1.1.2集合间的基本关系


1.1.2 集合间的基本关系
【教学目标】 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集和真子集,了解空集的含义; (2)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用; (3)在探究集合间的关系时,体会类比思想对发现新结论的作用. 【教学重点与难点】 重点:子集、真子集的概念. 难点:集合中两类关系---属于与包含之间的区别以及空集的概念. 【教学过程】 一、新课引入:

二、讲授新课: 1.集合的概念 数学中集合这个概念同平面几何中的点、直线类似,都是数学中最原始的不定义的基本概 念之一。它是 19 世纪德国数学家 Cantor 提出的,集合概念及集合论的产生,奠定了近代数学 的基础,促进了数学领域中许多数学分支的进一步发展,所以现代数学家基本上都认为集合是 近代数学的两大基石之一(另一个是映射) 。 那么,究竟什么是数学意义上的集合呢?(教师引导学生阅读课本 P.2 上的 8 个例子,并 尝试概括 8 个例子的共同特征) 结论:它们分别是由一些数、一些物体、一些国家、一些几何图形、一些人等组成的全体, 我们就说,每一组对象的全体构成一个集合。 由于集合是数学中最原始的概念之一,我们无法用其他更基本的数学概念来定义它,因此 也称集合为不定义的概念。根据其创始人 Cantor 最初的提法,我们可以给集合一个描述性的定 义。
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(1)描述性定义:具有某种公共属性的一些确定对象组成的全体称为集合(有时也简称 为集) ,组成集合的各个对象叫做这个集合的元素。 (教师结合前面的例子解释说明集合、元素这两个概念) (2)集合中元素的特征: ①确定性:对于一个给定的集合,其构成元素必须是确定的,即一个具体的对象或者是 给定集合的元素,或者不是给定集合的元素,这两种情形必有且只有一种成立。 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. ②互异性:给定集合中的两个元素都是互不相同的,即集合中的元素没有重复的现象。 说明:我们一般依据上述特征来判断所给对象是否构成数学意义上的集合。如“高一北辰 班的女生” 、 “中国的直辖市”构成一个集合, “好心人” 、 “著名作家”等日常生活中常说的这类 群体不能构成集合。 学生思考并回答课本 P.3 的两个问题。 2.元素与集合间的关系 (1)集合通常用大写拉丁字母表示,如集合 A、B、C??,元素通常用小写拉丁字母表 示,如 a,b,c??。 (2)根据集合中元素的确定性,元素与集合间的关系只有两种:属于和不属于。 ①如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A ; ②如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A .(教师举例说明) 3.集合的表示方法 课本 P.2 的 8 个集合都是用一种自然语言描述了构成集合的元素,这是表示集合的一种 常用方法,但这种表示方法有时较为繁琐,如(1) 、 (7)等。用集合语言表示集合则相对更为 简洁。 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号内,各元素之间用逗号隔开。 例如:{1,2,3,4,5}与{1,5,3,4,2}表示同一个集合。 (无序性) 学生完成看课本 P.3 例 1 及例 1 后的思考题。
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(2)描述法:把集合中元素的公共属性描述出来,写在花括号内。 例如:不等式 x ? 7 ? 3 的解集可以表示为 {x ? R x ? 10} 。 学生完成看课本 P.4 例 2。 具体方法: 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值或变化范围, 再画一条 竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的公共属性或共同特征。 说明:描述法即表示成 { x P} 这种形式,竖线前的 x 叫做该集合的代表元素,竖线后的 P 指元素 x 所具有的公共属性。有时为了方便,用描述法表示集合时,代表元素和竖线可省去不 写。 如:{直角三角形}、{小于 6 的正整数}、{实数}。 (但不能写成{所有小于 6 的正整数}、{实 数集}) (3)几何法(Venn 图法):一些抽象集合还可以用几何图形来表示(即用平面上封闭曲线的 内部表示集合) 。 (4)常用数集及其表示方法(熟记即可) ①非负整数集(自然数集) :记作 N(自然数集包括数 0) ②正整数集:记作 N*或 N+ ③整数集:记作 Z ④有理数集:记作 Q ⑤实数集:记作 R 三、课堂小结: (1)强调集合中元素的特征,加深对集合概念的理解; (2)表示方法的选择视具体情况而定(课本 P.5 思考题) ; (3)集合的学习中要注意符号语言的运用。 四、课堂练习: P.5 练习 1、2 五、课后作业:
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P.11A 组 1、2、3、4

查找资料,了解集合论的创立背景、过程及在数学发展中的作用。

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