2011届高三数学第一次模拟检测试题1


吉林省实验中学 2011 届高三第一次模拟考试

数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.设集合 I={―2,―1,0,1,2},A={1,2},B={―2,―1,2},则 A ? (CIB)=( A.{0,1,2} B.{1,2} C.{2} D.{1} 2.函数 f ( x) ? )

3x 2 ? 2lg(1? x ) 的定义域是 3x ? 1
B. ( ? ,1)





A. ( ? ,?? )

1 3

1 3

C. ( ? , )

1 1 3 3

D. ( ??, ? ) ( )

1 3

3.若 p:|x+1|>2,q:x>2, ,则┐p 是┐q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |x| 4. 设 a>1,函数 f(x)=a 的图像大致是





5.如图是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的 表面积为 ( ) A. (12 ? 4 3 )? C. ( 20 ? 4 3 )? B.20 ? D.28 ? )

6.已知 a=(1,2) ,b=(3,-1)且 a+b 与 a-λb 互相垂直,则实数的 λ 值为 ( A.-

6 11

B.-

11 6

C.

6 11

D.

11 6


7. 过点 ( 3, -2) 的直线 l 经过圆 x2+y2-2y=0 的圆心, 则直线 l 的倾斜角大小为 ( A.150° B. 60° C.30° 8.在△ABC 中,已知 a=2b cosC,那么这个三角形一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D. 120° ( D.等腰直角三角形



?a x ( x ? 1) ? 9. f ( x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 ( a ?(4 ? ) x ? 2( x ? 1) ? 2



A. (1,+∞) B.[4,8] C. (4,8) D. (1,8) 10.2008 年 3 月份开始实施的《个人所得税法》规定:全月总收入不超过 2000 元的免征个 人工资、薪金所得税,超过 2000 元的部分需征税,设全月总收入金额为 x 元,前三级 税率如下表: 级数 全月应纳税金额 x-2000 元 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元 部分 超过 2000 元至 5000 元部分 …… 税率

1 2 3 ……

5% 10% 15% ……

当全月总收入不超过 4000 元时,计算个人所得税的一个算法框图如上所示,则输出①, 输出②分别为 ( ) A.0.05x,0.1x B.0.05x, 0.1x-225 C.0.05x-100, 0.1x D.0.05x-100, 0.1x-225

?x ? y ? 5 ? 0 ? 11.若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ? x ? 3 ?
A. a ? 5 B. a ? 8 C. a ? 5 或 a ? 8 D. 5 ? a ? 8



12.对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数,例如[2]=2; [ 2.1 ]=2;[ ? 2.2 ]= ? 3 , 这个函数[ x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广 泛的应用。那么 [log 2 1] ? [log 2 2] ? [log 2 3] ? [log 2 4] ? ? ? [log 2 64] 的值为( A.21 B.76 C. 264 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) D.642 )

13.已知数列 {a n } ,其前 n 项和 S n ? n 2 ? n ? 1, 则a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 = 14.函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域是
cos ? ? sin ? 2 ? 1 15.已知 tan(? ? ? ) ? , 的值为 . tan( ? ? ) ? ,则 5 4 4 cos ? ? sin ? 16.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m ? n 的概率为 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 12 分)



.

已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且 A ? B=B,求实数 m 的 取值范围。

18. (本小题满分 12 分)

1? x (Ⅰ)求证:对于 f ( x ) 的定义域内的任意两个实数 a, b , 1? x a?b 都有 f ( a) ? f (b) ? f ( ); (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性,并予以证明. 1 ? ab
已知函数 f ( x) ? lg

19. (本小题满分 12 分) 为了研究某高校大学新生学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名进校学生的视 力情况,得到频率分布直方图,如图.已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列 ?a n ? 的 前四项,后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ?的前六项. (I)求等比数列 ?a n ? 的通项公式; (II)求等差数列 ?bn ?的通项公式; (III)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率 ? 的大小.
频率 组距

0.3 0.1 4.3 4.44.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

视力

20. (本小题满分 12 分) 一个四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,且 SA ? a, SB ? SD ?

2a 。

(1)求证: SA ? 平面 ABCD ; (2)若 SC 为四棱锥中最长的侧棱,点 E 为 AB 的中点.求直线 SE.与平面 SAC 所成角 S

A

D

的正弦值。

21. (本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (sin(? x ? ? ), 2) , b ? (1, cos(? x ? ? )) , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?

?

? ? ? ? f ( x ) ? (a ? b) ? (a ? b) ,若 y ? f ( x ) 的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之
间的距离为 1,且过点 M (1, ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式. (Ⅱ)当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.

? .函数 4

7 2

选考题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙O 的直径 , AC 是弦 , ∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D, DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. E C D F A O B

(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若

AC 3 AF ? ,求 的值. AB 5 DF

23. 选修 4-4:几何证明选讲 在曲线 C1 : ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上求一点,使它到直线 ? y ? sin ?

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? 2 (t为参数) C2 : ? 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。 ? y ? 1? 1 t ? ? 2

24.选修 4-5:不等式选讲 已知|x-4|+|3-x|<a (1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围 (2)若不等式有解,求 a 的范围

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)

题号 答案

1 A

2 B

3 A

4 A

5 B

6 C

7 D

8 C

9 B

10 D

11 D

12 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

3 3 16. 22 5 三.解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且 A ? B
13.100 14. (??,1] 15. =B,求实数 m 的取值范围。 解:化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A ……………… 2 分

根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B=φ 时,△=m2-8<0 ∴ ?2 2 ?m?2 2 ……………… 4 分

?? ? 0 当 B={1}或{2}时, ? ,m 无解……………8 分 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? m 当 B={1,2}时, ? ………………10 分 ?1 ? 2 ? 2

∴ m=3 综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? lg

………………11 分 ……………… 12 分

1? x (Ⅰ)求证:对于 f ( x ) 的定义域内的任 1? x a?b 意两个实数 a, b ,都有 f ( a) ? f (b) ? f ( ); (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性,并予以 1 ? ab
证明. 解:函数定义域为 x ? 1 ? x ? 1 ? (?1,1) …………………………………2 分

?

?

(Ⅰ)证明: ?a, b ? (?1,1), f (a) ? f (b) ? lg

1? a 1? b (1 ? a )(1 ? b) , ? lg ? lg 1? a 1? b (1 ? a )(1 ? b) ………………………………………4 分

a?b ? a?b ? 1 ? ab ? lg 1 ? ab ? a ? b ? lg (1 ? a )(1 ? b) , f? ? ? lg a?b (1 ? a )(1 ? b) 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? ab ? 1? 1 ? ab 1?
所以 f (a) ? f (b) ? f ?

? a?b ? ? ? 1 ? ab ?

.……………………………………7 分

(Ⅱ) ?x ? (?1,1), f (? x) ? f ( x )

= lg

1? x 1? x ? 1 ? x ?? 1 ? x ? ? lg ? lg ? ?? ? ? lg1 ? 0 1? x 1? x ? 1 ? x ?? 1 ? x ?



f (? x ) ? ? f ( x ) ,所以

f ? x ? 是奇函数 ………………………12 分

19. (本小题满分 12 分)为了研究某高校大学新生学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名进校学生的视力情况,得到频率分布直方图,如图.已知前 4 组的频数从左到右依次是 等比数列 ?a n ? 的前四项,后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ?的前六项.(Ⅰ) 求等比数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求等差数列 ?bn ?的通项公式;(Ⅲ)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估 计该校新生的近视率 ? 的大小.
频率 组距

0.3 0.1 4.3 4.44.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

视力

解: (I)由题意知: a1 ? 0.1? 0.1? 100 ? 1 , a2 ? 0.3 ? 0.1? 100 ? 3. ∵数列 ?a n ? 是等比数列,∴公比 q ?

…2 分

a2 ? 3, ∴ an ? a1q n ?1 ? 3n ?1 .……4 分 a1

(II) ∵ a1 ? a2 ? a3 =13,∴ b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 87 ,…6 分 ∵数列 ?bn ?是等差数列,∴设数列 ?bn ?公差为 d ,则得, b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d ∴ 6b1 ? 15d =87,? b1 ? a 4 ? 27 ,? d ? ?5 ……8 分 ? bn ? 32 ? 5n …10 分 (III) ? =

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 b ?b ? 0.91 , (或 ? =1 ? 5 6 ? 0.91 )…11 分 100 100
………………………12 分

答:估计该校新生近视率为 91%.

20. (本小题满分 12 分)一个四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, S 且 SA ? a, SB ? SD ? 2a 。(1)求证: SA ? 平面 ABCD ;

A E

D

(2)若 SC 为四棱锥中最长的侧棱,点 E 为 AB 的中点. 求直线 SE.与平面 SAC 所成角的正弦值。 (1)证明: SA ? 平面 ABCD ,

? SA ? a, SB ? 2a, SD ? 2a

? SA ? AB, SA ? AD ,∴ SA ? 平面 ABCD .

….6 分

(2)解:作 EF⊥AC 交于 F,连接 SF,易证 EF⊥SA ∴EF⊥平面 SAC( 8 分) ∴∠ESF 是直线 SE.与平面 SAC 所成角。 EF=

1 2 BD ? a 4 4

SE=

5 EF 10 a (10 分) sin ?ESF ? ? ….12 分 2 SE 10
? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin(? x ? ? ), 2) ,b ? (1, cos(? x ? ? )) ,? ? 0 ,

? ? ? ? ? .函数 f ( x ) ? ( a ? b) ? ( a ? b) ,若 y ? f ( x ) 的图象的一个对称中心与它相 4 7 邻的一个对称轴之间的距离为 1,且过点 M (1, ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ) 2

0 ?? ?

当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间. 解: (1) f ( x ) ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? ( a ) ? (b) ?| a | ? | b |
2 2 2 2

? sin 2 (?x ? ? ) ? 4 ? 1 ? cos 2 (?x ? ? )

? ? cos(2?x ? 2? ) ? 3 ……………………………………………………………3 分
2? ? ? 4 ,故 ? ? …………………………………………4 分 2? 4 7 7 ? 又图象过点 M (1, ) ,所以 ? 3 ? cos( ? 2? ) 2 2 2 1 ? ? 即 sin 2? ? ,而 0 ? ? ? ,所以 2? ? 2 4 6 ? ? ∴ f ( x ) ? 3 ? cos( x ? ) ……………………………………………………6 分 2 6 ? ? ? 2? (2)当 ? 1 ? x ? 1 时, ? ? x ? ? 3 2 6 3 ? ? ? 1 ∴当 ? ? x ? ? 0 时,即 x ? [ ?1,? ] 时, f ( x ) 是减函数 3 2 6 3 ? ? 2? 1 当0 ? x ? ? 时,即 x ? [ ? ,1] 时, f ( x ) 是增函数 2 6 3 3 1 1 ∴函数 f ( x ) 的单调减区间是 [ ?1, ? ] ,单调增区间是 [ ? ,1] ………………12 分 3 3
由题意得周期 T ? 22.如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F.

(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若

AC 3 AF ? ,求 的值. AB 5 DF

略证 (1) 连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2 分 ∴OD∥AE 又 AE⊥DE …………3 分 ∴DE⊥OD,又 OD 为半径 ∴ DE 是的⊙O 切线 …………5 分 ⑵ 提示:过 D 作 DH⊥AB 于 H 则有∠DOH=∠CAB Cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 ? AB 5

……………………6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x ∴AH=8x AD2=80x2 由△AED∽△ADB 可得 AD2=AE·AB=AE·10x 又由△AEF∽△DOF ∴

∴AE=8X…………8 分

可得 AF∶DF= AE∶OD =

8 ; 5

AF 8 = ……10 分 DF 5

23 . 在 曲 线 C1 : ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上 求 一 点 , 使 它 到 直 线 C 2 : ? y ? sin ?

1 ? x ? ? 2 2 ? t ? ? 2 (t为参数) 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。 ? 1 ? y ? 1? t ? ? 2
直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 2 -1=0 ……………………………………2 分 设所求的点为 P(1+cos ? ,sin ? ), ……………………………………………3 分 则 C 到直线 C2 的距离 d=
| 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 1 | 2

…………………………5 分

=|sin( ? + 当? ?

? )+2|……………………………………7 分 4

? 3? 5? ? 时,即 ? = 时,d 取最小值 1………………………………9 分 4 2 4
2 2 ,)……………………………………10 分 2 2

此时,点 P 的坐标是(1-

24.解法一:(1)<1> x≥4 时 (x-4)+(x-3) < a f(x)=2x-7 在 x≥4 上单调递增 x=4 时取最小值 1。 若要求不等式无解,则 a 小于或等于该最小值即可。即 a ≤ 1 ……2 分 <2.> 4>x>3 时 (4-x) + (x-3) < a 1<a 若要求不等式无解,则 a ≤ 1。否则不等式的解集为全集。…………………4 分 <3>x ≤ 3 时 (4-x)+(3-x) < a 7-2x < a 在 x ≤ 3 区间,不等式左端的函数单调递减。在 x=3 时取最小值 1。 若要求不等式无解,则 a ≤ 1 综合以上 a ≤ 1 ………………………………6 分 (2)若不等式有解,则 a 的范围为原范围的补集。即 a > 1 ……………10 分

另解:<1>:x≥4 时:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因为 x≥4,所以 2x-7≥1 <2>: 3≤x<4 时:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1 <3>:x<3 时:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因为 x<3,所以-x>-3,所以 7-2x>1 可见|x-4|+|3-x|最小值为 1,要使|x-4|+|3-x|<a 是空集, 只需 a 小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以 a≤1 所以有解时是 a>1 解法二: 设 y=|x-4|+|x-3|,(|x-3|=|3-x|)

( x ? 4) ?2 x ? 7 ? 等价于: y ? ?1 ( 3 ? x ? 4) ?? 2 x ? 7 ( x ? 3) ?
其图象为: 由图象知: 当 a≤1 时,|x-4|+|3-x|<a 无解 当 1<a 时,|x-4|+|3-x|<a 有解


相关文档

2011届高三数学第一次模拟检测考试试题1
2011届高三数学考前模拟检测试题1
2011届高三数学第一次模拟检测考试试题5
2011届高三数学第一次模拟检测考试试题4
2011届高三数学模拟冲刺检测试题1
2011届高三数学第一次模拟检测考试试题3
2011届高三数学冲刺模拟检测试题1
2011届高三数学第一次模拟检测试题3
深圳市2011届高三数学第一次模拟检测考试试题及答案(详细版)
2011届高三数学第一次模拟检测试题2
电脑版