【小初高学习】2018-2019学年高中数学苏教版必修四 阶段质量检测(二) 平面向量-含答案

小初高教育 阶段质量检测(二) [考试时间:90 分钟 平面向量 试卷总分:160 分] 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将答案填在题中的横线上) 1. AB + AC - BC + BA 化简后等于________. 2.已知向量 a=(1,3x),b=(-1,9),若 a 与 b 共线,则实数 x 的值为________. 3.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ =________ 4.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为________. 5.如图,M,N 分别是 AB,AC 的一个三等分点,且 MN MN― → =λ ( AC - AB )成立,则 λ =________. 6.若|a|=2,|b|=6,a·b=-3,则|a+b|等于________. 7.已知向量 OB =(2,0), OC =(2,2), CA =(-1,-3),则 OA 和 OB 的夹角为________. 8.在梯形 ABCD 中, AB =2 DC ,AC 与 BD 相交于 O 点.若 AB =a, AD =b,则 OC = ________. 9.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则 AP · AC =________. 2π 10.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a·b=0,则实 3 数 k 的值为________. 11.下列 5 个说法: ①共线的单位向量是相等向量; ②若 a,b,c 满足 a+b=c 时,则以|a|,|b|,|c|为边一定能构成三角形; ③对任意的向量,必有|a+b|≤|a|+|b|; ④(a·b)c=a(b·c); ⑤(a+b)·c=a·c+b·c.其中正确的是________. 12.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,定义 a 与 b 的“向量积”:a×b 是一个向量,它的模|a×b| =|a||b|sin θ ,若 a=(- 3,-1),b=(1, 3),则|a×b|=________. 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE― →·CB― →的值为__________; DE · DC 的最大值为________. 14.(上海高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别 为 a1,a2,a3;以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1,c2,c3.若 i,j,k,l∈{1,2,3} 且 i≠j,k≠l,则(ai+aj )·(ck+cl)的最小值是________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 K12 资源 小初高教育 骤) 15. (本小题满分 14 分)在四边形 ABCD(A、B、 C、D 顺时针排列)中, AB =(6,1),CD =(- 2,-3),若有 BC ∥ DA ,又有 AC ⊥ BD ,求 BC 的坐标. 16.(本小题满分 14 分)已知| OA |=1,| OB |= 3, OA · OB =0,点 C 在∠AOB 的内 部,且∠AOC=30°,若 OC =m OA +n OB (m,n∈R),求 的值. m n 17.(本小题满分 14 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; K12 资源 小初高教育 5 ,且(a+2b)·(2a-b)=0,求 a 与 b 的夹角 θ . 2 (2)若|b|= 3? ?1 18.(本小题满分 16 分)已知向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)求证:a⊥b; (2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t, 使 x=a+(t -3)b, y=-ka+tb, 且 x⊥y?如果存在, 试确定 k 和 t 的关系;如果不存在,请说明理由. 2 19.(本小题满分 16 分)已知 A(2,0),B(0,2),C(cos α ,sin α )(0<α <π ). K12 资源 小初高教育 (1)若| OA + OC |= 7(O 为坐标原点),求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ⊥ BC ,求 tan α 的值. 20.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),且点 A(8,0),B(n,t),C(ksin θ ,t),θ ∈?0, ?. 2 ? ? π? ? (1)若 AB ⊥a,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ; (2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA · OC . K12 资源 小初高教育 答 案 1.解析:原式=( AB + BA )+( AC - BC ) =( AB - AB )+( AC + CB )=0+ AB = AB . 答案: AB 2.解析:∵a 与 b 共线,∴9+3x=0,∴x=-3. 答案:-3 3.解析:(m+n)⊥(m-n)=(2λ +3,3)·(-1,-1) =-(2λ +6)=0,所以 λ =-3. 答案:-3 4? 1 ?3 4.解析: AB =(3,-4),所以| AB |=5,这样同方向的单位向量是 AB =? ,- ?. 5? 5 ?5 4? ?3 答案:? ,- ? 5? ?5 5.解析:∵M,N 分别是 AB,AC 的一个三等分点, ∴ MN 1 1 = ,即 MN = BC . BC 3 3 又 MN =λ ( AC - AB )=λ BC , 1 ∴λ = . 3 答案: 1 3 2 2 2 6.解析:∵(a+b) =a +2a·

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