高考数学(文)二轮复习:专题3第1讲《数列的通项与求和问题》ppt课件_图文

?第 1 讲 数列的通项与求和问题 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 ?高考定位 高考对本讲知识主要以解答题的形 式考查以下两个问题:1.以递推公式或图、表 形式给出条件,求通项公式,考查学生用等差、 等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属 中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或 等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求 和公式及转化与化归思想的应用,属中档题. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 热点一 数列的通项问题 [ 微题型 1] 由 Sn 与 an 的关系式,求 an )设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已 【例 1-1】 ( 2 0 1 3 · 广 东 卷 节 选 2Sn 1 2 2 知 a1=1, n =an+1-3n -n-3,n∈N*, 求 数 列 {an}的 通 项 公 式. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 解 1 3 2 2 由 题 意 , 2Sn=n a n+1-3n -n -3n, 1 2 3 2 所以,当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an-3(n-1 ) - (n - 1 ) - 3 (n -1 ), 两 式 相 减 得 2 -1 ) -3, 整 理 得 (n+1 ) an=n a n+1-n(n+1 ), an+1 an a2 a1 即 - =1, 又 2 - 1 =1 , n+1 n 故 数 列 ?an? ? ?是 首 项 为 ?n? 1 2 2an=n a n + 1 - ( n- 1 ) an-3(3n -3n+1)-(2n a1 1 =1, 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 公 差为1的 等 差 数 列 , an 所 以 n =1+(n-1 ) ×1=n, 所 以 an=n2, 所 以 数 列 {an}的 通 项 公 式 为 an=n2,n∈N*. 规律方法 给出 Sn 与 an 的递推关系,求 an,常用思路是:一 是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再求其通项 公 式 ; 二 是 转 化 为 再求 an. Sn 的 递 推 关 系 , 先 求 出 Sn 与 n 之间的关系, 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 [ 微题型 2] 已知 an 与 an+1 的递推关系式求 an 【例 1-2】 已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)a2 n+1-(n+ 1)a2 n+anan+1=0,求数列{an}的通项. 解 2 由(n+2 ) a2 - ( n + 1 ) a + n 1 n+anan+1=0, 得(n+2 ) ?an+1? ? ?2 an+1 ? a ? + a =n+1, n ? n ? an+1 n+1 所 以 a = . n+2 n a2 2 2 an an-1 n n-1 又 a1=1,则 an= · · ?· a1= · · ?· 1= . a1· 3· an-1 an-2 n+1 n n+1 故 数 列 {an}的 通 项 公 式 2 an= . n+1 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 规律方法 已知 an 与 an+1 的 关 系 式 求 通 项 an 时,常有以下类 型:①形如 an+1=an+f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法; ②形如 an+1=an· f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法;③形 如 an+1=pan+q(p,q 均为常数且 p≠1,q≠0)解决方法是将其 构造成一个新的等比数列;④形如 an+1=pan+qn(p,q 均为常 数,pq(p-1)≠0)解 决 方 法 是 在 递 推 公 式 两 边 同 除 以 qn 1. + 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 n2+n 【训练 1】 ( 2 0 1 4 · 湖 南 卷 )已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 2 , n ∈N*. ( 1 ) 求数列{an}的通项公式; ( 2 ) 设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 解 ( 1 ) 当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n ?n-1?2+?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 - =n. 2 故数列{an}的通项公式为 an=n. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 ( 2 ) 与( 1 ) 知,bn=2n+(-1 ) nn.记 数 列 {bn}的 前 2n 项 和 为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 记 A=21+22+?+22n,B= - 1+2-3+4-?+2n, 则 2?1-22n? 2n+1 A= =2 -2, 1-2 B=(-1+2 ) +(-3+4 ) +?+[ -(2n-1)+2n] =n. 故 数 列 {bn}的 前 2n 项 和 T2n=A+B=22n+1+n-2 . 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 热 点 二 数 列 的 前 n项 和 问 题 [微 题 型 1] 裂 项 求 和 {an}的 前 n项 【 例 2-1】 ( 2 0 1 4 · 广 东 卷 )设 各项 均 为 正 数 的 数 列 2 2 * 和 为 Sn , 且 Sn 满 足 S2 - ( n + n - 3 ) S - 3 ( n + n ) = 0 , n ∈ N . n n ( 1 ) 求 a1 的 值 ; ( 2 ) 求 数 列 {an}的 通 项 公 式 ; ( 3 ) 证明:对一切正整数 1 1 < 3. an?an+1? 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 1 1 n,有 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? ( 1 ) 解 由 题 意 知 , 2 S2 ) Sn-3 ( n2

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