立体几何题库整理

三视图:
三视图 1.如图,三视图对应的几何体的体积等于 。

三视图 2.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视 图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的 最大值为( A. 2 2 ) B. 2 3 C. 4 D. 2 5

三视图 3、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等 腰直角三角形(如图所示) ,如果直角三角形的直角边长为 1,那 么这个几何体的体积为

三视图 4.如图, P 为正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的中心,则 ?PAC 在该正方体各个面上的 射影可能是( )

A. (1)(2)(3)(4)

B. (1)(3)

C. (1)(4)

D. (2)(4)

三视图 5、已知某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为____________

三视图 6、两条异面直线在平面上的投影不可能 是( ...

) 4 6 正视图 6 侧视图 4

(A)两个点 (B)两条平行直线 (C)一点和一条直线 (D)两条相交直线 三视图 7、一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 (单位:cm3)为( ) 6 (A)72cm3 (B)36cm3 (C)24cm3 (D)12cm3

3 6 俯视图 (第 7 题)

三视图 8. 若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是 ( (A) 2 cm 3 (C) 6 cm3 ) (B) 4 cm3 (D) 12 cm3

三视图 9.已知某个几何体的三视图如图,根据图中的尺寸, 可得这个几何体的体积是( ) 4000 3 8000 3 A. B. cm cm 3 3 C. 2000cm 3 D. 4000cm 3

20 20
正视图 侧视图

20

10 10 20
俯视图

三视图 10.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为 ( )

A.

B.

C.

D.

三视图 11.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为 俯视图可以是( )

1 ,则该几何体的 3

1
A

1

B

C

D

1 主视图

1 侧视图 (第 11 题)

三视图 12. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则 该几 何体的表面积及体积为( )
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

5 6 正视图

5

5 6 侧视图

5

A 24? cm , 12? cm
2 2

3

B 15? cm , 12? cm
2

3

C 24? cm , 36? cm

3

D 以上都不正确

俯视图

三视图 13、直三棱柱 A1B1C1-ABC 的三视图如图所示,D,E 分别是棱 CC1 和棱 B1C1 的中 点,则图中三棱锥 E—ABD 的侧视图的面积是 .

三视图 14.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面 积为 ;

三视图 15. 若一个底面为正三角形、 侧棱与底面垂直 的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的表面 积为 .
3 3
正视图 侧视图

4

俯视图

三视图 16、设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a, 其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A.3?a
2 2

( )

B.6?a

2 2

C.12?a

D.24?a

三视图 17、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 三视图 18.如右下图所示,点 S 在平面 ABC 外,SB⊥AC,SB=AC=2, E、F 分别是 SC 第 17 题图 和 AB 的中点,则 EF=________.

三视图 19.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

展开图:
展开图 1、如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行
?

N D C M

②CN 与 BE 是异面直线

③CN 与 BM 成 60 角 ④DM 与 BN 是异面直线 以上四个命题中,正确命题的序号是 A.①、②、③ C.③、④ B.②、④ D.②、③、④ E A B F

展开图 2.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 ? 底面 A1B1C1,底面为直 角三角形,∠ACB=90°,AC= 2 ,BC=CC1=1,P 是 BC1 上一动点,则 A1P +PC 的最小值是 .

(第 2 题)

C

B

D

A

展开图 3.如图,圆柱的轴截面是边长为 5cm 的正方形 ABCD,则圆柱侧面上从 A 到 C 的 最短距离为 .

展 开图 4 .下 图都 是正方 体的 表面展 开图, 还原 成正 方体后 ,其中 两个 完全 一样的 是 .



② ③ ④ ⑤ ⑥



⑥ ⑤ ③ ②



① ⑤ ④ ③ ② (3) ⑥ ③ ⑤

⑥ ② ① ④

(1)

(2)

(4)

判断题:
判断题 1. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有两个动点 E, F, 且 EF ?

2 ,则下列结论中错误的是 ( 2



A. AC ? BE B. EF / /平面ABCD C.直线 AB 与平面 BEF 所成的角为定值 D.异面直线 AE, BF 所成的角为定值

判断题 2、在平面几何里,我们知道,正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是 2 :1 . 拓展 到空间, 研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体)的外接球和内切球的半径 关系,可以得出的正确结论是:正四面体的外接球和内切球的半径之比是 . 判断题 3.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1A=AB=2, 若棱 AB 上存在一点 P, 使得 D1P⊥PC, 则棱 AD 的长的取值范围是( ) A. [1, 2 ] B. (0, 2 ] C. (0, 2 ) D. (0,1] 判断题 4.四面体 ABCD 中,有如下命题:①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC;②若 E、 F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大 小;③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影为△ABD 的外心; ④ 若 四 个 面 是 全 等 的 三 角 形 , 则 ABCD 为 正 四 面 体 。 其 中 真 命 题 是 _ .(填上命题的序号) ? , ? , ? 是三个不 同平面, 判断题 5.已知 m, n 是两条不同直线, 下列命题中正确的是 ( ) .

A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ?

B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

判断题 6、已知 m, n 是两条不同的直线,?, ?是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) (A)若 m∥?, n∥?,则 m∥n (B)若?⊥?, m⊥?, m??, 则 m∥? (C)若?⊥?, m//?, 则 m⊥? (D)若 m??, n??, m∥?, n∥?, 则?∥? 判断题 7、已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) . A 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n C. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ?

判断题 8. 已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m / /? ,n / /? ,则 m / / n ;②若 m / /? , n ? ? ,则 n ? m ;③若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? . 其中真命题的个数是? A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

判断题 9. a 、 b 是异面直线, P 为空间一点,下列命题: (1)过 P 总可以作一条直线与 a 、 b 都垂直; (2)过 P 总可以作一条直线与 a 、 b 都垂直相交; (3)过 P 总可以作一条直线与 a 、 b 之一垂直与另一条相交; (4)过点 P 总可以作一平面与 a 、 b 同时垂直; (5)过 P 总可以作一平面与 a 、 b 之一垂直与另一条平行,其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

判断题 10. 如图, 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 3 , 点 E , F 在线 段 AB 上, 点M 在线段 B1C1 上,点 N 在线段 C1 D1 上,且 EF ? 1 , D1 N ? x , AE ? y , M 是 B1C1 的中 点,则四面体 MNEF 的体积( ) A.与 x 有关,与 y 无关 B.与 x 无关,与 y 无关 C.与 x 无关,与 y 有关 D.与 x 有关,与 y 有 关

D A D1 N A1 B1 E F

C

B C1 M

判断题 11. 设 l、m、n 是两两不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 是两两不重合的平面,给出下列

命题: ①若 l ? ? , m ? ? , l // m ,则 l // ? ; ②若 ? ? ? ? l , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? ; ③若 l ? ? , m ? ? , n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // m ,则 m // n ; ⑤若 ? ? ? , l ? ? , ,则 l ? ? . 其中, 正确的序号有 A.①②③ B.①④⑤ C.①③⑤ D.①④ ( )

判断题 12.如图,点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命 题: ①三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② DP ? BC1 ; ③ A1 P ∥面 ACD1 ; ④面 PDB1 ? 面 ACD1 ;其中正确命题的序号是_ (第 12 题)

__.(写出所有正确的序号)

判断题 13. 已知平面 ? , ? 和直线 m , 给出条件: ① m // ? ; ②m ?? ; ③ m ?? ; ④? ? ? ; ⑤ ? // ? . (1) 当满足条件 时, 有 m // ? ; (2) 当满足条件 时, 有m ? ? .

判断题 14.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l, 直线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不 .一 .定 .成 立 的 是 ( ) (A)AB∥m (B)AC⊥m (C) AB∥β (D) AC⊥β

直观图:

直观图 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为1 的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? )

0

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

直观图 2.已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为 1 的正三角形,那么原三角形的 面积为( ) A.

3 2

B.

6 2

C.

3 4

D.

6 16

直观图 3.如图所示,用斜二测画法所作的直观图中,O' A' ? 1, O' B' ? 4, O' D' ? 2, O' C ' ? 3 , 四 边 形 ( ) A.12 A. 3

A' B' C ' D'
B.11

















的 D.8







C.10 C. 6

直观图 4、如右图所示的直观 图,其平面图形的面积为 ( ) B. 错误!未找到引用源。 D.3 错误!未找到引用源。 第 4 题图

直观图 5.如图, Rt ?O?A?B? 是一平面图形的直观图,直角边 O ?B ? ? 1 , 则这个平面图形的面积是 ( ) (A) 2 2 (B) 1 (C) 2 (D) 4 2

几何体:
外接球 1.已知正方体外接球的体积是 32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3 A.2 )

2

B. 2 3
3

C. 4 2
3

D.

4 3 3

球 2、用与球心 O 距离为 1 的截面去截球,所得截面的面积为 9?,则球的表面积为( ) (A)4? (B)10? (C)20? (D)40? 球 3、已知正方体的棱长为 1,则它的内切球与外接球半径的比值为( ) (A) 3 (B)

3 3

(C)

3 2

(D)

2 3 3

圆锥 4、已知圆锥的母线长为 2cm,底面直径为 3cm,则过该圆锥两条母线的截面面积的最 大值为( )

3 7 3 7 cm2 (C)2cm2 (D) cm2 2 4 三棱锥 5、已知三棱锥 S-ABC 的侧棱和底面边长均为 a,SO⊥底面 ABC,垂足为 O, D1 则 SO= (用 a 表示).
(A)4cm2 (B) 直四棱柱 6、如图所示,在直四棱柱(侧棱与底面垂直)ABCD-A1B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 ▲ 时, 有 AC1⊥BD 成立(注:填上你认为正确的一种情况 即可,不必考虑所有可能的情况) .
A1 D A C

C1 B1

B

(第 6 题图)

球 7、 (理科)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的 体积的最大值为( ) (A)

2 3 3

(B)

8 3 3

(C) 2 3

(D)

4 3 3

球 8、 (文科)棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E , F 分别是棱 AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为( )

A.

2 2 2 ?1 2

B. 1

C.

D. 2

三棱柱 9、一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱 的底面边长为 2,则该三角形的斜边长为 ▲ ;

球 10、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个

9 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 8 三棱锥 11. (理科 学生做)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, ..
球面上,且该六棱柱的体积为



AB, AC, AD 两两互相垂直,AB ? AC ? AD ? 4 . 点 P ,Q 分
别 在侧面 ABC 、 棱 AD 上运动,PQ ? 2 ,M 为线段 PQ 中点, 当 P , Q 运动时,点 M 的轨迹把三棱锥 A ? BCD 分成 上、下两部分的体积之比等于 _________ . D A C B

球 12、 (文科 学生做)如图,已知球面上四点 A,B,C,D , ..

DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 3 ,
则此球的表面积等于 .

三棱柱 13.一个斜三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形,侧棱长 5,若其中一条侧棱与底面 三角形的相邻两边都成 45?角,则这个三棱柱的侧面积是( ) A. 60 B. 30 2 C. 10 2 ? 20 D. 20 2 ? 20

AB ? AD ? BC ? CD ? 2 ,AD 和 BC 所成角为 60o , 二点距离 14. 空间四边形 ABCD 中, E、F 分别为 AB、CD 中点,则 EF 的长度为 .
表面积 15.如图所示,棱长为 1 的正方体(左图) ,沿阴影面将它切割成两块,拼成右图所示 的 几 何 体 , 那 么 拼 成 的 几 何 体 的 表 面 积 为 ( ) A. 2 ? 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 4 ? 2 2 D. 5 ? 2 2

(第 15 题) 体 积 问 题 16. 如 图 , 沿 平 面 A' BC 和 A' B ' C 将 三 棱 柱 分 割 成 三 个 三 棱 锥 , 则 有 C` A` C` A` ( ) A` A` B` A. V1 ? V3 ? V2 B. V1 ? V2 ? V3 B` 3 B` C. V1 ? V3 ? V2 D. V1 ? V2 ? V3
A B C
A 1 2 C B B
(第 16 题)

C

C

体积问题 17. 如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半 径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图 (2)水平放置时,液面高度为 20 cm ,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28 cm ,则这个简单几何体的总高度 为 A.29 cm ( ) B.30 cm C.32 cm D.48 cm

三棱锥 18.已知四棱锥 S ? ABCD 的底面为正方形,侧棱 SA ? SB ? SC ? SD ,若侧棱与

底面所成的角为 ? ,侧面与底面所成的角为 ? ,侧面等腰三角形的底角为 ? ,相邻两侧面 所 成 的 二 面 角 为 ? ( ) B. ? ? ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ? ? , 则

? 、 ? 、 ? 、 ? 的 大 小 关 系 是

A. ? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? ?

球 19.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC ,

AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表
面积等于 ( ) (A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ? 三棱锥 20. 将边长为 1 的正方形 ABCD,沿对角线 AC 折起,使 BD ? 1 . 则三棱锥 D-ABC 的体积为( ) (A)

2 12 3 12

(B)

3 24 2 24

(C)

(D)

体积问题 21.(本小题 10 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠ BFC=90° ,BF=FC. (1)求证:平面 ABFE⊥平面 DCFE; (2)求四面体 B—DEF 的体积.

球 22. 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球, 则该球的体积为





3 ? (A) 2

2 ? (B) 3

? (C) 6

4? (D) 3

二点的距离 23.已知 ABCD 是空间四边形,M 、N 分别是 AB 、CD 的中点,且 AC =4,BD =6, 则 ( )

几何体的表面积和体积 24、 (1) (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高 为 3 的圆柱,求圆柱的表面积

(2)如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 ,
0 0

AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一
周所成几何体的表面积及体积.

异面直线:
E, F , G 分别为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 面 A1C1 , B1C, CD1 的中心, 则 AE 与 异面直线 1、
FG 所成的角为( )
A. 90
0

B. 60

0

C. 45

0

D. 30

0

异面直线 2.如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等,且 CC1 ? 底面ABC ,则

异面直线 BC1与AC 所成角的余弦值为 ____________

ABC 上的射 异面直线 3、已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面
影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 ( )

A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

异面直线 4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 DD1、AB、 CC1 的 中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是____________. 异面直线 5. (本题 8 分)如图 2,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,
? ∠BAD= 60 .

D1 A1 E D A F B B1

C1 G C

(Ⅰ) 求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值.

异面直线 6.过正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l ,使 l 与棱 AB, AD, AA1 所在直

线所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条

D.4 条

异面直线 7. (本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的菱形,且

?ABC ? 600 , PA ? PC ? 2, PB ? PD .
(Ⅰ )若 O 是 AC 与 BD 的交点,求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ )若点 M 是 PD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的余弦值.
P

A

D

B

C

异面直线 8.如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在 平面成 60° 的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的 余弦值是__________.
D C

(第 8 题)
A B

F

E

异面直线 9. (本小题 8 分)

如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直. EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1,

?ECA ? 60? .
(1)求证:AF//平面 BDE; (2)求异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值.

异面直线 10.(8 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 底面是正方形且四个顶点 A, B, C , D 在球 O 的 同一个大圆(球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆)上, 点 P 在球面上且 PO ? 面 AC , 且已知 VP ? ABCD ?

16 。 3

(1)求球 O 的体积; (2)设 M 为 BC 中点,求异面直线 AM 与 PC 所成角 的余弦值。

P
D CO
B

C

A

M

线面关系:
线面角 1.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面, 底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3, 则 BB1 与平面 AB1C 1 所成的角的大小为
B

B1
A 1

C1

A

C

线面角 2、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.

6 3 15 5

B.

2 6 5 10 5

C.

D.

线面平行 3、下列四个正方体图形中, A、 B 为正方体的两个顶点, M 、N、P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是( )

A. ①、③

B. ①、④

C. ②、③

D. ②、④

线面平行和线面角 4、 (本小题满分 8 分) 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,O 是底 ABCD 对

角线的交点. 求证: (1) C1O // 面 AB1 D1 ; (2 )求 A1C 与平面 AB1 D1 所成的角.

D1 A1 D O A B B1

C1

C

面面垂直 、线面角和体积 5、 (理科) (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 五 棱 锥 P ? ABCDE 中 , PA ⊥ 平 面 ABCDE ,

AB // CD, AC // ED, AE // BC ,

?ABC ? 45?, AB ? 2 2, BC ? 2 AE ? 4 ,
三角形 PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面 PCD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? ACDE 的体积.

线面平行 6.(14 分)如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, PA⊥底面 ABCD, E, F 分别是 AC, PB 的中点. (Ⅰ) 证明: EF∥平面 PCD; (Ⅱ) 若 PA=AB, 求 EF 与平面 PAC 所成角的大 小.

N

B A A
M
P B

线面平行 7.下列四个正方体图形中, A, B 为 正方体的两个顶点, M , N , P 分别为 其所在棱的中点,能得出 AB // 面MNP 的图形的序号是______. ①

N

A

M
B A

N
P

N
P P

M

B

M







存在性问题、 线面角 8.(本小题满分 10 分) 如图, 在直角 梯形 ABEF 中, 将四边形 DCEF 沿 CD 折起, 使 ?FDA ? 60 ? ,得到一个空间几何体。 (1)在线段 DF 上找点 G,使得 AG//平面 BEF; (2) 作出直线 EF 与平面 ABCD 所成角, 并求该角的正切值。

线面平行、存在性问题 9.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥ BC,AB =BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥ 底面 ABC. ⑴ (文科 学生做)求证:OD∥ 平面 PAB; .. ⑵ 当 k=
1 时,求直线 PA 与平面 BC 所成角的余弦值; 2
A

P D O

⑶ (理科 学生做)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内 .. 的射影恰好为△ PBC 的重心?

C B

线面角 10. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 ( ) A. ?2? C. t | 2 ? t ? 2 2 B. ?

?2 ? 5? ?5 ? ? 2 ? 5 ? t ? 2? ? 5 ?

?

?

D. ?t |

线面平行 11. (12 分)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示,其中正视图 AA1 B1 B 和侧视图 B1 BCC 1 均为矩形,俯视图 ?A1 B1C1 中, A1C1 ? 3, A1 B1 ? 5, cos?A1 ? 3 。 5 (I)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,求证: BC ? AC 1 ; B1 C1 (II)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 D 是底边 AB 的中点,求证: AC1 // 平面 CDB1 ;
A1

C D A

B

线面角 12. (本题 8 分) 如图 1, 在三棱锥 P-ABC 中, 平面 PAC⊥平面 ABC , AB⊥BC ,AB=BC=PA=PC,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点. (I)求证: OD // 平面 PAB; (II)求 PB 与平面 ABC 所成角.

线面角 13. (本小题满分 13 分)已知 ?ABC 与 ?DBC 都是边长为

2 3 的等边三角形,且 3

平面 ABC ? 平面 DBC ,过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 . (Ⅰ )求证: PA / / 平面 DBC ; (Ⅱ )求直线

PD 与平面 ABC 所成角的大小.

线面角 14.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3 ,D,E 分别是 AC1 和 BB1 的 中 点 , 则 直 线 DE 与 平 面 BB1C1C 所 成 的 角 为 ( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

线面角 15. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( A. ) B.

6 3 15 5

2 6 5 10 5

C.

D.

线面角 16.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影 为 △ ABC 的 中 心 , 则 AB1 与 底 面 ABC 所 成 角 的 正 弦 值 等 于 ( (A) )

1 3

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

面面关系:
二面角 1. 已知正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥)的体积 为 12, 底面正方形的对角线的长为 2 6 , 则侧面与底面所成的二面角的平面 角为 .

二面角 2.如图,三棱锥 S-ABC 中,棱 SA,SB,SC 两两垂直,且 SA ? SB ? SC , 则二面角 A ? BC ? S 大小的正切值为 ( ) A. 1 B.

2 2

C.

2

D.

2

线面垂直和二面角 3、如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90?,CD∥AB,AB=4,AD

=CD=2,M 为线段 AB 的中点,将△ACD 沿 AC 折起,使平面 ACD⊥平面 ABC,得到几 何体 D-ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; D (Ⅱ)求二面角 A-CD-M 的余弦值. C D C A B B

M 图1

A

(第 29 题)

M 图2

面面垂直 、 线面角和体积 4、 如图, 在五棱锥 P ? ABCDE 中,

PA ⊥平面 ABCDE , AB // CD, AC // ED, AE // BC ,
?ABC ? 45?, AB ? 2 2, BC ? 2 AE ? 4 ,
三角形 PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面 PCD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? ACDE 的体积.

面面垂直和存在问题 5、如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? 面 ABCD , PA ? AB ? 1, BC ? 2 .
(Ⅰ)求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ)在 BC 上是否存在一点 G ,使得 D 到平面 PAG 的 距离为 1?若存在,求出 BG ;若不存在,请说明理由。 P E A D

B

C

二面角 6.如图所示,已知 PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是正方形, PD=AB,M是 PA 的中点,则二面角 M-DC-A 的大小为( )

2? A. 3

? B. 3

? C. 4

? D. 6

面面垂直、二面角 7. (本题满分 10 分) 四棱锥 P—ABCD 的底面为菱形, 且 ?ABC ? 120?, PA ? 底面 ABCD, AB=1, PA ?

6 ,E 为 PC 的中点。

P

(1)求证: 平面PAC ? 平面PBD (2)求二面角 E—AD—C 的正切值;

E

C D A B

线面平行、存在性问题 8.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥ BC,AB =BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥ 底面 ABC. ⑴ (文科 学生做)求证:OD∥ 平面 PAB; .. ⑵ 当 k=
1 时,求直线 PA 与平面 BC 所成角的余弦值; 2
A

P D O

⑶ (理科 学生做)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内 .. 的射影恰好为△ PBC 的重心?

C B

二面角 9.(14 分)在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如 图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求二面角 A1-BP-E 的大小。

存在性问题 10. (本题 12 分)如图 3,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°, 且 OA=OB=OC=1. (I) 求二面角 O-AB-C 的平面角的正切值; (II) 设 P 为 AC 的中点.证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥OA,并计算 的值.

AB AQ

存在性问题 12. (本题满分 10 分) 如图,AB 为圆 O 的直径, 点 E 、F 在圆 O 上,AB // EF , 矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (1)求证:直线 BF ? 平面 DAF ; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小;
? (3)当 AD 的长为何值时,二面角 C ? EF ? A 的大小为 30 ?

C

D

.
A

B

E F

O

面面垂直 13. (本小题 10 分)

如图:在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D 、 E 、 F 分别为棱 AC 、 SA 、 SC 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ⊥平 面 ABC .
E D A B C S

F

二面角 14. (本小题 10 分) 如图,已知平面 ? , ? , 且 ? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C, D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? CD ? 1 ,求二面角 ? ? AB ? ? 的大小.

?
C

P B D A
?

面面垂直 15.(8 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧

P

面 PAD ? 底面ABCD ,且 PA ? PD ? (1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD .

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2

二面角 16.(9 分)已知 AA 1 B 上的点. 1 ? 平面ABC, AA 1 ? AB ? BC ? CA ? 3 , P 为 A (1)当 P 为 A1 B 中点时,求证 AB ? PC ; (2)当

A1 P 1 ? 时,求二面角 P - BC - A 平面角的余弦值. PB 2

存在性问题 17.(9 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 P E

ABCD,AB= 3,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (1)求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC, 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.


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