d < 3d 2, 所以 d > 1 或d < 2 . 3 例 3 ( 2004 年合肥市高考模拟题) 研究
3 2

函数 f ( x ) = x + 3 a 的单调性 . x 本题 主要考查 导数与函 数单调 性的关 系, 注意分类讨论的思想方法 . 解 f c( x ) = 3x 2 - 3 a = 32 ( x 4 - a) . x2 x ? 当 a > 0 时, 由 f c( x ) = 0 , 得 x 1 =
4

4

a, x2 = a)( x x 4

a , f c( x ) =

3 2 (x + x2
4

a) ( x +

4

a) .
4 4 4

(- ] , -

a)

(-

a, 0)

( 0, -

a)

(

a, + ] )

f c( x )

+

-

-

+

从上边 f c( x ) 的符号随 x 取值变化规律 4 发现 , 此时 f ( x ) 的单增区间是(- ] , - a) 和( a, + ] ) , 单减区间是( 4 4 4

a, 0) 和( 0,

a).

? 当 a = 0 时, f c( x ) = 3x 2 \ 0, 此时 f ( x ) 的定义域为(- ] , + ] ) . 因此 f ( x ) = x 3 在 (- ] , + ] ) 内单增 . 3 4 ( x - a) > 0, x2 定义域为(- ] , 0) G ( 0, + ] ) . 此时单增区 间是(- ] , 0) 和 ( 0, + ] ) , 没有单减区间. ? 当 a < 0 时, f c( x ) = 点评 ? 用传统数学教材中的知识与 方法往往难以解决象例 2、 例 3 这样函数问题 的单调性 , 导数无疑为这类问题的解决提供 了方法. ? 求可导函数 f ( x ) 单调区间的一 般步骤是 : a. 求 f c( x ) ; b . 解不等式 f c( x ) >

a \ 1. 综合 ? 、 ? 可知 , 当 a \ 1 时 , 函数 f ( x ) 在区间[ 0, + ] ) 上是单调函数 . 点评 ? 象例 4 这种逆向设置问题 , 是 今后高考命题的一种趋势, 它充分体现了高 考从/ 知识立意0 向/ 能力立意0 转变的思想 . 对此 , 复习中应引起高度重视 . ? 可导函数 f ( x ) 在( a, b) 上是单增 ( 或单减) 函数的充 要条件是: 对于任意 x I ( a, b) , 都有 f c( x )

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37 很快寻得正确的解题思路. 若从导数知识入 手, 解题则十分 顺当, 使人产 生耳目一新之 感, 体现了导数较高的思维价值. 5 利用导数处理实际生活中的优化问题 例 6 ( 2001 年全国高考新课程卷试题 ) 用总长 141 8 米的钢条做一个长体容器的框 架. 如果所做容器的底面的一边比另一边长 多 015 米, 那么高是多少时容器的容积最大 , 并求出它的最大容积. 本题主要考查利用导数求实际问题中的 最值 . 解 设该容器底面矩形短边长为 x 米 , 则另一边长为 ( x + 0. 5) 米 , 此容器的高为 h = 14. 8 - x - ( x + 0. 5) = 3. 2 - 2x . 4 于是此容器的容积为 V( x ) = x ( x + 0. 5) ( 3 . 2 - 2 x ) = - 2x 3 + 2 . 2x 2 + 1. 6x , 其中 0 < x < 1. 6. 由 Vc( x ) = - 6x + 4. 4x + 1. 6 = 2 ( 15x 2 - 11 x - 4) = 0, 得 x 1 = 1, x 2 = 5 4 ( 不合题意, 舍去 ) 15 因为 V( x ) 在 ( 0, 16) 内 只有 一个 极值 点, 而实际问题又必有最大容积 , 因此, 当 x = 1( 米) 时 , V( x ) 有最大值 V ( 1) = 1 @ 1. 5 @ 1. 2 = 1. 8( 米3 ) , 此时 h = 1. 2( 米) . 答: 当高为 1. 2 米时 , 长方体容器的容积 最大 , 且最大容积 1. 8 米 . 点评 这是一道实际生活中的最值问 题, 以往在建立目标函数之后 , 常常要通过配 凑变形转化为符合二元或三元均值不等式的 形式求最值 . 如何配凑, 往往是一个难点 , 不 易把握. 有了导数知识, 求目标函数的最值 就变得非常简单. 可见, 导数的引入, 开辟了 了解最值问题的新途径.
3 2

\0( 或 f c( x ) [ 0) , 且 f c( x ) 在 ( a, b ) 的任意 子区间上都不恒为零. 在高中阶段 , 主要出 现的是有一个或多个使 f c( x ) = 0 的点 x 的 情况. ? 本题若用函数单调性的定义求解, 将会十分繁难, 很难获得正确结果 . 4 题 例5
4

利用导数处理含参数的恒成立不等式问 ( 2003 年安庆市高考模拟题) 已知

不等式 x + 2 ax 2 - a + 2 > 0 对任意实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 本题主要考查求函数极值、 最值的方法 以及导数的应用意识 . 解
3

令 f c( x ) = x + 2 ax - a+ 2, f c( x )
4 2 2

= 4 x + 4 ax = 4 x ( x + a) . ? 当 a \ 0 时, 由 f c( x ) = 0, 得 x = 0. 且当 x > 0 时 , f c( x ) > 0, 当 x < 0 时, f c( x ) < 0. 所以 f ( 0) = - a + 2 是 f ( x ) 的最小值. f ( x ) > 0 在 (- ] , + ] ) 上 恒 成 立 Z f ( 0) = - a + 2 > 0, 即 a < 2. 所以 0 [ a < 2. ? 当 a < 0 时 , 由 f c( x ) = 0, 得 x 1 = 0, x2 = x

- a, x3 =
- ] , - a -

- a.
- a, 0 0, - a - a, + ]

f c( x )

-

+

-

+

从右表可知, f ( 0) = - a + 2 是极大值, f( ? - a) 是极小值, 且为 f ( x ) 在(- ] , + ] ) 上的最小值. 因此, f ( x ) > 0 在 (- ] , + ] ) 上恒成立 Zf ( ? - a) = - a 2 - a + 2 > 0, 即 - 2 < a < 1. 所以 - 2 < a < 0. 综合 ? 、 ? 可知 , 实数 a 的取值范围是 - 2 < a < 2. 点评 本题是求一元四次恒成立不等 式中参数的取值范围 , 在短时间内往往难以


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