新人教版必修四高中数学精讲优练课型第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件_图文

1.4.3 正切函数的性质与图象 【知识提炼】 函数y=tanx的图象和性质 解析式 y=tanx 图象 ? {x | x ? R且x ? k? ? , k ? Z} 2 ___________________________ R __ 定义域 值域 解析式 周期 奇偶性 y=tanx π ___ 奇函数 _______ 单调性 ? ? (? ? k?, ? k?)(k ? Z) 2 2 在开区间___________________ 上都是 增函数 【即时小测】 1.判断 (1)正切函数的定义域和值域都是R.( (2)正切函数在整个定义域上是增函数.( (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( ) ) ) ) (4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.( 【解析】(1)错误.正切函数的定义域为{x|x≠kπ+ (2)错误.正切函数在(kπ,kπ+ ? R. ,k∈Z},值域为 2 ),k∈Z是增函数,在整个定义域上不具有单调性. (3)正确.正切函数在定义域内值域为R,无最大值、最小值. ? ? (4)错误.正切函数的图象是中心对称图形,但不是轴对称图形 . 2 2 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.函数y=tan(x- ? )的定义域为 ______. 5 ≠kπ+ ,k∈Z. ? 【解析】函数的自变量x应满足x即x≠kπ+ 7? 所以,函数的定义域为{x|x≠kπ+ 10 答案:{x|x≠kπ+ ,k∈Z} ,k∈Z. 5 ,k∈Z}. ? 2 7? 10 7? 10 3.函数y=tan( ?的周期为_______. x-3) 4 x-3)=tan( ? x-3+π) 【解析】由于f(x)=tan( =tan[ ? 因此函数的周期为 4. 4 答案:4 (x+4)-3]=f(x+4). 4 ? 4 4.函数y=tan x,x∈[ 【解析】因为y=tan x在[ 且tan(- ? ? ______. ]的值域为 ? , 4 3 ]上是增函数, ? ? ? ? 所以函数的值域为[ -1, ] 3. 4 答案:[-1, ] )=-1,tan = ? , 4 3 3. 3 3 5.比较大小:tan 167°_____tan 173°(填“>”或“<”). 【解析】因为90°<167°<173°<180°, 且y=tan x在( ? 所以tan 167°<tan 2173°. 答案:< ,π)上是增函数. 【知识探究】 知识点1 正切函数的性质 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:正切函数在定义域上是单调函数吗?是周期函数吗? 问题2:正切函数是奇函数还是偶函数? 【总结提升】 1.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性. (2)正切函数无单调递减区间,有无数个单调递增区间,在( ),( ),…上都是增函数. ? 3 ? ,? (3)正切函数的每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,也不能说正切函数在 2 2 2 ( )∪( )∪…上是增函数. ? ? , 2 ? ? ? , 2 2 ? 3? , 2 2 2.确定正切函数奇偶性的步骤 (1)确定定义域{x|x≠kπ+ ,k∈Z}关于原点对称 . ? 2 (2)由诱导公式:tan(-x)=-tan x,知正切函数是奇函数 . 3.函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)周期的计算公式 一般地,函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)的最小正周期 ? T? . | ?| 知识点2 正切函数的图象 观察图形,回答下列问题: 问题1:画正切曲线的关键点和关键线分别是什么? 问题2:正切曲线是轴对称图形吗?是中心对称图形吗? 【总结提升】 1.正切函数图象的两种作法 (1)几何法:利用单位圆中的正切线作图,该方法较为精确,但画图时较烦琐. (2)三点两线法:“三点”是指(大致画出正切函数在(,-1),(0,0),( ,1),“两线”是指x=和x= , , )上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线. ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 2.正切函数图象的对称性 (1)对称性:正切函数图象的对称中心是( (2)渐近线:直线x=kπ+ ,0)(k∈Z),不存在对称轴 . k? 2 (k∈Z)称为正切曲线的渐近线,渐近线把正切曲线分成无数个不 ? 2 连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近 线. 【题型探究】 类型一 正切函数的定义域问题 ,求函数的定义域为. 【典例】(2015·益阳高一检测)若f(x)= 【解题探究】本例中解三角不等式tan x≥m的基本方法是什么? tan x ? 3 提示:数形结合,求y=tanx的图象在y=m上方的点的横坐标的取值范围. 【解析】由tan x- ≥0,得tan x≥ 3 , 3 )(k∈Z). ? 利用图象知,所求定义域为[kπ+ ,kπ+ 3 ? 2 答案:[kπ+ ,kπ+ ),k∈Z ? 3 ? 2 【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)将本例函数改为f(x)=tan(2x+ 垂直的直线方程. 【解析】由 ),求与此函数图象不相交的与 x轴 ? 4 得 ,k∈Z, k? ? ? ? x ? ? 2x ? ? 所以所求直线方程为 x= ? k?,k∈Z. 2 8 4 2 k? ? ? 2 8 2.(变换条件)将本例函数改为“ 么? tan x ? 1 ”,其定义域又是什 y? ? tan(x ? ) 6 ? ? tan x ? 1 , ? 【解析】根据题意,得 ? ? ? tan(x ? ) ? 0, 6 ? ? ? ? x ? ? ? k?(k ? Z) ? ? ? 6 2 ?

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