高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)


2.基本不等式 对应学生用书 P4 1.基本不等式的理解 重要不等式 a +b ≥2ab 和基本不等式 2 2 a+b 2 ≥ ab,成立的条件是不同的.前者成立的 条件是 a 与 b 都为实数,并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条 件是 a 与 b 都为正实数,并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如 a=0, a+b b≥0 仍然能使 ≥ ab成立. 2 两个不等式中等号成立的充要条件都是 a=b. 2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 ?a+b? (1)a +b ≥ ; 2 2 2 2 (2)ab≤ a2+b2 2 ; 2 (3)ab≤( (4)( a+b 2 2 ); ; a+b 2 )≤ 2 a2+b2 2 (5)(a+b) ≥4ab. 对应学生用书 P5 利用基本不等式证明不等式 [例 1] 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c [思路点拨] 解答本题可先利用 1 进行代换,再用基本不等式来证明. [证明] 法一:∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, 1 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c =3+ + + + + + b c a c a b a a b b c c ?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ?≥3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c 时,等号成立. ?a b? ?a c? ?b c? 1 1 1 即 + + ≥9. a b c 法二:∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, 1 1 1 1 1 1 ∴ + + =(a+b+c)( + + ) a b c a b c =1+ + + +1+ + + +1 b c a a a b c a b b c c ?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ?≥3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c 时,等号成立. ?a b? ?a c? ?b c? 1 1 1 ∴ + + ≥9. a b c 用基本不等式证明不等式时, 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形, 使 之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明. 1.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明:因为 a,b,c,d 都是正数, 所以 ab+cd 2 ≥ ab·cd>0, ac+bd 2 ≥ ac·bd>0, ?ab+cd??ac+bd? 所以 ≥abcd, 4 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 当且仅当 ab=cd,ac=bd,即 a=d,b=c 时,等号成立. a2 b2 c2 2.已知 a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c. b c a 证明:∵a,b,c, , , 均大于 0, a2 b2 c2 b c a 2 又 +b≥2 a2 b a2 ·b=2a, b b2 ·c=2b. c c2 ·a=2c. a b2 c c2 a b2 +c≥2 c c2 +a≥2 a a2 b ∴( +b)+( +c)+( +a) ≥2(a+b+c). 即 + + ≥a+b+c. a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 当且仅当 =b, =c, =a, b c a 即 a=b=c 时取等

相关文档

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一1不等式的基本性质同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节绝对值不等式创新应用教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第二讲证明不等式的基本方法本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)
电脑版