人教A版高中数学必修5课件2.4等比数列(第1课时)(一)

2.4 等比数列(第1课时)

教学目标
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要模型,理解等比数列的概念. 2.能根据定义判断一个数列是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件. 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式.

教学重难点
重点:等比数列定义的归纳及应用,通项公式的推导。 难点:正确理解等比数列的定义,根据定义判断或证明某些数列为等比数列, 通项公式的推导。

设计问题,创设情境

复习等差数列的相关内容:

定义:一般地,如果一个数从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母q表示.
? ? 通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d, n ? N *

前n项和公式:Sn

?

n(a1 ? 2

an )

?

na1

?

n(n ?1) 2

d,(n ?

N*)

设计问题,创设情境
问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三组数列 1,2,4,8,…
1 11 1, 2 ,4 ,8 ,… 、

-1,1,-1,1,…… 请思考:这三组数列是等差数列吗?各组数列的各项之间有什么关系?

信息交流,揭示规律
1.定义:如果一个数列从第2项起 ,每一项与它的前一项的比都等于同一常 数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常 用字母q表示( q ? 0 )。
2.数学表达式:an?1 ? q, (n ? N *) an

???aann

?0 ?1 ?

0

信息交流,揭示规律


从等比数列的定义及其通项数学表达式中,可以看出什么 ?也就是说这个公式在什么条件下成立?
结论 等比数列各项均不为零,公比 q ? 0 。

信息交流,揭示规律

3.通项公式

等比数列 ?an? 的首项为 a1 ,

公比为q,

a2 ? a1q,

a3 ? a2q ? a1q2 ,

a4 ? a3q ? a2q2 ? a1q3,

a 以此类推,可以得到

用 n

a1 和q表示的数学表达式

归纳猜测得到: an ? a1qn?1

信息交流,揭示规律 ?an?是等比数列,当 n ? 2 时,有

a2 ? q, a3 ? q, a4 ? q,..., an ? q ,用累积法把这 n-1 个式子相乘,

a1 a2 a3

an?1



an a1

? qn?1 ,所以 an

? a1qn?1

an ? a1qn?1 ( n? N* )

运用规律,解决问题

例1 判断下列数列是否为等比数列.

(1)1,1,1,1,1,…;

(2)0,1,2,4,8, … ;

(3)

1,?

1 2

,

1 4

,?

1 8

,?

解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;

(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;

(3)数列的首项为1,公比为

?1 2

,所以是等比数列.

运用规律,解决问题
例2 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是 原来的84%. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
.

运用规律,解决问题
解:设这种物质最初的质量是 1,经过 n 年,剩留量是 an ,那么: 经过 1 年,剩留量为 a1 ? 1? 0.84 ? 0.84 经过 2 年,剩留量为 a2 ? 0.84a1 ? 0.84 ? 0.84 ? 0.84 2 经过 3 年,剩留量为 a3 ? 0.84a2 ? 0.84 ? 0.84 2 ? 0.84 3

经过 n 年,剩留量为 an ? 0.84an?1

运用规律,解决问题
因此 an 构成一个等比数列?an ?,其中 a1 ? 0.84 , q ? 0.84
设 an ? 0.5 ,则 0.84n ? 0.5 两边取对数,得 lg 0.84n ? lg 0.5 ,
于是 n lg0.84 ? lg0.5 , n ? lg 0.5 lg 0.84
用计算器算得: n ? 4
答:这种物质的半衰期大约为 4 年.

运用规律,解决问题

例3 求下列各题 (1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项。

解:设这个等比数列的第 1 项是 a1 ,公比是 q ,那么

??a1q 2 ? 12

? ??a1q

3

? 18

,两式相比得 q

?

3 2

,代入其中一个方程,得
.

a1

?

16 3



因此, a2

?

a1q

?

16 3

?

3 2

?

8.

运用规律,解决问题

(2)一个等比数列的第 9 项是 4 ,公比是- 1 ,求它的第 1 项;

9

3

解:设这个数列的第 1 项是 a1 ,公比是 q ,那么 a9 ? a1q8 ,



4 9

?

a1

(?

1) 3

8

解得:

a1

?

2916 .

变式训练,深化提高

1.一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

解:设这个等比数列的第 1 项是 a1 ,公比是 q ,那么

?a1q ? 10

? ?a1

q

2

?

20

, 两式相比得 q ? 2 ,

代入其中一个方程,得 a1 ? 5 ,

因此, a4 ? a1q3 ? 5 ? 23 ? 40 .

变式训练,深化提高

2.已知等比数列{an} 中 an?1

?

an ,且 a3

? a7

?

3, a2

? a8

?

2 ,求

a11 a7

.

解: a2 ? a8

?

a3

?

a7



?a3 ? a7 ? 3, ??a3 ? a7 ? 2 ??an?1 ? an

解得

?a3 ??a7

? 1, , a11 ? 2 a7

?

a7 a3

?2

变式训练,深化提高

3.已知等比数列{an} 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 1 ,求 a1 。

? ? 解:设等比数列的公比为 q ,由已知得 a1q2 ? a1q8 ? 2 a1q4 2 ,即 q2 ? 2 ,

又因为等比数列{an} 的公比为正数,

所以 q ?

2

,故 a1

?

a2 q

?

1? 2

2 2.

反思小结,观点提炼
等比数列的定义及其通项公式,要求能理解、掌握,并能够应用。


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