江西省赣州市南康区2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题

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2017-2018 学年度第一学期高一第一次大考
数学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
? ? 1.设集合 A ? x x2 ?16 ? 0 , B ? {x | ?2 ? x ? 6},则 A? B 等于( )

A. ?? 2,4?

B. ?4,?2?

C. ?? 4,6?

D. ?4,6?

2.已知

f

?x?

?

? ?

x2 ?1, x ? 1



??2x ? 3, x ? 1

则 f ?? f ?2??? ? (



A. 5

B. -1

C. -7

D. 2

3.在同一直坐标系中,一次函数 y ? ax ?1 与二次函数 y ? x2 ? a 的图像可能是( )

? ? ? ? 4.已知集合 A ? x x2 ? 2x ?3 ? 0 ,B ? x x ? a ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( )

A. ??1,???

B. ??1,???

C. ?3,???

5.若 x2 ? 1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于( )
2

A. m2

B. 1 m2
4

C. 1 m2
3

D. ?3,???
D. 1 m2 16

6.若函数

是 上的减函数,则实数 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

-1-

7.已知函数 f ? x? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x? ? x2 ? 1 ? 0 ,则 f ??1? ? (

)

x

A. -2

B. 0

C. 1

D. 2

? ? ? ? 8.已知 M ? y | y ? x2, x ? R , N ? y | x2 ? y2 ?1, x ? R, y ? R ,则 M ? N ? ( )

A. ??2,2?

B. ?0,2?

C. ?0,1?

D. ??1,1?

9. 给定映射 f:(x,y)→(x+2y,2x-y),在映射 f 下,(3,1)的原像为( )

A.(1,3)

B.(1,1)

C.(3,1)

D.(12,12)

10.已知定义在 R

上的奇函数

f

? x? 满足

f

?x ? 3?

?

f

? x?,且当时

x

?

???0,

3 2

? ??

时,

f

?x?

?

?x3

.则

f

? 11? ?? 2 ??

?



).

A. ? 1 8

B. 1 8

C. ? 125 8

D. 125 8

11. 定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f

x1 -f x2 x1-x2

<0,

则( )

A.f(3)<f(-2)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)

C.f(-2)<f(1)<f(3)

D.f(3)<f(1)<f(-2)

12.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”,法则如下:当 m, n 都是正奇数时,

m ※ n ? m? n ; 当 m,n 不 全 为 正 奇 数 时 , m ※ n ? mn , 则 在 此 定 义 下 , 集 合

M ? {(a,b) | a ※ b ? 16, a ? N ? ,b ? N ?} 的真子集的个数是( )

A. 27 ?1

B. 211 ?1

C. 213 ?1

D. 214 ?1

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? ? 13.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4?, B ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 A? B ? _________.

14.若 b a

?

2 ,则

a2 ? ab ? b2 a2 ? b2

? _________.

15.设函数 f ? x? ? ?x2 ? 2x ?15 ,集合 A ? ?x|y ? f ? x? ?, B ? ?y|y ? f ? x? ?,则如图中

阴影部分表示的集合为__________.

-2-

(15 题图)

(16 题图)

16.已知 y ? f ? x? 是偶函数, y ? g ? x? 是奇函数,它们的定义域均为 ??? ,? ? ,且它们在

x ??0,? ? 上的图像如图所示,则不等式 f ? x?? g ? x? ? 0 的解集是__________.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分)

? ? 已知集合 A ?

x 0 ? 2x ? a ? 3



B

?

? ?

y

?

?1? 2

y ? 2?? . ?

(1)当 a ?1时,求 ?CRB?? A ;
(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)
已知集合 A ? {x | x2 ? 9}, B ? {x | x ? 7 ? 0}, C ? {x x ? 2 ? 4}. x ?1
(1)求 A?C ;
(2)若U ? R ,求 A?CU ?B ?C? .
-3-

19.(本题满分 12 分)
已知二次函数 f ? x? 满足 f ?x ?1? ? f ?x? ? ?2x ?1,且 f ?2? ?15. (1)求函数 f ? x? 的解析式; (2)令 g ?x? ? ?2 ? 2m? x ? f ?x? ,求函数 g ? x? 在 x ??0, 2?上的最小值.
20.(本题满分 12 分)
已知函数 y ? f ? x? 满足 f ? x ?1? ? x ? 3a ,且 f ?a? ? 3. (1)求函数 f ? x? 的解析式; (2)若 g ?x? ? x·f ?x? ? ? f ?x ? ?1在 ?0, 2? 上具有单调性, ? ? 0 ,求 ? 的取值范围.
21.(本题满分 12 分) 李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择: 方案一:每户每月收管理费 2 元,月用电不超过 30 度每度 0.5 元,超过 30 度时,超过
部分按每度 0.6 元. 方案二:不收管理费,每度 0.58 元.
-4-

(1)求方案一收费 L(x)元与用电量 x(度)间的函数关系; (2)李刚家九月份按方案一交费 35 元,问李刚家该月用电多少度? (3)李刚家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
22.(本题满分 12 分)
已 知 函 数 f ? x? 对 任 意 实 数 x, y 恒 有 f ? x? y? ? f? ?x ? ?f ? y, 且 当 x ? 0 时 , f ?x? ? 0 ,又 f ?1? ? ?2.
(1)判断 f ? x? 的奇偶性; (2)求证: f ? x? 是 R 上的减函数;
? ? (3)若对一切实数 x ,不等式 f ax2 ? 2 f ? x? ? f ? x? ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
-5-

南康中学 2017-2018 学年度第一学期高一第一次大考 数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 D

D

B

C

D

C

A

C

B

B

A

C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. ?3,4?

14. 3 5

15.?? 5,0?? ?3,4?

16. ?? ? ? ,0?? ? ?? ? ,? ?? ? 3 ? ?3 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,把答案写在答题卷指定位置上.)

17.(本题满分 10 分)

解:(1)当

a

? 1 时,

A

?

??x ?

?

1 2

?

x

? 1?? ?

, CR B

?

??x ?

x

?

?

1 2

, 或x

?

2?? ?

??CRB?? A ? ?x x ?1,或x ? 2?

(2)?

A

?

??x ?

?

a 2

?

x

?

3?a?

2

? ?

,若

A

?

B

,则当

A??

时, ?

a 2

?

3?a 2



即 0 ? 3 ,不成立,?A ? ?

?

?????3a2?

? a

? ?

1, 2 2,

?2

解得 ?1? a ?1? a 的取值范围为 ??1,1?

18.(本题满分 12 分)

解:(1) A ? {x | x ? 3,或x ? ?3}. B ? {x | ?1 ? x ? 7} .

又由 x ? 2 ? 4 ,得 ?2 ? x ? 6 ,∴ C ? {x | ?2 ? x ? 6} .

? A?C ? ?x x ? ?3,或x ? ?2?

? ? (2)∵U ? R, B ?C ? {x | ?1 ? x ? 6},?CU ?B ?C? ? x x ? ?1,或x ? 6 , ? A?CU ?B ?C? ? ?x x ? ?3,或x ? 6? .
19.(本题满分 12 分)
解:(1)设二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ),

-6-

? ? 则 f ? x ?1? ? f ? x? ? a ? x ?1?2 ? b?x ?1? ? c ? ax2 ? bx ? c ? 2ax ? a ? b ? ?2x ?1
∴ 2a ? ?2 , a ? b ?1,∴ a ? ?1, b ? 2
又 f ?2? ?15,∴ c ?15 ∴ f ?x? ? ?x2 ? 2x ?15

(2)∵ f ? x? ? ?x2 ? 2x ?15

∴ g ?x? ? ?2 ? 2m? x ? f ?x? ? x2 ? 2mx ?15.

g ?x? ? x2 ? 2mx ?15, x ??0, 2?,对称轴 x ? m ,

当 m ? 2 时, g ?x? ? g ?2? ? 4 ? 4m ?15 ? ?4m ?11; min

当 m ? 0时, g ? x? ? g ?0? ? ?15; min

当 0 ? m ? 2 时, g ?x? ? g ?m? ? m2 ? 2m2 ?15 ? ?m2 ?15 min

? ?15, m ? 0

综上所述,

g

?x? min

?

???m2

?15, 0

?

m

?

2

?? ?4m ?11, m ? 2

20.(本题满分 12 分)

解:(1)令 t ? x ?1,则 x ? t ?1,∴ f ?t? ? t ? 3a ?1,∴ f ? x? ? x ? 3a ?1,

∵ f ?a? ? 4a ?1? 3, ∴ a ?1,∴ f ?x? ? x ? 2 .

(2)由题意得 g?x? ? x2 ? ?2 ? λ? x ? 2λ ?1在 ?0,2? 上单调,

∵函数 g?x? 的对称轴是 x ? ? 2 ? λ , ∴ ? 2 ? λ ? 2 或 ? 2 ? λ ? 0 ,

2

2

2

即 λ ? ?6 或 λ ? ?2 ,又 λ ? 0 , ∴ λ ? ?6 或 ?2 ? λ ? 0

21.(本题满分 12 分) 解:(1)当 0≤x≤30 时,L(x)=2+0.5x.
当 x>30 时,L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1.

?

L(

x)

?

?2x ? ??0.6x

0.5x, ?1, x

0 ?

?x 30

?

30

(2)当 0≤x≤30 时,由 L(x)=2+0.5x=35 得 x=66,舍去.

当 x>30 时,由 L(x)=0.6x-1=35 得 x=60,

-7-

所以李刚家该月用电 60 度. (3)设按方案二收费为 F(x)元,则 F(x)=0.58x. 当 0≤x≤30 时,由 L(x)<F(x),得 2+0.5x<0.58x, 所以 x>25,所以 25<x≤30; 当 x>30 时,由 L(x)<F(x),得 0.6x-1<0.58x, 所以 x<50,所以 30<x<50. 综上,25<x<50,故李刚家月用电量在 25 度到 50 度范围内 (不含 25 度、50 度)时,选择 方案一比方案二更好. 22.(本题满分 12 分) 解:(1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0. 取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 恒成立,∴f(x)为奇函数. (2)证明: 任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2, 则 x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1), 又 f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)是 R 上的减函数. (3)f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2), 则 f(ax2-2x)<f(x-2), ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax2-2x>x-2, 当 a=0 时,-2x>x-2 在 R 上不是恒成立,与题意矛盾;
当 a>0 时,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则 Δ =9-8a<0,即 a> 9 ; 8
当 a<0 时,ax2-3x+2>0 在 R 上不是恒成立,不合题意.
综上所述,a 的取值范围为( 9 ,+∞). 8
-8-


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