标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5:第二章 2.5 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前 n 项和 预习课本 P55~58,思考并完成以下问题 (1)公比是 1 的等比数列的前 n 项和如何计算? (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前 n 项和? (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前 n 项和? (4)等比数列前 n 项和的性质有哪些? [新知初探] 1.等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项 a1 与公比 q na ?q=1?, ? ? 1 Sn=?a1?1-qn? ?q≠1? ? ? 1-q 首项 a1,末项 an 与公比 q na ?q=1?, ? ? 1 Sn=?a1-anq ?q≠1? ? ? 1-q 公式 a1?1-qn? [点睛] 在应用公式求和时,应注意到 Sn= 的使用条件为 q≠1,而当 q=1 时 1-q 应按常数列求和,即 Sn=na1. 2.等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}中,若项数为 2n,则 S偶 S奇-a1 =q;若项数为 2n+1,则 =q. S奇 S偶 (2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…成等比数列(其中 Sn, S2n-Sn,S3n-S2n…均不为 0). (3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等 比数列,即 Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?数列{an}为等比数列. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn= a1?1-qn? 来求( 1-q ) ) (2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列,则其前 n 项和为 Sn=na( (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0 且 q≠1,n∈N*),则此数列 一定是等比数列( ) 解析:(1)错误.在求等比数列前 n 项和时,首先应看公比 q 是否为 1,若 q≠1,可直 接套用,否则应讨论求和. (2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前 n 项和为 Sn =na. (3)正确.根据等比数列前 n 项和公式 Sn= Sn= a1?1-qn? (q≠0 且 q≠1)变形为: 1-q a1 a1 n a1 - q (q≠0 且 q≠1),若令 a= , 1-q 1-q 1- q 则和式可变形为 Sn=a-aqn. 答案:(1)× (2)√ (3)√ ) 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,a2=4,那么 S10 等于( A.210+2 C.210-2 B.29-2 D.211-2 a1?1-q10? 2?1-210? a2 4 解析:选 D 等比数列的公比 q= = =2,所以前 10 项和 S10= = a1 2 1-q 1-2 =211-2,选 D. 3.等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=44,则 a1 的值为( A.4 C.2 解析:选 A 由 S5= 得 a1=4. S4 4.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于( a2 A.2 15 C. 2 解析:选 C B.4 17 D. 2 4 1-q4 15 S4 a1?1-q ? 1 = × = = . a2 a1q ?1-q?q 2 1-q ) B.-4 D.-2 a1[1-?-2? ] =44, 1-?-2? 5 ) 等比数列的前 n 项和公式的基本运算 [典例] 在等比数列{an}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn. 1 63 (1)a1=8,an= ,Sn= ,求 n; 4 4 7 63 (2)S3= ,S6= ,求 an 及 Sn. 2 2 1 8- q 4 63 a1-anq [解] (1)显然 q≠1,由 Sn= ,即 = , 1-q 1-q 4 1?n-1 1 1 - ∴q= .又 an=a1qn 1,即 8×? ?2? =4,∴n=6. 2 (2)法一:由 S6≠2S3 知 q≠1,由题意得 a ?1-q ? 7 ? ? 1-q =2, ?a ?1-q ? 63 ? 1-q = 2 , ? 1 1 6 3 ① ② ②÷ ①,得 1+q3=9,∴q3=8,即 q=2. 1 1 - - - 代入①得 a1= ,∴an=a1qn 1= ×2n 1=2n 2, 2 2 a1?1-qn? 1 - Sn= =2n 1- . 2 1-q 法二: 由 S3=a1+a2+a3, S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3. S6 ∴1+q3= =9,∴q3=8,即 q=2. S3 1 1 - - - 代入①得 a1= ,∴an=a1qn 1= ×2n 1=2n 2, 2 2 a1?1-qn? 1 - Sn= =2n 1- . 2 1-q 在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,当条件与结论 间的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常 用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. [活学活用] 已知 a6-a4=24,a3· a5=64,求 S8. 5 3 ? ?a1q -a1q =24, 解:法一:由题意,得? 2 ??a1q ?· ?a1q4?=64, ? ?a1q3?q2-1?=24, ? 化简得? 3 ? 8, ?a1q =± ① ② ①÷ ②,得 q2-1=± 3,负值舍去, ∴q2=4,∴q=2 或 q=-2. 当 q=2 时,代入①得 a1=1. ∴S8= a1?1-q8? =255. 1-q 当 q=-2 时,代入①得 a1=-1. ∴S8= a1?1-q8? 2

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