北京师大附中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案

北京师大附中 2014-2015 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的。 1. 集合 y ? N | y ? ? x 2 ? 6, x ? N 的真子集的个数是( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 下列哪一组中的函数 f ?x ? 与 g ?x ? 相等( ) A. f ?x ? ? x ? 1 , g ? x ? ? ? ? ) x2 ?1 x 2 B. f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? x? 4 C. f ?x ? ? x 2 , g ?x ? ? 3 x 6 D. f ?x ? ? x, g ?x ? ? 2 log2 x x ? ? ? ? ?1? 3. 已知集合 A ? ?y | y ? log2 x, x ? 1?, B ? ? y | y ? ? ? , x ? 1? ,则 A ? B =( ) ? ? ?2? ? ? A. ? y | 0 ? y ? C. ? y | ? ? 1? ? 2? B. ?y | 0 ? y ? 1? ? ? 1 ? ? y ? 1? 2 ? D. ? 4. 命题 p : 函数 f ?x? ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 ?? 2, ? ?? 上是增函数, 命题 q :m ? ?16 , 则 p 是 q 的( ) A. 必要不充分条件 C. 充要条件 5. f ?x ? ? A. ? 0, C. B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ax ? 1 在区间 ?? 2, ? ? ? 上单调递增,实数 a 的取值范围是( ) x?2 ? ? 1? ? 2? B. ? , ? ? ? D. ?? ?, ? 1? ? ?1, ? ?? ?1 ?2 ? ? ?? 2, ? ?? 6. 已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?? ?, 5? 上单调递减,对任意实数 t ,都有 f ?5 ? t ? ? f ?5 ? t ? ,那么下列式子一定成立的是( ) A. f ?? 1? ? f ?9? ? f ?3? C. f ?9? ? f ?? 1? ? f ?13? 7. 已知函数 f ?x ? ? ? B. f ?13? ? f ?9? ? f ?? 1? D. f ?13? ? f ?? 1? ? f ?9? ?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ?cos x, sin x ? cos x, A. f ?x ? 是奇函数 C. f ?x ? 是偶函数 B. f ?x ? 的值域是 [?1, 1] D. f ?x ? 的值域是 ?? ? ? 2 , 2 ? 1? ? 8. 已知函数 f ?x ? 的定义域为 R,若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f ?x ? c ? ? f ?x ? c ? , 则称函数 f ?x ? 具有性质 P,给定下列三个函数: ① f ?x ? ?| x | ② f ?x ? ? sin x ;③ f ?x ? ? x 3 ? x 其中,具有性质 P 的函数的序号是( ) A. ① B. ③ C. ①② D. ②③ 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知 p 、 q 是两个命题,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的____________条 件, ?p是?q 的____________条件。 10. 设 I ? ?a, 4, 1 ? a? , A ? 2, a 2 ? a ? 2 ,若 C1 A ? ?? 1? ,则 a ? ____________。 11. 已 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 偶 函 数 f ?x ? 在 区 间 [0, ? ?) 中 单 调 增 函 数 , 若 ? ? f ?1? ? f ?lg x ? ,则 x 的取值范围是____________。 12. 已知椭圆 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 , F2 连线的夹角为直角,则 49 24 | PF1 | ? | PF2 |? ____________。 13. 若函数 f ?x ? ? ? ?log2 x, x ? 0 是奇函数,则 g ?? 8? ? ____________。 ? g ?x ?, x ? 0 14. 如图,线段 AB=8,点 C 在线段 AB 上,且 AC=2,P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕 点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D, 设 CP= x , △CPD 的面积为 f ?x ? 。 则 f ?x ? 的 定义域为_____________; f ?? x ? 的零点是_____________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 2 15. 若集合 S ? 3, a , T ? ?x | 0 ? x ? a ? 3, x ? Z ? 且S ? T ? ?? 1 ,P ? S ? T ,求集 ? ? 合 P 的所有子集。 16. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,∠BAC=90°。AB=AC= AA 1 ,且 E 是 BC 中 点。 (I)求证: A1 B ∥平面 AEC 1; (II)求证: B1C ⊥平面 AEC 1 17. f ?x ? 是定义在 ?0, ? ? ? 上的增函数,且 f ? ? y? ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ? ? (I)求 f ?1? 的值; (II)若 f ?2? ? 1 ,解不等式 f ?x ? 3? ? f ? ? ? 2 。 18. 设函

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