高三数学公开课(不等式的性质)

[高三数学复习专题课]

不等式的性质中的几类常见问题
【内容分析】
在高三第一轮复习的体系中,不等式的性质作为解不等式、证明不等式的基础和依据,起着至关重要 的作用,由这些基本性质可以继续推导出其它不等式有关性质。在高中课本教材中所列举的性质是最基 本、最重要的,因此,不仅要掌握性质的内容,会比较大小,更要理解性质成立的条件,把握性质的“可 逆性” (充分必要性) 。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用,否则就会产生几类常见的问题,这就是本 节课所要探讨的。

【考纲分析】 学习内容 记忆水平(A) 不等式的基本性质 及其证明 【复习目标】 知识目标:不等式的基本性质 能力目标:解决几类常见的问题: (1)利用不等式的性质和比差法判断不等关系(2)关注 不等式的性质成立的条件; (3)利用不等式性质,反过来探求不等式成立的条件; (4)利 用不等式的性质求范围 【复习重点难点】 重点:比差法判断不等关系中的因式分解和配方思想以及不等式的基本性质成立的条件 难点:利用不等式性质求范围以及探求不等式成立的条件 【知识梳理】 1、比较大小的基本方法:比差法 学习水平 解释性理解水平(B) 会用不等式的基本性质 判断不等关系 探究性理解水平(C) 会用比较法、综合法、分 析法证明简单的不等式

?a ? b ? a ? b ? 0 ? 两个实数的大小比较: ? a ? b ? a ? b ? 0 这也是将不等式问题——比较两个实数 a 和 b ?a ? b ? a ? b ? 0 ?

的大小,转化为恒等变形问题的依据 比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值) 2、不等式的基本性质: 性质 1 性质 2 性质 3 如果 a>b,0>c 性质 4 如果 ? 那么 ac<bc 那么 a+c>b+d 同向相加 如果 a>b,b>c 如果 a>b 如果 a>b,c>0 那么 a>c 那么 a+c>b+c 那么 ac>bc 乘法法则 传递性 加法法则

?a ? b ?c ? d ?a ? b ? 0 ?c ? d ? 0

性质 5

如果 ?

那么 ac>bd

同向相乘

如果 a ? b ? 0 ,那么 0 ? 1 ? 1 性质 6
a b

同号两数倒数改向性 质 乘方开方性质(特别

如果 0 ? a ? b ,那么 1 ? 1 ? 0 a b 性质 7、8

如果 a>b ? 0,n∈N,n>1

那么 a >b ,且 n a ? n b
n n

当 n 为奇数时,条件 减弱)

【复习过程】 一、利用不等式的性质和比差法判断不等关系 例 1、 (1)已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,求证:

b a ? a?c b?d

分析:本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。 证明:∵ c ? d ? 0 , ? c ? ?d ? 0 ,又 a ? b ? 0 ∴ a ? c ? b ? d ? 0 ,故 而 a ? b ? 0 ,∴

1 1 。 ? a?c b?d

b a (同向可乘性) ? a?c b?d

例 2、设 x, y ? R ,比较 2x ? 2xy ? y 与2x ? 1 的大小
2 2

分析:本题考查学生用作差法来判断大小关系

解: (1) 2x ? 2xy ? y ? ?2x ? 1? ? ?x ? y ? ? ?x ? 1? ? 0
2 2 2 2

? 2x 2 ? 2xy ? y 2 ? 2x ? 1,当且仅当 ? y ? 1时等号成立 x
练习 1:设 x, y ? R ,比较 x ? y
2

?

2 2

? 与xy?x ? y ?
2

2

的大小

解: x ? y
2

?

2 2

?

? xy?x ? y ?

2

2 ?? y? 3 ? ? ...... ? ?x ? y ? ?? x ? ? ? y 2 ? ? 0 2? 4 ? ?? ? ?

? x2 ? y 2

?

?

2

? xy ?x ? y ? 当且仅当 ? y时等号成立 x
2

小结:作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方

二、不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,如果忽略了某些条 件,则会出现一些错误。 例 3、 (1)判断下列命题的真假:① x ? x ,则 x ? 1 ,② a ? b, c ? d ,则
2

lg(a ? d ) ? lg(b ? c) ,③ a ? b ,则 a 2 ? b 2
(2)判断下列命题的真假:① a ? b ,则 ac ? bc ,② a ? b ,则
2 2

1 1 ? a b

解: (1)分析:①不等式中有这样的性质:⑴

a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ,不等式两边乘

上一个正数,不改变不等号的方向,⑵ a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ,不等式两边乘上一个负 数,改变不等号的方向。在不等式变形过程中,乘除都要注意乘除这个数的正负,它直接 影响到不等号的方向。因为不知道 x 的正负,所以不能直接除。第①题,错误。 ②关于对数的不等式,在对数中,要求真数大于 0,所以要求

a ? d , b ? c 大于 0,但条件

中,没有明确 a 与 d 和 b 与 c 的大小,所以不能确定 a ? d , b ? c 是否一定大于 0,第② 题,错误。 ③好像是正确的,因为不等式中好像有这样的公式,但原公式是 a ? b ? 0 ,则

a ? b ,和 a ? b ? 0 ,则 an ? bn ,如果 a, b 小于 0,则这两个公式不成立,题目中的

a, b 并没有确定是否大于 0,所以③是错误的。
(2)分析:①一看到这个题,很多学生肯定认为是:不等式两边乘上一个正数,不改变不

等号的方向,所以是正确的。但 c ? 0 ,如果 c ? 0 ,则 0 乘以任何数都是等于 0 的,则
2

ac2 ? bc 2 ,所以①错误。
②这个倒数法则,用特殊法来验证,两个都是正数是正确的,两个都是负数也是正确的, 但忽略了 0,0 不能做分母的,如果 a 或 b ,其中一个为 0,则这个命题不成立。这里 a, b 没有确定和 0 的大小比较,用特殊法来验证,取一正数一负数,也可以说明这个命题错 误。 小结: “正负,小心应付” “ 0,特殊对待”

(1)因为我们对正数很熟悉,所以在不等式中,常常把不定量默认为正数,而忽略了负 数,以后我们看到不定量,一定要想到它会不会是负数或 0。 (2)由于 0 的特殊性,0 乘以任何数都等于 0,0 不能做分母,就要求我们在乘除不定量 时,要特别注意不定量是否等于 0。还有,在作商法比较大小时,也要注意分母不能为 0。

练习 2:对于实数 a、b、c ,判断下列命题的真假 (1)若 a ? b,则ac ? bc
2 2 2

(2) a ? b,则
2

a ?1 b 1 1 ? a b

(3)若 a ? b ? 0,则a ? ab ? b (5)若 a ? b ? 0, 则 (5)如果 ?

(4)若 a ? b ? 0, 则

b a ? a b

?a ? b ? 0 ,那么 ac ? bd ?c ? d ? 0

(1) (4) (2) (5) (6)假命题; (3)真命题。

a b 练习 3:若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b d c -d;(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

分析: 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假. 解: ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc, ∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,

∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,故选 C. 答案 C

三、利用不等式性质,探求不等式成立的条件 不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据,只有正确地理解每条性质的条件和结 论,注意条件的变化才能正确地加以运用,利用不等式的性质,寻求命题成立的条件是不 等式性质的灵活运用。 例 4、已知三个不等式: ① ab ? 0 ② 成 个正确的命题

c d ? ③ bc ? ad ,以其中两个作为条件,则可以组 a b

解:对命题②作等价变形:

c d bc ? ad ? ? ?0 a b ab

于是,由 ab ? 0 , bc ? ad ,可得②成立,即①③ ? ②; 若 ab ? 0 ,

bc ? ad ? 0 ,则 bc ? ad ,故①② ? ③; ab bc ? ad ? 0 ,则 ab ? 0 ,故②③ ? ①。 ab

若 bc ? ad ,

∴可组成 3 个正确命题。 小结:在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式的性质联系起来 考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假。 练习 4:已知 a ? b , a ? 解:∵ (a ?

1 1 ? b ? 同时成立,则 ab 应满足的条件是__________。 a b

1 1 (a ? b)( ab ? 1) (ab ? 1) ,由 a ? b 知 ) ? (b ? ) ? ? 0, a b ab ab

从而 ab(ab ? 1) ? 0 ,∴ ab ? 0 或 ab ? ?1。

四、利用不等式性质求范围 不等式性质成立是否具有“可逆性” (充要条件) 。 对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质 是否具有可逆性。哪些性质是可逆的? 例 5、如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 x ? y 的取值范围是________; x ? 2 y 的取值范 围是________ “同向,注意运算” 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题,对于这类问题要 注意: “同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,在一个解 ” 题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围,解题时务必小心谨慎,先 建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性不等关系的运算, 求得待求的范围” ,是避免犯错误的一条途径。

例 6、若角 ? , ? 满足: ? 值范围是______

?
2

?? ? ? ?

?
2

,则 ? ? ? 的取值范围是_______; 2? ? ? 的取

? 3? ? ? ?? 2 , 2 ? ? ? 2 例 7、已知函数 f ( x) ? ax ? c 满足 ? 4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5 ,求 f(3)的取值范围

?? ? ? ? ? ? 0

解由题可得:f (1) ? a ? c, f (2) ? 4a ? c, f (3) ? 9a ? c 设f (3) ? t1 f (1) ? t 2 f (2) 则9a ? c ? t1 (a ? c) ? t 2 (4a ? c) ? (t1 ? 4t 2 )a ? (t1 ? t 2 )c 5 ? ?t1 ? ? 3 ? 9 ? t1 ? 4t 2 可得? ?? 8 ?? 1 ? ?t1 ? t 2 ? t2 ? 3 ? 5 8 ? f (3) ? ? f (1) ? f (2) 3 3 5 5 20 8 8 40 ?由已知可得: ? ? f (1) ? , ? f (2) ? ? 3 3 3 3 3 3 5 8 两式相加可得: 1 ? ? f (1) ? f (2) ? 20 ? 3 3 ? ?1 ? f (3) ? 20

分析:此题利用不等式性质,看似合乎情理,但实际上是错误的。由 a, b 是互相制约的,

a , b 是不可能同时取到最大值的,所以多次运用同向不等式相加,导致取值范围的扩
大。这种解法,在整体上保持了 a, b 的相互制约的关系,从而得到准确的范围。

练习 5:已知 1 ? a ? b ? 5, ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围。 错解:因为 1 ? a ? b ? 5, ?1 ? a ? b ? 3 ,把这两式相加减,可以得到

0 ? a ? 4, ?1 ? b ? 3 ,所以 0 ? 3a ? 12, ?6 ? ?2b ? 2 ,从而 ?6 ? 3a ? 2b ? 14 。
分析:此题利用不等式性质,看似合乎情理,但实际上是错误的。由

1 ? a ? b ? 5, ?1 ? a ? b ? 3 ,得到 a, b 是互相制约的, a , b 是不可能同时取到最大值
的,所以 3a ? 2b 是取不到 14 的。多次运用同向不等式相加,导致取值范围的扩大。 正解: 3a ? 2b ?

1 5 ( a ? b) ? ( a ? b) , 2 2

1 ? a ? b ? 5, ,

?1 ? a ? b ? 3
5 5 15 ? ? ( a ? b) ? 2 2 2

1 1 5 ? ( a ? b) ? , 2 2 2
所以 ?2 ?

1 5 (a ? b) ? (a ? b) ? 10 2 2

所以 ?2 ? 3a ? 2b ? 10 分析:这种解法,在整体上保持了 a, b 的相互制约的关系,从而得到准确的范围。

【课堂小结】 在解不等式中,我们要时刻牢记着未知量是否负数,能否等于 0,同向不等式要注意不能 扩大或缩小它们的范围。


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