正余弦定理复习—教案

正弦定理与余弦定理 1.通过对任意三角形边长和角度的关系探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会用 正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题. 教学目标 2.掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法;会用余弦定理解决基本的解三 角形问题. 3.利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算. 教学内容 【问题导思】 a b c a 在 Rt△ABC 中, c 为斜边, 试问 , , 的值相等吗?为什么?对于一般的三角形而言, , sin A sin B sin C sin A b c , 的值是否相等? sin B sin C a b 【提示】 在 Rt△ABC 中,∵sin A= ,sin B= 且 C=90° , c c ∴ a b c = = .对一般的三角形而言,也相等. sin A sin B sin C 语言表述 符号表示 比值的 含义 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 a b c = = sin A sin B sin C a b c = = =2R sin A sin B sin C (其中 R 为△ABC 的外接圆半径) (1)a=2Rsin__A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C; 变形 a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C. 作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系 【问题导思】 1 1 1 在 Rt△ABC 中,c 为斜边,三角形的面积与 absin C, bcsin A, acsin B 的值相等吗?猜想一下在一 2 2 2 般三角形中是否成立? 1 1 【提示】 ∵C=90° ,∴S△ABC= ab= absin C, 2 2 设边 c 上的高为 h, h h 则 sin B= ,sin A= , a b 1 1 1 1 ∴S△ABC= hc= acsin B= bcsin A, 2 2 2 1 1 1 ∴在 Rt△ABC 中,c 为斜边,三角形的面积与 absin C, bcsin A, acsin B 的值相等.猜想在一般三角 2 2 2 形中也成立. 1 1 1 三角形 ABC 的面积:S= absin__C = bcsin__A= acsin__B. 2 2 2 【问题导思】 → → → 如图,在△ABC 中,设CB=a,CA=b,AB=c,如果 C=90° ,如何求 AB 边的长?当 C≠90° ,如何用 向量的数量积表示 AB 边的长? 【提示】 利用勾股定理求 AB 的边长. |c|2=c· c=(a-b)· (a-b)=a2-2a· b+b2=a2+b2-2|a||b|cos C ∴c2=a2+b2-2abcos C. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍. a2=b2+c2-2bccos__A; 符号表示 b2=a2+c2-2accos__B; c2=a2+b2-2abcos__C. 语言表述 b2+c2-a2 cos A= ; 2bc 推论 a2+c2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab 2 作用 实现三角形边与角的互化. 【问题导思】 如图 2-2-1,2011 年 8 月,利比亚战争期间,北约为了准确分析战场形势,由位于相距 3 a 的英法 2 两军事基地 C 和 D,测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于 A、B 两处,且∠ADB=∠BDC=30° ,∠DCA= 60° ,∠ACB=45° .试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗? 【提示】 在△BCD 中用正弦定理求出 BC,在△ABC 中用余弦定理求 AB 的长. 在△ABC 中, (1)若 A =45° ,B =30° ,a=2,求 b,c 与 C; (2)若 B =30° ,b=5,c=5 3,求 A 、C 与 a. 【解】 (1)由三角形内角和定理,得: C=180° -(A+B)=180° -(45° +30° )=105° . a b c 由正弦定理 = = ,得 sin A sin B sin C 3 1 2× 2 asin B 2sin 30° b= = = = 2, sin A sin 45° 2 2 sin 105° =sin(60° +45° )= 2× asin C 2sin 105° c= = = sin A sin 45° 6+ 2 , 4 6+ 2 4 = 3+1. 2 2 (2)∵b=5,c=5 3,B=30° , ∴c· sin B<b<c, ∴△ABC 有两解, 由正弦定理得: csin B 3 sin C= = , b 2 ∴C=60° 或 120° . 当 C=60° 时,A=90° ,易得 a=10; 当 C=120° 时,A=30° ,此时 a=b=5. 1.已知两角与任一边解三角形,可先利用三角形内角和 定理求第三个角,再利用正弦定理求出两未知边. 2.已知△ABC 的两边 a,b 和角 A ,判断三角形解的个 数,有以下两种方法: 4 法一 作图判断. 作出已知角 A ,边长 b,以点 C 为圆心,以边长 a 为半 径画弧, 与射线 AB 的公共点(除去顶点 A )的个数即为三角形 解的个数. 法二 根据三角函数的性质来判断. bsin A bsin A 由正弦定理,得 sin B = ,当 >1 时,无解; a a 当 bsin A bsin A =1 时,有一解;当 <1 时,如果 a≥b,即 A ≥ a a B ,则 B 一定为锐角,有一解;如果 a<b,即 A <B ,有两解. 1 在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B= . 3 (1)求 sin A 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π π π 【解】 (1)由 C-A= 和

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