高中数学配套课件:第1部分 第二章 2.4 2.4.2 平向向量数量积的坐标表示、模、夹角


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第 二 章

2.4

2.4.2

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已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正半 轴同向的向量.则a,b如何用i,j表示?

提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
问题2:|a|,|b|分别用坐标怎样表示?
提示:|a|= (x1i+y1j)2= x1 2+y1 2; |b|= (x2i+y2j)2= x2+y2. 2 2

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问题3:能用a,b的坐标表示a· b吗?
提示:a· b=(x1i+y1j)· 2i+y2j) (x

=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· 1y2j2 j+y
=x1x2+y1y2. 问题4:垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗? 提示:能.

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1.平面向量数量积的坐标表示

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· x1x2+y1y2 .即两 b=
个向量的数量积等于 对应坐标的乘积的和 .

2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a⊥b? x1x2+y1y2=0 .

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3.三个重要公式 (1)向量模公式:设a=(x1,y1),则|a|= x2+y2. 1 1 (2)两点间距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),
??? ? 则| AB |=

(x2-x1)2+(y2-y1)2 .

(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1), b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 cos θ =
x1x2+y1y2 x2+y2 x2+y2 1 1 2 2

.

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1.平面向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化, 并将数与形紧密结合起来. 2.在坐标运算中,要注意向量垂直的条件与向量平行的 条件的区别,向量垂直的条件可简化为“对应乘积和为零”; 平行的条件可简化为“交叉相乘积相等”.

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[例1]

已知向量a=(1,3),b=(2,5),求

(1)a· b;(2)|3a-b|;(3)(a+b)· (2a-b).

[思路点拨] 质求解.

运用向量数量积的坐标运算及相关性

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[精解详析] ∵a=(1,3),b=(2,5), (1)a· b=(1,3)· (2,5)=1×2+3×5=17; (2)法一:3a-b=3(1,3)-(2,5)=(1,4), ∴|3a-b|= 12+42= 17; 法二:∵(3a-b)2=9a2-6a· 2 b+b =9×10-6×17+29=17. ∴|3a-b|= 17.

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(3)法一:∵a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(0,1), ∴(a+b)· (2a-b)=(3,8)· (0,1)=8. 法二:(a+b)· (2a-b)=2a2+a· 2 b-b =2×10+17-29=8.

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[一点通] 1.解决向量数量积的坐标运算的问题,关键是熟练掌握 数量积坐标运算公式以及相关的求模公式和夹角公式,在这个 过程中还要熟练运用方程的思想; 2.与数量积有关的运算问题有两种思路,一种是向量形 式,另一种是坐标形式.

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1.已知向量a=( 3,1),b是不平行于x轴的单位向量, 且a· b= 3,则b等于 3 1 A.( , ) 2 2 1 3 3 C.( , ) 4 4 1 3 B.( , ) 2 2 D.(1,0) ( )

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? 3x+y= 3, ? 解析:设b=(x,y),则? 2 2 ?x +y =1, ?

1 ? x= , ?x=1, ? 2 ? 解得? 或? ?y=0, ? ?y= 3, 2 ? 1 3 又∵b不平行于x轴,∴b=( , ). 2 2

答案:B

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2.在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点
? ??? ??? ? AC 分别为 O(0,0),B(1,1),则 AB · =______.

解析:如图,由题意得 A(0,1),
??? ? C(1,0).又 B(1,1),所以 AB = ??? ? (1,0), AC =(1,-1). ??? ???? ? AC 故 AB · =1.

答案:1

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3.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10,求: (1)向量 a 的坐标;(2)若 c=(2,-1),求(a· b. c)·
解:(1)∵a 与 b 同向,且 b=(1,2), ∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a· b=10,∴λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵a· c=2×2+(-1)×4=0, ∴(a· b=0· c)· b=0.

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[例 2]

已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,

??? ? -1),AD 为 BC 边上的高,求| AD |与点 D 的坐标.

[思路点拨] 求解.

结合图形,利用共线与垂直条件的坐标运算

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[精解详析] 设 D 点坐标为(x,y),

??? ? ??? ? 则 AD =(x-2,y+1), BC =(-6,-3),
??? ? BD =(x-3,y-2),

? ??? ? ??? ∵D 在直线 BC 上,即 BD 与 BC 共线,
??? ? ??? ? ∴存在实数 λ,使 BD =λ BC ,

即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).
?x-3=-6λ, ? ∴? ?y-2=-3λ, ?

∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0.①

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又∵AD⊥BC, ??? ??? ? ? BC ∴ AD · =0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, 即 2x+y-3=0.
?x=1, ? 由①②可得? ?y=1, ?

??? ? ∴| AD |= (1-2)2+22= 5, ??? ? 即| AD |= 5,点 D 的坐标为(1,1).

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[一点通]

解答本题时充分利用了题目中垂直,共

线等条件,然后将其坐标化,运用方程的思想方法进行 求解,这也是处理向量综合题的一大特点.

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4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂 直,则λ=________.
解析:∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)· a=λa2+a· b =λ[12+(-3)2]+1×4+(-3)×(-2)=10λ+10=0. ∴λ=-1.

答案: -1

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5.设a=(m+1,-3),b=(1,m-1),若(a+b)⊥(a-b),求实 数m的值.
解:法一:∵a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-m-2), 又(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0, 即(m+2,m-4)· (m,-m-2)=0. ∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0. 解得m=-2. 法二:若(a+b)⊥(a-b),则(a+b)· (a-b)=0. ∴|a|2=|b|2,∴(m+1)2+(-3)2=1+(m-1)2, 解得m=-2.

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[例3]

(12分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c = (4,

y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
[思路点拨] ①运用方程的思想,根据向量平行与垂直列方 程组求解,②先求向量的坐标,利用坐标运算求夹角.

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[精解详析]

(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12.

∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3).? (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),? 设m、n的夹角为θ, (8分) (6分)

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-3×7+(-4)×1 m· n 则cos θ = = |m||n| (-3)2+(-4)2· 72+12 -25 2 = =- .? 2 25 2 3π ∵θ ∈[0,π ],∴θ= , 4 3π 即m,n的夹角为 .? 4 (12分)? (10分)

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[一点通] 向量有了坐标,就可以把求模和夹角的问题转 化为代数运算问题,使得向量运算变得简单而又方便,做题时 只要记住公式,正确地运用公式即可容易地解决.

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6.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角为 ( π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2 )

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解析:b=(4,2)-2(1,1)=(2,0),∴|b|=2.∵a=(1,1), ∴|a|= 2 ,且a· b=(1,1)· (2,0)=2.若a,b的夹角为θ,则cos

π a· b 2 2 θ=|a|· = = ,∴θ= . |b| 2× 2 2 4

答案:B

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7.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ 的取值范围.
解:∵a=(1,-1),b=(λ,1), ∴|a|= 2,|b|= 1+λ2,a· b=λ-1.
?λ-1<0, ? ∵a,b的夹角α为钝角,∴? ? 2 1+λ2≠1-λ, ? ?λ<1, ? 即? 2 ?λ +2λ+1≠0. ?

∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).

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1.向量有三种表示形式,即几何表示、字符表示和坐 标表示,从而对应着三种不同形式的运算,即几何运算、字 符运算和坐标运算,解题中要注意适当选取,对于有坐标条 件的向量问题,一般利用坐标运算求解.

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2.利用数量积求两向量夹角的步骤: (1)求cos θ : ①已知向量的坐标时. x1x2+y1y2 由公式cos θ = 2 2 2 2求cos θ 的值; x1+y1· x2+y2 ②向量坐标未知时. 根据向量的数量积和模求cos θ . (2)在0≤θ≤π 内,由cos θ 的值求角θ.

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