含参不等式恒成立问题的解法PPT课件


一、基础知识点:

1、f(x)=ax+b,x? [α,β],则:
f(x)>0恒成立< >

f(?)>0 f(?)>0 f(?)<0 f(?)<0

f(x)<0恒成立< y



α

o

β

x

2、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是: 或 C>0 Δ=b2-4ac<0 。 ______________________ a=b=0 a >0

ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是: a<0 a=b=0 或
C<0 Δ=b -4ac<0 。 ______________________
2

a≥[f (x)] max 3、a≥f(x)恒成立的充要条件是:_____________;
a≤[f (x)] min 。 a≤f(x)恒成立的充要条件是:_____________

二、典型例题:

例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0

................

(*)

(1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;

(2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
当1-m>0时,即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为: △=(m-1)2-12(I-m)<0 , 解得:

解:(1)当1-m=0即m=1时, (*)式恒成立, 故m=1适合(*) ;

?

当1-m<0时,即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为: (1-m)?(-2)2+(m-1)?(-2)+ 3 >0 解得: 综上可知:

?

-11<m<1;

3 1<m< 2
适合条件的m的范围是:

-11<m < 2 。

3

例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0

................

(*)

(1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;

(2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) (m [-2,2]) 则

?

g(m)>0恒成立? x? R

g(-2)=3x2-3x+3>0 g(2)=-x2+x+3>0



1? 13 1? 13 < x < 2 2
x (



?

1? 13 , 1? 13 ) 2 2

小结:
1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。

练习1:
对于一切 |p| ≤2,p∈R,不等式x2+px+1>2x+p

x<-1或x>3 。 恒成立,则实数x的取值范围是: ——————————

例2、①若不等式x2

<logax对x

?

1 (0, 2 )恒成立,则实数a的取

值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x ?[-3,3]恒成立,则实数k的

-2 2 <k<2 2 。 取值范围是 ——————————
②解:原不等式可化为:x2+2>kx

11

y

y=x2+2
y=2 2 x

设 y1= x2+2 (x? [-3,3]) y2= kx
在同一坐标系下作它们的图
2

y=kx

象如右图:
由图易得: -2

-3 -

2 0 2 3

x

2 <k<2 2

y= - 2

2x

小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、 若

x ≤ kx-1 对x ?[1,+? ) 恒成立,则实数k的取值范

k≥ 2 围是:_____________ 。

例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立,则实数a的取值范围是 —————————。 解: 分离参数得: a ≥
令 又

y ?t x (t > 0) , 则

y x ? 2 xy 1? 2 x ? x?y y 1? x
a≥

恒成立

令1+2t=m(m > 1),则

1? 2t 1? t 2

(t > 0) 恒成立

f(m)=

m 4m 4 ? ? 1? ( m ?1)2 m 2 ? 2m ? 5 (m ? 5 ) ? 2 m 2

?

4 ? 5 ?1 (当且仅当m= 5 时等号成立) 2 2 5 ?2

∴ a ≥ [f (x)] max=

5 ?1 2

即a ≥

5 ?1 2

小结:
4、 通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)

(或a≤f(x))恒成立,再运用不等式知识或求
函数最值的方法,使 问题获解。

例4、已知a>0,函数f (x)=ax-bx2, (1)当b>1,证明对任意的x ∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤2 ; b

(2)当0<b≤1,讨论:对任意的x ∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件。

解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1

-1≤ax-bx2≤1

bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx - 1 ≤a ≤ 1 +bx x x
∵ x ∈(0,1], b>1 ∴ 又 ∴

1 bx+ x ≥ 2 b (x= 1 时取等号 ) b bx - 1 x 在(0,1]上递增 ( bx- 1 )max=b-1 (x=1时取得 ) x
b-1≤a≤2

故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 又 x=0时,|f(x)|≤1恒成立

b b

∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:

b-1≤a≤2

(2) 0<b≤1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1 恒成立 ( bx- 1 )max ≤a ≤(bx+
此时 而 故

x 1 在(0,1]上递减 bx + x 1 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得) x

( bx- 1 )max=b-1

x

)min

1 x

……

(* )

(x=1时取得)

故 (*)式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1 又 a>0 ∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 <a≤ b+1
又 ∴

x=0时,|f(x)|≤1恒成立 x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 <a≤ b+1

三、课时小结:
1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)(或a≤f(x))恒

成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使 问题获解。

四、课后练习:
1、当x ?(0,1)时,不等式x2< loga(x 值范围是_____________。
+ 1)恒成立,则实数a的取

2、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x ?R恒成立,则实数a的取值 范围是_____________。

3、若不等式ax2-2x+2>0 对x?(1,4)恒成立,求实数a的取
值范围。

? a (x?R) 在区间 [-1,1]上是增函数。 4 、已知f(x)= 2x x2 ? 2
(1)求实数 a 的值所组成的集合A;

1 (2)设关于x 的方程f(x)= x 的两根为x1、x2,试问:是否存 在实数m,使得不等式 m2 + t m + 1≥| x1 - x2| 对任意a ? A 及t?[-1,1] 恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,
请说明理由。

2.作y=x-1的图像,把y<0的部分以x轴为对 称轴翻上去,可以得到一个v字,最低点是 (1,0), y=x-a图像最低点就是(a,0),画最低点在x 轴上的V字,让两个函数叠加后大于2 可得当最低点在(1,0)右边时,得到a>3时 成立 当最低点在(1,0)左边时,a<-1成立

2. 把a,1看作是数轴上的两点 |x-a|则是数轴上任一点X到点a的距离 同理|x-1|则是数轴上任一点X到点1的距离 从数轴图形中可以看出,只有当x位于a和1 两点之间时,|x-a|+|x-1|有最小值|a-1| 若不等式|x-a|+|x-1|>2对x∈R恒成立 则只要|a-1|>2成立 故 a>3或 a<-1

1.由函数图象可知,当x∈(0,1)时x^2是单调增函数, loga(x+1)要恒大于x^2只能满足a>1,且x=1时也成 立,所以,1<loga2,求得a>2.故最后结果为a>2 3.用分离参数的方法 要先讨论a 当a=0时, -2x+2>0 在(1,4)不恒成立 舍去 当a≠0时, ax^2>2x-2 ,即a> 2/x-2/x^2 要使ax2-2x+2>0在(1,4)上恒成立 则a要大于右边式子在(1,4)的最大值 令t=2/x, t的范围则为(1/2,2) 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2 这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚

4.(1)求导得f'(x)=-2x? +2ax+4/(x? +2)? 由题意f'(x)≥0在x∈[-1,1]上恒成立 即不等式x? -ax-2≤0恒成立.因此-a-1≤0且a-1≤0 因此a∈[-1,1],所以集合A=[-1,1] (2)由题意x1,x2是方程f(x)=1/x及方程x? -ax2=0两个非零实根. 由韦达定理得x1+x2=a,x1x2=-2.所以|x1-x2|=根 号下a?+8≤3 因此不等式式m? +tm+1≧|x1-x2|恒成立等价于 m? +tm+1≧3 又因为t∈[-1,1].因此m? +m-2≥0且m? -m-2≥0 解得m≥2或m≤-2


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